初中数学苏科版（2024）八年级上册全等三角形课时训练

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册全等三角形课时训练，共21页。

2．如图，点A、E、C在同一条直线上，BA⊥AC，CD∥AB，BC＝DE，且BC⊥DE．
求证：AB＝CE．
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，BE，AD相交于点F，BF＝AC．
（1）求证：△BDF≌△ADC．
（2）若AF＝1，DC＝2，求AB的长．
4．如图，在△ABC和△ADE中，D是BC边上一点，AC＝AE，∠C＝∠E，已知∠BAD＝∠CAE．
（1）求证：△ABC≌△ADE．
（2）若∠EAC＝50°，求∠B的度数．
5．如图，AB∥CD，E、F分别为BD、CA延长线上的点，连接EF，分别与CD、AB相交于点G，H，若EG＝FH，BH＝CG，求证：CF∥BE．
6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，AE＝DE，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．求证：AF＝DC．
7．如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，
（1）试说明：AC＝BD；
（2）AC与BD相交于点P，求∠APB的度数．
8．如图，在Rt△ABC和Rt△EFD中，∠ABC＝∠EFD＝90°，AC＝ED，AC⊥ED，垂足为M，连接EA．
（1）△ABC与△EFD全等吗？为什么？
（2）若∠AEF＝∠DEF，判断∠AEC与∠ACE的数量关系，并说明理由．
9．如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠3，BE＝EF，证明BC＝FC．
10．如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．
（1）求证：△ACB≌△BDA；
（2）若∠ABC＝31°，求∠CAO的度数．
11．如图，在四边形△ABCD​中，AB＝AC，BE​平分∠CBA​，连接AE​，若AD＝AE​，∠DAE＝∠CAB​．
（1）求证：△ADC≌△AEB​；
（2）若∠CAB＝36°​，求证：CD∥AB​．
12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）请判断FC与AD的数量关系，并说明理由；
（2）若AB＝6，AD＝2，求BC的长度．
13．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD＝CD，CE平分∠ACB．
（1）如图1，试说明BE＝CF．
（2）如图2，若点M在边BC上（不与点B重合），MN⊥AB于点N，交BD于点G，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．
14．如图，AB，DE交于点F，AD∥BE，点C在线段AB上，且AC＝BE，AD＝BC．连结CD，CE．
（1）求证：△ADC≌△BCE．
（2）若∠A＝40°，∠ADC＝20°，求∠CDE的度数．
15．如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AB＝AC，点E在AC上，且AE＝CD，连结BE．
（1）求证：△ABE≌△CAD．
（2）若∠D＝125°，∠ABE＝25°，求∠ACB的度数．
16．如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD、CE相交于点G，BD＝DC，DF∥BC交AB于点F，连接FG．
求证：（1）△DAB≌△DGC；
（2）CG＝FB+FG．
17．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，AB≠AE，∠BAC＝∠DAE＝38°．连接BD，CE交于点O．
（1）求证：BD＝CE；
（2）求∠BOC的度数；
（3）小明同学对该题进行了进一步研究，他连接了AO，并提出了下面两个结论：①AO平分∠CAD；②OA平分∠BOE．请你选一个正确的结论，并给予证明．
18．已知∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D．
（1）如图①，求证∠BCD＝∠A；
（2）如图②，E为边BC上一点，且CE＝CA，点F是线段CD延长线上一点，连接EF，交AB于点G，若DF＝DG，
①求∠EGB的大小；
②求证FD＝AD．
19．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，对角线BD平分∠ABC交AC于点P．CE是∠ACB的角平分线，交BD于点O．
（1）请求出∠BAC的度数；
（2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由．
20．已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE．
（1）如图1，当α＝60°时，
①请直接写出△ABC和△DEC的形状；
②求证：AD＝BE；
③请求出∠AEB的度数；
（2）如图2，当α＝90°时，请直接写出：
①∠AEB的度数；
②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长．
参考答案
1．解：AB＝DE，理由如下：
∵AC∥EF，
∴∠ACB＝∠F，∠CPD＝∠E，
∵∠B＝∠CPD，
∴∠B＝∠E，
在△ACB和△DFE中，
，
∴△ACB≌△DFE（ASA），
∴AB＝DE．
2．证明：如图，
