2026内江一中高三上学期开学检测（暑期自学效果检测）数学试题含解析

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1.本试卷包括第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120
分钟.
2.答第 I 卷时，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，
再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字
体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上.
3.考试结束后，监考人将答题卡收回.
第 I 卷（选择题，共 58 分）
一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题有且只有一个正确答案.
1. 已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得集合 A,B 的并集，根据补集的概念和运算，即可求得答案.
【详解】∵ ， ， ,
故 ，
∴ ，
故选：C．
2. 若复数 z 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的除法计算得解.
【详解】依题意， .
故选：B
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3. 设 ： ， ： ，则 p 是 q 成立 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合之间的包含关系可得两者之间的条件关系.
【详解】 的解集为 ，而 为 的真子集，
故 p 是 q 成立的必要不充分条件.
故选：B.
4. 不等式 的解集为（ ）
A. B.
C. 或 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式不等式计算求得解集.
【详解】由题意不等式 变形为 ，通分化简为 ，
分式不等式等价于 ，解得 ，
所以原不等式的解集为
故选：A.
5. 在 中， ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知三边求角，利用余弦定理即可求解.
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【详解】由余弦定理 ，
又 ，所以 .
故选：B.
6. 已知 是公差为 2 的等差数列，且 ， ， 成等比数列，则 等于（ ）
A. 63 B. 72 C. 81 D. 90
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列性质计算出 ，再用求和公式计算即可.
【详解】由 是公差为 2 的等差数列，且 ， ， 成等比数列，可得 ，
即 ，解得 ，代入 ，故 .
故选：C.
7. 定义在 上的函数 满足 ，且 为偶函数，当 时，
，则 （ ）
A. 0 B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由 和 为偶函数，可知 的周期为 4，且 的图象关于直线
对称，利用函数的周期性和对称性将条件进行转化即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 的周期为 4．
又 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，
则 ．
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故选：A.
8. 若曲线 一条切线为 （ 为自然对数的底数），其中 为正实数，则
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的几何意义计算可得 ，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得.
【详解】 ，令 ，则 ，有 ，
即 ，即 ，
又 为正实数，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.，
故 的取值范围是 .
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据 1，1，2，3，3，4，4，5，6 的第 25 百分位数为 2
B. 若数据 的标准差为 ，则 的标准差为
C. 二顶式 的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等
D. 现有 5 名教师分到一中、二中、三中、四中 4 所学校任教，每所学校至少分配 1 名教师，其中甲教师必
去一中，则有分配方法有 96 种
【答案】AB
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【解析】
【分析】本题可根据百分位数、标准差、二项式系数、排列组合的相关知识，对每个选项逐一进行分析.
【详解】对于 A：将数据 1，1，2，3，3，4，4，5，6 从小到大排序为 1，1，2，3，3，4，4，5，6，一共
有 9 个数据，设 为数据个数， 为百分位，计算 ，
根据百分位数的定义，当 i 不是整数时，就取大于 2.25 的最小正整数，即第 25 百分位数是第 3 个数 2，故
A 正确.
对于 B：若数据 的标准差为 ，则其方差为 ，根据方差的性质， 的方
差为 ，则 的标准差为 ，故 B 正确.
对于 C：二项式 的第 项的二项式系数是 ，展开式中第二项的二项式系数为 ，第四项
的二项式系数为 ， ，故 C 错误.
对于 D：甲教师必去一中，分两种情况讨论：
情况一：一中分配 2 名教师（其中一名是甲），从剩下 4 名教师中选 1 名去一中，有 种选法，剩下 3 名
教师分配到二中、三中、四中这 3 所学校，每校 1 名，有 种分法，根据分步乘法计数原理，这种情况共
有 种分配方法；
情况二：一中分配 1 名教师（就是甲），从剩下 4 名教师中选 2 名分配到同一所学校，有 种选法，再把
这 2 名教师作为一个整体和剩下 2 名教师分配到二中、三中、四中这 3 所学校，有 种分法，根据分步乘
法计数原理，这种情况共有 种分配方法；
根据分类加法计数原理，总的分配方法有 24 + 36 = 60 种，故 D 错误.
故选：AB
10. 记 为数列 的前 项和， ，则（ ）
A. B.
C. 数列 为等比数列 D. 数列 的前 项和为 ，则
【答案】ACD
【解析】
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【分析】利用给定的递推公式求出 判断 A；求出数列 的通项公式，并结合错位相减法，再逐一判断
选项 BCD.
【详解】对于 A，数列 中， ，则 ，解得 ，A 正确；
当 时， ，则 ，即 ，
数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列， ，
对于 B， ，B 错误；
对于 C， ，则 ，因此数列 为等比数列，C 正确；
对于 D， ， ， ，
两式相减得 ，
因此 ，D 正确.
故选：ACD
11. ， 用 表 示 ， 中 最 小 者 ， 记 为 .已 知 函 数
，则（ ）
A. 关于直线 对称
B. 的最大值为
C. 是周期函数，最小正周期为
D. 当 时，关于 的方程 （ 为常数）最多有 4 个实数根
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题可画出 的大致图象，即可得答案.
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【详解】若 ，则 ，故 ，
所以 ，同理 得 ，
所以 ， .
据此可得 大致图象如下.
对于 A，由图 图象关于 对称，不关于直线 对称，故 A 错误；
对于 B，由图 的最大值为 ，此时 ，故 B 正确；
对于 C，由图 是周期函数，最小正周期为 ，故 C 正确；
对于 D，当 时， 图象与 有 4 个交点，即关于 的方程 最多有 4 个根，
故 D 正确.
