华东师大版（2024）八年级上册（2024）12.3 等腰三角形综合训练题

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\l "_Tc31914" 【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】 PAGEREF _Tc31914 \h 2
\l "_Tc21496" 【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】 PAGEREF _Tc21496 \h 4
\l "_Tc8062" 【题型3 利用等边三角形的性质求最值】 PAGEREF _Tc8062 \h 8
\l "_Tc18896" 【题型4 证明等边三角形】 PAGEREF _Tc18896 \h 13
\l "_Tc24731" 【题型5 探究平面直角坐标系中的等边三角形问题】 PAGEREF _Tc24731 \h 19
\l "_Tc26019" 【题型6 探究等边三角形中的折叠问题】 PAGEREF _Tc26019 \h 30
\l "_Tc6725" 【题型7 探究等边三角形中的三角板问题】 PAGEREF _Tc6725 \h 39
\l "_Tc4449" 【题型8 探究等边三角形中的动态问题】 PAGEREF _Tc4449 \h 45
\l "_Tc3193" 【题型9 探究等边三角形中线段或角度之间的关系】 PAGEREF _Tc3193 \h 50
\l "_Tc23449" 【题型10 等边三角形中的多结论问题判断正误】 PAGEREF _Tc23449 \h 57
知识点：等边三角形
（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等的三角形是等边三角形；
③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.
【题型1 利用等边三角形的性质求角的度数】
【例1】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，D为等边三角形ABC内一点，AD=BD，BP=AB，∠DBP=∠DBC，则∠BPD= 度．
【答案】30
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，作AB的垂直平分线，证明AB的垂直平分线必过C、D两点，然后证明△BDC≌△BDP，利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：作AB的垂直平分线，
∵AD=BD，
∴△ABD为等腰三角形，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=BC，
∴AB的垂直平分线必过C、D两点，∠BCE=30°，
∵AB=BP=BC，∠DBP=∠DBC，BD=BD，
∴△BDC≌△BDPSAS，
∴∠BPD=∠BCE=30°．
故答案为：30．
【变式1-1】（23-24八年级·陕西西安·期中）等边三角形两条中线相交所成锐角度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理等知识．先求出∠ABC=∠ACB=60°，再根据“等边三角形三线合一”得到BE、CD也是等边△ABC的角平分线，即可求出∠FBC=30°,∠FCB=30°，从而求出∠DFB=60°．
【详解】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BE、CD是等边△ABC的中线，
∴BE、CD也是等边△ABC的角平分线，
∴∠FBC=12∠ABC=30°,∠FCB=12∠ACB=30°，
∴∠DFB=∠FBC+∠FCB=60°．
故选：D
【变式1-2】（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，△ABC是等边三角形，BC⊥CD，且AC=CD，则∠BAD的度数为（ ）
A．50°B．45°C．40°D．35°
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理、等边对等角求角度、垂线的定义，由等边三角形的性质可得∠BAC=∠ACB=60°，由垂线的定义可得∠BCD=90°，从而得出∠ACD=150°，由三角形内角和定理结合等边对等角可得∠CAD=∠D=15°，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+90°=150°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D=180°-∠ACD2=180°-150°2=15°，
∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-15°=45°，
故选：B．
【变式1-3】（23-24八年级·辽宁本溪·期中）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE=12BC，则∠AFE的度数为 ．
【答案】105°/105度
【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，由△ABC是等边三角形，可得∠B=60°，由AD是BC边上的中线，可得BD=CD= 12BC，AD⊥BC，由DE=12BC，ED=CD，可求∠ECD=45°，由三角形外角性质可求∠AFC=105°．
【详解】解：∵ △ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，AB=AC，
∵ AD是BC边上的中线，
∴BD=CD= 12BC，AD⊥BC，
∵ DE=12BC，
∴ED=CD，∠EDC=90°，
∴∠ECD=∠DEC=45°，
∵∠AFC是△FBC的外角，
∴∠AFC=∠B+∠FCD=60°+45°=105°．
故答案为：105°．
【题型2 利用等边三角形的性质求线段长度】
【例2】（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（ ）

A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质，由题意得出当点D恰好落在BC上时，OD=OP，由等边三角形的性质可得∠A=∠C=60°，证明△AOP≌△CDOAAS，可得AP=OC=AC-OA，进行计算即可，熟练掌握全等三角形的性质和等边三角形的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图，当点D恰好落在BC上时，OD=OP，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∴∠COD+∠ODC=180°-∠C=120°，
∵∠DOP=60°，
∴∠COD+∠AOP=180°-∠DOP=120°，
∴∠ODC=∠AOP，
在△AOP和△CDO中，
∠ODC=∠AOP∠C=∠AOP=OD，
∴△AOP≌△CDOAAS，
∴AP=OC，
∵AC=9，OA=3，
∴AP=OC=AC-OA=9-3=6，
故选：C．
【变式2-1】（23-24八年级·河南漯河·期末）如图，已知等边△ABC，点 O是 BC 上任意一点，OE、OF 分别与两边垂直，等边三角形的高为 1，则 OE+OF 的值为（ ）
A．0.5B．1C．2D．不确
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等面积法求高，掌握等边三角形的性质，等面积法的运用是解题的关键．
如图所示，连接OA，作AD⊥BC于点D，则AD=1，根据S△ABC=S△ABO+S△ACO即可求解．
【详解】解：如图所示，连接OA，过点A作AD⊥BC于点D，则AD=1，
∵S△ABO=12AB·OE，S△ACO=12AC·OF，S△ABC=12BC·AD，
∴12AB·OE+12AC·OF=12BC·AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，
∴12ABOE+OF=12BC·AD，
∴OE+OF=AD=1，
故选：B ．
【变式2-2】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，等边△ABC的边长为8cm，点D、E分别在边AB、AC上，点A落在点A1处，且点A1在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．
【答案】24
【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．
根据折叠可得AE=A1E，AD=A1D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
【详解】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，
所以AE=A1E，AD=A1D，
则阴影部分图形的周长为：
BC+BD+CE+A1D+A1E
=BC+BD+CE+AD+AE
=BC+AB+AC
=8+8+8
=24cm．
故答案为：24．
【变式2-3】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（ ）
A．95B．2C．115D．125
【答案】B
【分析】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP=PF=QC，根据等腰三角形性质求出EF=AE，证△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=12AC即可．能综合运用性质进行推理是解此题的关键，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．
【详解】解：过P作PF∥BC交AC于F，
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，
∠PFD=∠QCD∠PDF=∠QDCPF=CQ，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=12AC
∵AC=4，
∴DE=2．
故选：B．
【题型3 利用等边三角形的性质求最值】
【例3】（2024·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形ABC外一点．若BD=8,CD=6，连接AD，则AD的最大值与最小值的差为 ．
【答案】12
【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，
∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，
∴∠ECB=∠DCA，
∴△ECB≌△DCA（SAS），
∴BE=AD，
∵DE=CD=6，BD=8，
∴8-6