∵BA⊥AC，CD∥AB，
∴∠A＝90°，CD⊥AC，
∴∠ECD＝90°＝∠A，
∵BC⊥DE，BA⊥AC，
∴∠1+∠2＝90°，∠2+∠B＝90°，
∴∠B＝∠1，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（AAS），
∴AB＝CE．
3．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠FDB＝∠CDA＝∠AEF＝90°，
∵∠FBD+∠FDB+∠BFD＝180°，
∠CAD+∠AEF+∠AFE＝180°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠FBD＝∠CAD，
∵在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS）．
（2）解：由（1）得：DF＝DC＝2，
∴BD＝AD＝1+2＝3，
Rt△ABD中，AB＝＝3．
4．（1）证明：∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
∴∠BAC＝∠DAE．
在△ABC和△ADE中，
，
△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∵∠BAD＝∠EAC＝50°，
∴∠B＝（180°﹣50°）＝65°．
5．证明：∵EG＝FH，
∴EG+GH＝FH+GH，
即EH＝FG，
∵AB∥CD，
∴∠EHB＝∠EGD，
∵∠EGD＝∠CGF，
∴∠CGF＝∠EHB，
在△CGF和△BHE中，
，
∴△CGF≌△BHE（SAS），
∴∠F＝∠E，
∴CF∥BE．
6．证明：如图，∵D是BC的中点，
∴DC＝DB，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∴AF＝DC．
7．（1）证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：设AC与BO交于点M，则∠AMO＝∠BMP，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
∴180°﹣∠OAC﹣∠AMO＝180°﹣∠OBD﹣∠BMP，
即∠MPB＝∠AOM＝50°，
∴∠APB＝50°．
8．解：（1）△ABC≌△EFD，理由如下：
∵∠ABC＝90°，∠EFD＝90°，AC⊥ED，
∴∠EFD＝∠ABC＝∠AMD，∠BAC+∠ACB＝90°＝∠BAC+∠EDF，
∴∠ACB＝∠EDF，
在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（AAS）；
（2）∠ACE＝∠AEC，理由如下：
在△AEF和△DEF中，
，
∴△AEF≌△DEF（ASA），
∴EA＝ED，
又∵AC＝DE，
∴EA＝CA，
∴∠ACE＝∠AEC．
9．证明：∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠2＝∠3，∠ACD＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠ADC＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠BEC＝∠FEC，
在△BEC和△FEC中，
，
∴△BEC≌△FEC（SAS），
∴BC＝FC．
10．（1）证明：∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ABC和△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；
（2）解：
∵Rt△ABC≌Rt△BAD，
∴∠ABC＝∠BAD＝31°，
∵∠C＝90°，
∴∠BAC＝59°，
∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝28°．
11．（1）证明：∵∠DAE＝∠CAB​，
∴∠DAE﹣∠CAE＝∠CAB﹣∠CAE．​
∴∠DAC＝∠EAB．​
在△DAC​和△EAB​中
∵​
∴△DAC≌△EAB（SAS）​
（2）证明：∵AB＝AC，∠CAB＝36°​，
​
12．解：（1）FC＝AD，理由如下：
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∴AB＝BC+AD，
∵AB＝6，AD＝2，
∴BC＝4．
13．解：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD（ASA），
∴AB＝CF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝22.5°，
在△ACE和△BCE中，
，
∴△ACE≌△BCE（ASA），
∴AE＝BE，
∴BE＝AB＝CF；
（2）BN＝MG，
理由如下：如图，过点M作MH∥AC，交AB于H，交BD于P，
∵BD＝CD，BD⊥CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵MH∥AC，
∴∠PMB＝∠DCB＝∠PBM＝45°，∠BPM＝∠BDC＝90°，
∴BP＝PM，
∵∠BHP+∠HBP＝90°，∠BHP+∠HMN＝90°，
∴∠HBP＝∠HMN，
在△BHP和△MGP中，
，
∴△BPH≌△MPG（ASA），
∴GM＝BH，
∵MN⊥AB，CE⊥AB，
∴MN∥CE，
∴∠BMN＝∠BCE＝∠ACB＝22.5°，
∴∠BMN＝∠HMN＝22.5°，
在△BMN和△HMN中，
，
∴△BMN≌△HMN（ASA）
∴BN＝NH，
∴BN＝BH＝MG．
