河北省保定市部分高中2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含答案）

展开

这是一份河北省保定市部分高中2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分:150分，时间:120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数在处可导，若，则（）
A．1B．C．2D．8
2．若函数，满足，且，则（）
A．1B．2C．3D．4
3．首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（）
A．B．C．D．
4．若曲线与有三条公切线，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
5．函数在区间的最小值、最大值分别为（）
A．B．C．D．
6．已知各项均为正数的等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）
A．4B．C．D．9
7．设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（）
A．B．C．D．
8．对于函数，若存在非零实数,使得，则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时，函数的图象上恰有2对“隐对称点”，则实数m的取值范围为（）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知是等差数列的前项和，，且，则（）
A．公差B．
C．D．时，最大
10．已知函数，其中，则（）
A．函数的极大值点为2
B．若关于的方程有且仅有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个实根
D．关于的不等式不可能只有1个整数解
11．已知，，且则以下正确的是（）
A．B．
C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若三边长为等差数列，则的取值范围是 .
13．已知实数等成等差数列，成等比数列，则的取值范围是 .
14．已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知函数．
(1)若，求函数的图象在处的切线的方程．
(2)若函数的图象与函数的图象存在公共切线，求实数a的取值范围．
16．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
17．已知．
(1)若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．
(2)若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．
18．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程
(2)证明：在区间内存在唯一的零点；
(3)若对于任意的，都有，求整数的最大值．
19．已知函数，其中为实常数．
(1)若函数定义域内恒成立，求的取值范围；
(2)证明：当时，；
(3)求证：．
数学答案
12． 13． 14．
15．【解】（1）（1）若，（），，
函数的图象在处的切线的斜率，又，
故函数的图象在处的切线的方程为，即；
（2）设与的公切线l的斜率为k，
l与与图象的切点分别是，，
若k不存在，则l不是图象的切线，所以k存在，
则，，
，整理得：，
由题可知该方程有解，令（），
故可得函数有零点，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，又
故必有成立，解得.
16．【解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
17．【解】（1）解：，，，
所以，
当时，，所以在，单调递增，
又因为，所以在，上无零点；
当时，，使得，
所以在，单调递减，在单调递增，
又因为，，
所以若，即时，在，上无零点，
若，即时，在，上有一个零点，
当时，，在，上单调递减，在，上无零点，
综上当时，在，上有一个零点；
（2）解：由，
即，即，
则有，
令，则，
，所以函数在上递增，
所以，则有，即，
因为关于的方程有两个不同的实数解，
则方程有两个不同的实数解，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
当时，，当时，，
所以.
18．【解】（1），
，，
，
在处的切线为；
（2）证明：，
，
当时，，
在上单调递增，
（3），（4），
在区间内存在唯一的零点．
（3），且，
，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当，时，，即，在，上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
19．【解】（1）解：由题意，函数，则
即在上单调递增，所以，
所以实数的取值范围是.
（2）解：当时，，则
由，即，
设，可得
所以在上单调递减，所以，
所以.
（3）解：由，
令，可得，
，
，
，
各式叠加得：.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
A
D
C
D
D
BC
ACD
题号
11

答案
ABD