山东省菏泽市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题+解析

这是一份山东省菏泽市第一中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题+解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若函数在处可导，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由导数的概念可解.
【详解】.
故选：C
2. 甲、乙、丙、丁、戊、己六人站成一排合影留念，则甲、乙两人中间恰好有两人的站法有（ ）
A. 36种B. 72种C. 144种D. 288种
【答案】C
【解析】
【分析】由排列数的计算公式，结合分步乘法计数原理代入计算，即可得到结果.
【详解】第一步从6个位置中选择2个位置，满足条件的选位可以是，
共有3种不同方法；
第二步将甲、乙排到所选择的2个位置，共有种不同的方法；
第三步将丙、丁、戊、己排到剩余的4个位置，共有种不同的方法；
由分步计数原理可知，共有种．
故选：C
3. 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）．
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中给出的“拉格朗日中值点”的定义分析求解即可．
【详解】函数，求导得：，令为在上的“拉格朗日中值点”，
则有，即，
整理得，解得，
所以函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
故选：B.
4. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，利用导数判定函数的单调性即可得出选项．
【详解】解：，定义域为，
，
令，得，
令，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，排除A、C，
当时，，，，所以，排除B，
只有D中图象符合题意；
故选：D
5. 已知偶函数在上的导函数为，且在时满足以下条件：①导函数的图象如图所示；②唯一的零点是1．则的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】记在上的零点为，结合导函数的图象可求出的单调区间，再根据可求出当时的正负，再结合偶函数的性质可求得不等式的解集.
【详解】记在上的零点为，
由在上的图象，知当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为在唯一的零点是1，即，
所以当时，，当时，．
又为偶函数，所以当时，，当时，，
所以的解集为．
故选：B．
6. 已知函数，则（ ）
A. 2024B. C. 2025D. 2026
【答案】B
【解析】
【分析】通过求导得到的对称中心，然后利用对称性求函数值即可.
【详解】由，可得．
令，得，
又，所以图象的对称中心为，
，，，
．
故选：B.
7. 在上的导函数为，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件构造函数，利用导数判断其单调性，从而得到不等关系，即可判断.
【详解】令，
则，
，，
在上单调递增，
，即，
.
故选：A.
8. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围.
【详解】设，则.
∵时，，，∴，故在上单调递增.
∵对恒成立，∴当时，，则有，
当时，可等价变形为.
∵在上单调递增，且，（），
∴由可得，即对恒成立.
设，则.
当时，， ，，故.
∴在上单调递减，
∴当时， .
∵对恒成立，
∴，即实数的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把不等式等价变形为，通过构造函数，最终问题转化为转化为恒成立问题.
二、多选题
9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数在上单调递减B. 函数在上单调递减
C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值
【答案】AD
【解析】
【分析】利用函数的函数的图象，可判断函数的单增区间与单减区间，进而可得极大值点，从而可得结论.
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递增，故B错误；
当时，，所以在上单调递减，故A正确；
所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.
故选：AD.
10. 设函数，则（ ）
A. 函数有两个极值点
B. 函数有两个零点
C. 直线是曲线的切线
D. 点是曲线的对称中心
【答案】ABD
【解析】
【分析】求导，确定函数单调性极值，即可判断AB，由导数的几何意义可判断C，由对称中心的概念可判断D;
【详解】
令解得，令解得或，
所以在单调递增，单调递减，单调递增，
因为，极大值，且极小值，
所以函数有两个极值点，有两个零点，故AB正确，
令即，，无解；
故C错误；
，
所以，即点是曲线的对称中心，正确；
故选：ABD
11 设函数，则（ ）
A. 当时，是的极大值点
B. 当时，有三个零点
C. 存在a，使得点为曲线的对称中心
D. 存在a，b，使得为曲线的对称轴
【答案】BC
【解析】
【分析】A选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；B选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；C选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；
【详解】A选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，A选项错误；
B选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，B选项正确；
C选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，C选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，C选项正确.
D选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，D选项错误；
故选：BC
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心.
三、填空题
12. 函数在处有极值10，则实数_________．
【答案】
【解析】
【分析】将函数求导，由题意得和，联立求得，再回代检验是否符合题意即得.
【详解】由求导得，，
依题意，①，②，
联立① ，② ，解得：或.
当，时，，
，函数增函数，显然不符合题意，故舍去；
当，时，，
，当时，，此时为减函数，
当时，，此时为增函数，故在处有极小值为，符合题意.