14．（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ADC和△BCE中，
，
∴△ADC≌△BCE（SAS）；
（2）∵△ADC≌△BCE，
∴CD＝CE，∠BCE＝∠ADC＝20°，
∵∠FCD＝∠A+∠ADC＝40°+20°＝60°，
∴∠ECD＝60°+20°＝80°，
∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝（180°﹣80°）÷2＝50°，
∴∠CDE＝50°．
15．（1）证明：∵CD∥AB，
∴∠CAB＝∠DCA，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）解：∵△ABE≌△CAD，
∴∠AEB＝∠D＝125°．
∵∠AEB+∠ABE+∠EAB＝180°，∠ABE＝25°，
∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°．
16．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ABD+∠A＝90°，∠ACE+∠A＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△DAB和△DGC中，
，
∴△DAB≌△DGC（ASA）；
（2）∵△DAB≌△DGC，
∴AB＝CG，DA＝DG，
∵BD＝CD．∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵DF∥BC，
∴∠FDA＝∠FDG＝45°，
在△DFA和△DFG中，
，
∴△DFA≌△DFG（SAS），
∴FA＝FG．
∴CG＝AB＝FB+FA＝FB+FG．
17．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠BAC＝38°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣38°＝142°，
∵∠OBC+∠OCB＝∠OBC+∠ACB+∠ACE＝∠OBC+∠ACB+ABD＝∠ABC+∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣142°＝38°；
（3）解：②OA平分∠BOE正确．
证明：如图，过点A作AH⊥BD于点H，AF⊥CE于点F，
∵△BAD≌△CAE，
∴S△BAD＝S△CAE，
∴BD×AH＝CE×AF，
又∵BD＝CE，
∴AH＝AF，
∵AH⊥BD，AF⊥CE，
∴OA平分∠BOE．
18．（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠BCD，
∴∠BCD＝∠A；
（2）①∵∠FDG＝90°，DF＝DG，
∴∠EGB＝∠FGD＝∠F＝45°；
②如图，过点E作EH⊥CD于H，
∴∠ADC＝∠EHC＝90°，
在△ACD和△CHE中，
，
∴△ACD≌△CHE（AAS），
∴AD＝CH，CD＝HE，
∵∠FDG＝∠FHE＝90°，
∴DG∥HE，
∴∠FGD＝∠FEH＝45°，
∴∠F＝∠FEH，
∴FH＝HE，
∴FH＝CD，
∴CH＝FD，
∴FD＝AD．
19．（1）解：∵CD＝AD，∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°；
（2）证明：在BC上截取BF＝BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBF，
∵OB＝OB，
∴△BEO≌△BFO（SAS），
∴∠BOE＝∠BOF，
∵∠BAC＝60°，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝60°，
∴∠POC＝∠BOE＝60°，
∴∠COF＝60°，
∴∠COF＝∠POC，
又∵OC＝OC，∠OCP＝∠OCF，
∴△CPO≌△CFO（ASA），
∴CP＝CF，
∴BC＝BF+CF＝BE+CP．
20．解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴△ABC和△DEC是等边三角形；
②∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AD＝BE，
③∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB＝∠CDA＝120°，
又∵∠CED＝60°，
∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；
（2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，∠CDE＝45°＝∠CED，
∴∠ADC＝135°，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠ADC＝∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝90°，
②∵△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD＝2，
∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD，
∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°，
∴AD＝CD＝2，
∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°，
∴∠DCF＝∠AFC，
∴DC＝DF＝2，
∴AF＝AD+DF＝4．