2025_2026学年山东省日照市东港区新营中学九年级上册开学考试数学试卷

这是一份2025_2026学年山东省日照市东港区新营中学九年级上册开学考试数学试卷，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1 ．下列式子中，为最简二次根式的是( )
A ． B ． C ． D ．
2 ．下列各组数中，是勾股数的是( )
A ．3 ，4 ，6 B ．5 ，12 ，13 C ．9 ，16 ，25 D ．1 ，2 ，3
3．某中学举办智力问答比赛，九年级参赛的 35 名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些 成绩的众数是( )
A ．5 B ．10 C ．15 D ．20
4 ．抛物线y = -(x + 1)2 + 2 的对称轴是( )
A ．直线x = 1 B ．直线x = -1 C ．直线x = 0 D ．直线y = 1
5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1 : y = x + 4 与直线l2 : y = mx + n 交于点A(-1, b)，则关
于x ，y 的方程组 的解为 ( )
A ． B ． C ． D ．
6 ．已知二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：
那么(4a - 2b + c)(a - b + c) 的值为( )
A ．2023 B ．2022 C ．2021 D ．2020
7 ．如图， △ABC 中，上B = 30° ,将△ABC 绕点 C 顺时针旋转60° 得到 △DEC ，点 A ，B 的 对应点分别为 D ，E，延长 BA 交DE 于点 F，下列结论一定正确的是( )
A ．上ACB = 上ACD B ．AC ∥ DE C ．AB = EF D ．BF 丄 CE
8 ．关于x 的一元二次方程(a - 5)x2 - 4x -1 = 0 有实数根，则a 的取值范围是( )
A ．a ≥1 B ．a > 1 且a ≠ 5 C ．a ≥1 且a ≠ 5 D ．a ≠ 5
9 ．如图，在正方形 ABCD 中，O 为对角线 BD 的中点，E 为边 AB 上一点，AF 丄DE于点
F，OF = ·、 ，AF = 1，则正方形的边长为( )
A ．3 B ． C ．2 + D ．
10．在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程 中，弹簧测力计的示数 F（N）与铁块下降的高度 h（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示： 当铁块位于水面上方时，F = G重力 ，当铁块入水后，F = G重力 - F浮力 ．）则以下说法正确的是 ( )
x
-1
3
4
y
10
10
202
A ．当铁块下降 3cm 时，此时铁块在水里．
B ．当5 ≤ h ≤ 10 时，F（N）与 h（cm）之间的函数表达式为 ．
C ．当铁块下降高度为 6cm 时，此时铁块所受浮力是 1.5N．
D ．当弹簧测力计的示数为 8N 时，此时铁块底面距离水底 8.5cm．
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11 ．函数 中， 自变量x 的取值范围是 ．
12 ．如图，在直角坐标系中，以原点 O 为旋转中心，将线段OA 顺时针旋转90° 得到线段 OA¢ ,点 A 的对应点为A¢ . 若点 A 的坐标为(2,3)，则点 A¢ 的坐标为 ．
13 ．设 x1 ，x2 是一元一次方程2x2 - 3x -10 = 0 的两根，2x - 3x1 + x1x2 = ．
14 ．已知二次函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象如图所示，对称轴是直线x = -1 ．给出下列 结论：① abc < 0 ；②2a + b = 0 ；③ a - b + c > 0 ；④4a - 2b + c < 0 ．其中正确的是 .( 填序号)
15．如图，正方形ABCD 中，AB = 3 ，点 E 在边 BC 上，BE = 1，点 F、G 分别在边AB、CD
上，且FG 丄 AE ，则 AG + EF 的最小值是 ．
三、解答题（本大题共 8 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．）
16 ．解方程：
(1) x2 - 2x - 3 = 0
(2)(x - 3)(x - 1) = 3
17 ．如图，将 △ABC 绕点C 逆时针旋转90° 至 △DEC 的位置，此时 A 、B 、D 三点共线．
(1)求 Ð CAB 的大小；
(2)若BD = 6 ，DE = 2 ，求 AC 的长．
18．莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为0.2 米， 立柱间距为 3 米．