故答案为：.
13. 若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解.
【详解】，由题意在上有解，
即在上有解，
根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，
故，故实数的取值范围是.
故答案为：
14. 对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】借助导数研究单调性，并求出函数在给定区间上的值域，再结合集合包含关系，列出不等式解题即可.
【详解】函数，求导，
令，求导，
函数在上单调递增，当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则，因此函数在上单调递增，
当时，，即，
函数，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，此时，即；
在上单调递增，此时，即，
由对任意的，存在唯一的使得，
得是的子集，
即，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】关键点点睛：本题关键是将题目转化为值域之间的包含关系，再借助导数研究单调性，得到值域.
四、解答题
15. 4名男生和3名女生站成一排.
（1）甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
（2）男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？
（3）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【答案】（1）2880
（2）960 （3）840
【解析】
【分析】（1）根据题意先排甲，然后剩余的进行全排列即可；
（2）利用捆绑法，将女生甲和女生乙捆绑在一起，与除去男生甲和男生乙的其他人进行全排列，然后男生甲和乙插空即可；
（3）7个全排列后，除以甲、乙、丙的全排列数即可.
【小问1详解】
分两步，先排甲有种，其余有种，
所以根据分步乘法原理知共有种排法.
【小问2详解】
分三步：
① 捆绑法，现将女生甲与女生乙捆绑在一起，有（种）；
②将女生甲和女生乙看成整体，与其他人（除去男生甲和男生乙）排列，有（种）；
③插空法，在其他人排好的基础上，将男生甲和乙插空（共有5个空位置），有（种），
所以根据分步乘法原理可知共有（种）.
【小问3详解】
7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，
因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，
故共有种排法
16. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将代入函数解析式，对函数求导，求确定斜率，求确定切点坐标，利用点斜式即可求切线方程.
（2）根据，确定函数，令，利用二次求导的方法确定的单调性，再根据，确定函数的单调区间，从而求出函数的最小值，即，由此结论得证.
【小问1详解】
当时，，则，
得，又，所以切点为，所以切线方程为，
即.
【小问2详解】
因为，所以，所以，
令，所以，
令，所以，
因为，时，，所以，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，所以，
即.
17. 已知函数，其中.
（1）若的图象在处的切线经过点，求a的值；
（2）讨论的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导求出切线的斜率和切点坐标，由直线的点斜式方程求出切线方程，再代入经过点的坐标可得答案；
（2）求导，分、、、讨论，可得答案.
【小问1详解】
，
因为，，
所以的图象在处的切线方程为，
将代入得，解得；
【小问2详解】
，
当时，，令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
当时，，所以在上单调递增.
当时，令，得或；令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
当时，令，得或；令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减.
18. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求证：函数的图象在x轴上方.
【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】(1)求，根据正负即可求y的单调区间；
(2)求，根据零点的范围求出g(x)的最小值，证明其最小值大于零即可.
【小问1详解】
，
令则.
当时，，∴函数在上单调递增；
当时，，∴函数上单调递减.
即单调递增区间是，单调递减区间是；
【小问2详解】
，
，易知单调递增，
又，，
∴在上存在一个，
使得：，即：，且，
当，有单调递减；
当，有单调递增.
∴，
∴，
∴函数的图象在x轴上方.
【点睛】本题考查隐零点，关键是判断单调，且，，由此得出在(1，2)之间存在零点，据此求出g(x)的最小值，证明此最小值大于零即可.
19. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若在区间内有最小值，求的取值范围；
（3）若关于的方程有两个不同的解，，求证：．
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，判断的符号，得到函数的单调区间即可；
（2）通过讨论的范围，判断在区间内单调性，从而得出的取值范围；
（3）根据题意分析可得：若，是关于的方程的两个不同的解，通过联立方程组消去，再通过换元，整理得到，结合的单调性分析运算得到，从而得证.
【小问1详解】
的定义域为，，
当时，，所以的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，，随的变化情况如下表所示：
所以的单调递减区间为，单调递增区间为．
综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
【小问2详解】
当时，，所以在区间内单调递减，无最小值，不合题意．
当时，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在处取得最小值．
当时，，所以在区间内单调递增，无最小值，不合题意．
综上，的取值范围为．
【小问3详解】
证明：不妨设，
由题意得消去得，
设，代入上式得，
，
下证，
即证．
设，则，
令，则，
所以在区间内单调递增，即，
所以在区间内单调递增，即，
所以，所以，
因为，，所以．0