故选：BCD
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题：本大题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ______.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由正态分布的对称性求解即可.
【详解】由题意可得： ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
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13. 已知向量 ， ，若 与 垂直，则 ____________.
【答案】
【解析】
【分析】由向量线性运算、垂直的坐标表示列方程求得 ，再应用坐标公式求 .
【详解】由题设 ，又 与 垂直，
所以 ，可得 .
所以 .
故答案为：
四、解答题：共 77 分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
14. 已知函数 的最小正周期为 ，
（1）求 的值，及 单调递增区间：
（2）是否存在锐角 ， ，使 ， 同时成立?若存在，求出角
， 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ， ；
（2）存在， .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出 ，再利用正弦函数单调性求出递增区间.
（2）由（1）的条件，结合诱导公式求得 ，再结合 求出 即可.
【小问 1 详解】
由函数 的最小正周期为 ，得 ，因此 ，
，由 ，得 ，
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所以 的单调递增区间为 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ， ，
依题意， ，则 ，
由 ，得 ，于是 ，
即 ，整理得 ，
即 ，则 ，即 ，
由 为锐角，得 ，解得 ，即 ， ，
所以存在锐角 满足题意， .
15. 已知函数 为奇函数，
（1）求 的值；
（2）解关于 的不等式 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的性质，结合对数的运算性质进行求解即可；
（2）根据对数型函数的单调性，给合奇函数的性质进行求解即可.
小问 1 详解】
因为函数 为奇函数，
所以有
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，
当 时， ，
此时函数定义域为 ，不关于原点对称，不符合题意；
当 时， ，由 ，
，
所以 是奇函数，符合题意，即 ；
【小问 2 详解】
由（1）可知 ，
函数 在 时，单调递增，
根据函数单调性的性质可知函数 在 时，单调递增，
当 ，
由 ，
因为 在 时，单调递增，
所以有 ，
所以关于 的不等式 的解集为 .
16. 已知数列 中， ， ，
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（1）证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（2）令 ，证明： .
【答案】（1）证明见解析， ；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题可得 ，据此可完成证明及得到通项公式；
（2）由（1）结合做差法可完成证明.
【小问 1 详解】
，
则数列 是以 为首项，公比为 2 的等比数列,
则 ；
【小问 2 详解】
由（1） ，则 .
则
；
.
则 .
17. 一个航空航天的兴趣小组，随机对学校 100 名学生关于航空航天是否感兴趣的话题进行统计，其中被选
取的男女生的人数之比为 11∶9．
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（1）请补充完整列联表，并依据小概率值，判断是否有 99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别
相关联．
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生 15
合计 50 100
（2）一名兴趣小组成员在试验桌上进行两艘飞行器模型间的“交会对接”游戏，已知左右两边均有 2 艘
“Q2 运输船”和 1 艘“M1 转移塔”．游戏规则是每次在左右两边各任取一艘飞行器交换，假设“交会对
接”重复了 n 次，记左边剩余“M1 转移塔”的艘数为 ，左边恰有 1 艘“M1 转移塔”的概率为 ，恰
有 2 艘“M1 转移塔”的概率为 ，求
①求 X 的分布列；
②求 ；
③试判断 是否为定值，并加以证明．
附： ， ．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】（1）填表见解析；有
（2）① 答案见解析；② ；③ 为定值 1，证明见解析
【解析】
【分析】（1）先计算 ，再根据独立性检验判断即可；
（2）先写出分布列，再根据定义判断等比数列求解，应用全概率公式列式构造新数列再证明数学期望的定
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值.
【小问 1 详解】
由题意得：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 35 20 55
女生 15 30 45
合计 50 50 100
则 的观测值为 ，
所以有 99.9%的把握认为对航空航天感兴趣的情况与性别没有关联
【小问 2 详解】
（ⅰ）由题可知， 的可能取值为 0，1，2．由相互独立事件概率乘法公式可知：
； ；
故 的分布列如下表：
0 1 2
P
（ⅱ）由全概率公式可知：
即： ，所以 ，所以 ，
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又 ，所以数列 为以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以 ，即 ．
（ⅲ）可判断 为定值
由全概率公式可得：
即： ，又 ，
所以 ，
所以
又 ，
所以 ，
所以
所以
可得 的分布列
0 1 2
P
所以
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∴ 为定值 1
【点睛】方法点睛：先应用全概率公式列式，再构造新数列，进而证明数学期望的定值.
18. 已知函数 ， 为 的导函数，
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）若 有两个零点，
（i）求 的取值范围；
（ii）记 较小的一个零点为 ，证明： .
【答案】（1）在 上单调递减，在 单调递增；
（2）（i） ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数，根据导数正负得到函数的单调性；
（2）（i）先讨论单调性，根据 有两个零点得出最小值 ，即可得 的取值范围；
（ii）结合（i）知，要证 ，即证 ，即 ，分
和 进行证明.
【小问 1 详解】
当 时， ，函数 的定义域为 ，
，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
综上所述，函数 在 上单调递减，在 单调递增.
【小问 2 详解】
（i）函数 的定义域为 ， ，
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①当 时， ，函数 在 单调递减， 至多有一个零点，不符合题意；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
∴当 时， 取得最小值，最小值为 .
因为函数 有两个零点，且 时， ， 时， ，所以 .
设 ，易知函数 在 单调递增.
因为 ，所以 的解集为 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
（ii）因为 ，由 ，结合（i）知 ，
要证 ，即证 ，即 ，
当 时，因为 ， ，不等式恒成立；
当 时，由 得 .
即证 .
即证 .
即证 .
设 ， ，由 ，
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所以 在 单调递增.
所以 ，故原不等式成立.
所以 .
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