(1)根据如图所示，将表格补充完整；
(2)设有x 根立柱，护栏总长度为y 米，则y 与x 之间的关系式是______．
(3)求护栏总长度为 93 米时立柱的根数？
19 ．已知关于x 的一元二次方程x2 + 2(k -1)x + k2 -1 = 0 有实数根．
立柱根数
1
2
3
4
5
护栏总长度（米）
0.2
3.4
9.8
(1)求实数k 的取值范围．
(2)设方程的两个实数根分别为 x1 ，x2 ，若 (x1 -1)(x2 -1) = 6 ，求 k 的值．
20 ．抛物线y = x2 - 4x + 3 的图像与 x 轴交于 A ，B 两点，A 在 B 左侧，与y 轴交于点 C．
(1)点 C 坐标为 ，顶点坐标为 ；
(2)不等式x2 - 4x + 3 > 0 的解集是 ；
(3)当 x 满足-2 < x ≤ 4 时，y 的取值范围是 ．
(4)当y 满足0 < y < 3 时，x 的取值范围是 ．
21 ．如图，在。ABCD 中，对角线AC、BD 交于点O ，过点 A 作AE 丄 BC 于点E ，延长 BC 至点F ，使 CF = BE ，连接DF ．
(1)求证：四边形AEFD 是矩形；
(2)若BC = CD ，BF = 16 ，DF = 8 ，求。ABCD 的面积．
22 ．在直角坐标系中，设函数y1 = ax2 + bx - a （a ，b 是常数，a ≠ 0 ）．
(1)已知函数y1 的图象经过点(1,2) 和(-2, -1)，求函数 y1 的表达式．
(2)若函数y1 图象的顶点在函数y2 = 2ax 的图象上，求证：b = 2a ．
(3)若b= a + 3 ，当 x > -1 时，函数y1 随 x 的增大而增大，求 a 的取值范围．
23 ．数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题、 演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务：
【任务 1】逆向思维： “在直角三角形中，如果一个锐角等于30° , 那么它所对的直角边等于 斜边的一半”请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果__________，那么__________． 【任务 2】推理建模：请补充完成任务 1 中逆命题的推理过程．
已知：如图 1，在 Rt△ABC 中，上ACB = 90° , __________，求证：__________．
证明：延长BC 到点 D，使 CD = BC ，连接 AD ．（请完成剩余过程）
【任务 3】模型应用：动手操作：
第 1 步：如图 2，四边形 ABCD 是一张正方形纸片，先将正方形ABCD 对折，使BC 与AD 重合，折痕为MN，再把这个正方形展平；
第 2 步：如图3，将正方形 ABCD 沿直线BE 折叠，使 A 点的对应点 P 落在MN 上，再把这 个正方形展平，连接AP ，BP ．
第 3 步：如图 4，延长 EP 交CD 于点 Q，连接BQ ．
数学思考：（1）图 3 中的 EF ，
故 C 选项不正确；
故选：D．
8 ．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方 程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)，若 Δ = b2 - 4ac > 0，则方程有两个不相等的实数根，若
Δ = b2 - 4ac = 0，则方程有两个相等的实数根，若 Δ = b2 - 4ac < 0，则方程没有实数根．利 用一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义求解即可．
【详解】解：“关于 x 的一元二次方程(a - 5)x2 - 4x -1 = 0 有实数根，
: íìï(-4)2 - 4(a - 5)(-1) ≥ 0 ，
ïla - 5 ≠ 0
: a ≥1 且a ≠ 5 ， 故选：C．
9 ．B
【分析】连接 AC，AC 交 ED 于 M，则 AC 过点 O，作 ON丄OF 交 FD 于 N，求出∠FAO = ∠NDO ，∠AOF= ∠DON，根据正方形的性质得出 AO＝DO，根据全等三角形的判定定理得 出△AOF≥△DON，根据全等三角形的性质得出 根据勾股定 理求出 NF，得到 DF＝3，再根据勾股定理求出 AD 即可．
【详解】解：连接 AC，AC 交 ED 于 M，则 AC 过点 O，作 ON丄OF 交 FD 于 N，
“四边形 ABCD 是正方形， :AC丄BD ，OD ＝OA，
“AC丄BD ，OF丄ON，
:∠FON= ∠AOD ＝90° ,
:∠AOF= ∠DON＝90。−∠AON， “AF丄DE，
:∠AFM＝90° ,
:∠FAO+∠AMF＝90° , “∠AOD ＝90° ,
:∠NDO+∠DMO ＝90° , “∠AMF= ∠DMO，
:∠FAO = ∠NDO，
在△AFO 和△DNO 中 :△AFO≥△DNO（ASA），
在 Rt△FON 中，由勾股定理得 :DF＝FN＋DN＝2＋1 ＝3，
在 Rt△AFD 中，由勾股定理得 即正方形 ABCD 的边长是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质， 正方形的性质，勾股定理等知识点，解此题 的关键是作辅助线，构造全等三角形．
10 ．D
【分析】根据函数图像待定系数法求得线段 AB 的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键．
【详解】解：由图知，铁块下降到 5cm 时，刚好接触水面， :A 选项错误；
当5 ≤ h ≤ 10 时，设AB 所在直线的关系式为：F = kh + b ，
把(5,12) ，(10, 4) 代入得 解得
:F 与 h 的关系式为 :B 选项错误；
当h = 6 时 由图知G重力 = 12 ，
: F = G重力 - F浮力 ，
: F浮力 = G重力 - F = 12 -10.4 = 1.6 ， :C 选项错误；
当F = 8 时 解得h = 7.5 ，
此时铁块底面距离水底16 - 7.5 = 8.5cm ， :D 选项正确；
故选：D．
11 ．x ≥ 0 且x ≠ 1
【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定．根据二次根式的被开方数是非负数、 分式分母不为0 列出不等式组，解不等式组得到答案．
【详解】解：由题意得：x ≥ 0 且
解得：x ≥ 0 且x ≠ 1，
故答案为：x ≥ 0 且x ≠ 1．
12 ．(3, -2)
【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 过点 A 作AB 丄 y 轴于点 B，过点 A¢ 作A¢C 丄 x 轴于点 C，由旋转得，OA = OA¢ ,
ÐAOA¢ = 90° , 可得 △AOB≌△A¢OC ，则A¢C = AB ，OC = OB ．由已知条件可得AB = 2 ，OB = 3 ， 则A¢C = 2 ，OC = 3 ，可得点 A¢ 的坐标．
【详解】解：过点 A 作AB 丄 y 轴于点 B，过点 A¢ 作A¢C 丄 x 轴于点 C，
: 上ABO = 上A¢CO = 90° , : 上AOB + 上AOC = 90° .
由旋转得，OA = OA¢ , 上AOA¢ = 90° , : 上AOC + 上A¢OC = 90° ,
: 上AOB = 上A¢OC ，
: △AOB≌△A¢OC (AAS) ， : A¢C = AB ，OC = OB ． :点 A 的坐标为(2, 3) ， : AB = 2 ，OB = 3 ，
: A¢C = 2 ，OC = 3 ，
:点A¢ 在第四象限内， :点A¢ 的坐标为(3, -2) ．
故答案为：(3, -2) ．
13 ．5
【分析】由题意易得2x12 - 3x1 = 10 ，则根据一元二次方程根与系数的关系可知x1x2 = -5 ，然 后代入求解即可．
【详解】解： 由一元二次方程的解可得2x12 - 3x1 = 10 ，根据一元二次方程根与系数的关系可 知x1x2 = -5 ，
: 2x - 3x1 + x1x2 = 10 - 5 = 5 ；
故答案为 5．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及
根与系数的关系是解题的关键．
14 ．①④
【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系， 掌握二次函数的性质、灵活运用数形结 合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物 线的解析式．根据开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点，确定 a 、b 、c 的符号，根据对 称轴和图象确定当x = -1 时，当x = -2 时，y 的范围，确定代数式的符号．
【详解】解：由题图知 a > 0 ， :b>0 ，
Q抛物线与y 轴交于负半轴，
:c < 0 ，
:abc 3
(3)-1≤ y < 15
(4) 0 < x < 1或3 < x < 4
【分析】本题考查了二次函数的性质， 抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数 形结合的思想解答是解题的关键．
（1）把 x =0 代入y = x2 - 4x + 3 可得点C 坐标，把函数解析转化为顶点式可得顶点坐标；
（2）把 y = 0 代入y = x2 - 4x + 3 求出点A 、B 坐标，再结合图象解答即可求解；
（3）分别求出x =4, -2, 2 的函数值，再结合函数的性质即可求解；
（4）把 y = 3 代入y = x2 - 4x + 3 求出对应的x 的值，再结合图象解答即可求解；
【详解】（1）解：把 x = 0 代入y = x2 - 4x + 3 得，y = 3 ， :点C 坐标为(0, 3) ，
: y = x2 - 4x + 3 = (x - 2)2 -1，
:顶点坐标为(2, -1) ，
故答案为：(0, 3), (2, -1) ；
（2）解：把 y = 0 代入y = x2 - 4x + 3 得，x2 - 4x + 3 = 0 ，
解得：x1 = 3, x2 = 1，
: A(1, 0), B(3, 0) ，
由图象可得，当x < 1或x > 3 时，y > 0 ，即 x2 - 4x + 3 > 0 ， :不等式x2 - 4x + 3 > 0 的解集是x < 1或x > 3 ，
故答案为：x < 1或x > 3 ；
（3）解：当 x = -2 时，y = (-2)2 - 4× (-2) + 3 = 15 ，
当x = 4 时，y = 42 - 4× 4 + 3 = 3 ， 顶点为(2, -1) ，开口向上，
:当-2 < x ≤ 4 时，-1≤ y < 15 ， 故答案为：-1≤ y < 15 ；
（4）解：把 y = 3 代入y = x2 - 4x + 3 得，x2 - 4x + 3 = 3 ，
解得：x1 = 4, x2 = 0 ，
:当0 < y < 3 时，0 < x < 1或3 < x < 4 ， 故答案为：0 < x < 1或3 < x < 4 ．
21 ．(1)证明见解析
(2)80
【分析】（1）由平行四边形的性质可得 AD Ⅱ BC ，AD = BC ，由 CF = BE 得EF = BC ，即
得EF = AD ，即可得四边形 AEFD 是平行四边形，再根据AE 丄 BC 即可求证；
（2 ）利用矩形和勾股定理可得BC = CD = 10 ，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关 键．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， : ADⅡBC ，AD = BC ，
: ADⅡEF ， ∵ CF = BE ，
: CF + EC = BE + EC ，即 EF = BC ， : EF = AD ，
:四边形AEFD 是平行四边形， ∵ AE 丄 BC ，
: 上AEF = 90° ,
:平行四边形AEFD 是矩形；
（2）解：∵四边形AEFD 是矩形， : AE = DF = 8 ，上F = 90° ,
在Rt△CFD 中，由勾股定理得：DF2 + CF2 = CD2 ， ∵ BC = CD ，
: CF = BF - BC = 16 - CD ， : 82 + (16 - CD)2 = CD2 ，
解得CD = 10 ，
: BC = CD = 10 ， ∵ AE 丄 BC ，
: S。ABCD = BC·AE = 10 × 8 = 80 ．
22 ．(1)函数表达式为y =x2 +2x-1
(2)见解析
(3)a 的取值范围为0 < a ≤ 3
【分析】（1）将(1, 2) 和(-2, -1) 代入函数表达式即可；
（2）先得出函数顶点坐标 代入y2 = 2ax 化简即可得出结论；
（3）根据二次函数性质求解．
【详解】（1）解：将(1, 2) 和(-2, -1) 代入函数y1 = ax2 + bx - a 中， 得： ，
解得 ，
故函数表达式为：y =x2 +2x-1；
( b -4a2 - b2 ö
（2）证明：函数 y1 图象的顶点坐标为 çè - 2a , 4a ,÷ , 代入函数y2 = 2ax 中得
化简得：(2a - b)2 = 0 ， : b = 2a ；
（3）解：: b = a + 3 ，
:抛物线的对称轴为直线
:当x > -1 时，函数y1 随 x 的增大而增大 : a > 0 ，且
:a 的取值范围为0 < a ≤ 3
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键．
23 ．任务 1 ：一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的锐角等于30° ;
任务 上BAC = 30° , 理由见解析；
任务 3：（1）30° ；（2） △ABP 是等边三角形，理由见解析；（3）4 - 6 ；
任务 4 ：6 - 6
【分析】任务 1：根据原命题写出逆命题即可；
任务 2：根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论；延长 BC 到点 D，使 CD = BC ， 连接AD ，即可证明 AC 垂直平分BD ，进一步有△ABD 是等边三角形，利用三角形内角和
定理即可证明；
任务 3：（1）由任务 2 的结论进行求解即可；
（2）由对折的性质可知：AM = BM ，AB = BP ，上PMB = 90° ,可得PM 垂直平分AB ， 得到PA = PB ，再证得PA = PB = AB ，最后可证得 △ABP 是等边三角形；
（3）由对折的性质可知 再证明 Rt △ BPQ≥Rt△ BCQ(HL)，可得PQ = CQ，再求得 从而得出
PE = AE = 2 ，DE = AD - AE = 2 - 2，由对折的性质知，