2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[辽宁专用 北师大版第一章~第四章]

这是一份2025_2026学年九年级上册数学第一次月考[辽宁专用 北师大版第一章~第四章]，共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025-2026 学年九年级数学上学期第一次月考
（考试时间：120 分钟 试卷满分：120 分）
注意事项：
1 ．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2 ．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，
将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3 ．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4 ．测试范围：北师大版九年级上册第一章~第四章．
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．
1 ．下列方程是一元二次方程的是( )
A ．ax2 + bx + c = 0 B ．x2 - y +1 = 0
C ．x2 = 1 D ．
2 ．如图，四边形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点 O ，OA = OC，OB = OD ，则下列说法 中错误的是( )
A ．若AC = BD ，则四边形 ABCD 是矩形
B ．若BD 平分7ABC ，则四边形 ABCD 是菱形
C ．若AB 丄 BC 且AC T BD ，则四边形 ABCD 是正方形
D ．若AB = BC 且AC T BD ，则四边形 ABCD 是正方形
3 ．如图，某校荷花池有两个入口，三个出口．若小明同学去荷花池赏花，出入均是随机的， 则恰好从入口 A 进入，从出口E 离开的概率为( )
1 1 1 1
A ． B ． C ． D ．
2 3 4 6
4．如图，AB∥CD∥EF ，AF 交BE 于点G ，若AC = CG, AG = FG ，则下列结论错误的是 ( )
B ． C ． D ．
5 ．宁波市积极推进绿色出行，某品牌共享电动车 2023 年注册用户为 50 万户，2025 年预计 增长至 80 万户，设这两年用户数的年平均增长率为 x，可列方程为( )
A ．50 (1+ x) = 80 B ．50 (1+ x)2 = 80
C ．80 (1- x )2 = 50 D ．50 (1+ x ) + 50(1+ x )2 = 80
6 ．在我国古代数学著作《九章算术》中，有一名题如下：今有木去人不知远近，立四表， 相去各一丈，令左两表与所望参相直，从后右表望之，入前右表三寸．问木去人几何？可译 为：有一棵树C 与人（A 处）相距不知多远，立四根标杆A ，B ，G ，E ，前后左右的距离 各为 1 丈（即四边形 ABGE 是正方形，且AB = 100 寸），使左两标杆A ，E 与所观察的树C 三点成一直线．又从后右方的标杆B 观察树C ，测得其“入前右表”3 寸（即FG = 3 寸），问 树C 与人所在的A 处的距离有多远？设树C 与人所在的A 处距离为x 寸，则所列方程正确的 是( )
A ． B ．
C ． D ．
7 ．为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为480m2 的长方形场地作为劳动 基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为70m 的篱笆围成，并且在 平行于墙的边上设置两个开口宽为1m 的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为xm ， 则下列方程正确的是( ).
A ．x (72 - 2x) = 480 B ．x (68 - 2x) = 480
C ．x (72 - x) = 480 D ．x (68 - x) = 480
8．如图，在边长为 8 的正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，F 是CD 的延长线上一点，连接 AE ，AF，AM 平分 Ð EAF 交CD 于点M ．若BE = DF = 2 ，则 FM 的长度为( )
A ． B ． C ． D ．
9 ．我国三国时期的数学家赵爽（公元 2~3 世纪）研究过某类一元二次方程的正数解的几何 解法．以方程x2 + 5x -14 = 0 ，即x (x + 5) = 14 为例说明，他在其所著的《勾股圆方图注》中 记载的方法是：构造如图所示的大正方形，它的面积可表示为(x + x + 5)2 ，同时也可以表示
为四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4× 14 + 52 ，因此有 (x + x + 5)2 = 81 ，可得方 程的正数解为x = 2 ．小明用此方法解关于x 的方程x2 + mx - n = 0时，构造出类似的图形，
如果大正方形的面积为 41，小正方形的面积为 9，则 m, n 的值分别为( )
A ．2 ，8 B ．3 ，8 C ．2 ，9 D ．3 ，9
10．如图，正方形OABC 的对角线OB 在直线上，点 A 在第一象限．若正方形OABC 的面积是 50，则点 A 的坐标为( ).
A ．(1, 7) B ．(2, 7) C ．(7, 2) D ．(2, 5)
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
11 ．若关于 x 的一元二次方程mx2 + 3x -1 = 0有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围 是 ．
12 ．如图，在正方形ABCD 中，上DAF = 35° , AF 交BD 于点E ，则 Ð BEC 的度数 为 ．
13．化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第 一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的
同学，这样全班 49 人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了 名同学？
14 ．如图 1 是装了液体的长方体容器的截面图（数据如图），将容器绕底面一条棱旋转倾斜 后，水面恰好接触到容器口的边缘，如图 2 所示，此时水面宽度AB 为 ．
15 ．矩形ABCD 中，AB = 10 ，AD = 4 ，点 P 为边CD 上一个动点，将△APD 沿AP 折叠得 到△APQ ，点 D 的对应点为 Q，当射线PQ 恰好经过AB 的中点 M 时，DP 的长为 ．
三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤．
16 ．解下列方程：
(1) (x - 2)2 - 9 = 0 ；
(2) 2x2 - 6x +1 = 0 ；
(3) 3(x -1)2 - x (x -1) = 0 ；
(4)2(2x - 3) = 3x (2x - 3) ．
17 ．如图，某教室摆放了 16 把椅子，图中每个方框代表一把椅子，规定横为排，竖为列，
其中黑色圆点表示已有 10 位老师入座．现在又有李老师和王老师需要入座，根据会议安排， 李老师需要坐第二排，王老师需要坐第三排，假设这两位老师选择每一个空座位的可能性相 等．
(1)李老师选择B2 座位的概率是 ；
(2)请通过列表法或树状图法，求这两位老师刚好坐在同一列的概率．
18 ．如图，在Rt△ABC 中，ÐB = 90° , AB = 6cm ，BC = 3cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向 点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以1cm/s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，设运动时间为t 秒(0 < t < 3)．
(1)当t 为何值时， △BPQ 为等腰三角形？
(2)是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求此时t 的值；若不存 在，请说明理由；
(3)当t 为何值时，P 、Q 间的距离等于2 cm ？
19 ．在四边形ABCD 中，点E 为AB 的中点，分别连接CE ．
(1)如图 1，若 上A = 上B ，上ADE = 上BEC ．
①求证：AE2 = AD . BC ； @求证：DE 平分 Ð ADC ；
(2)如图 2，若 ÐDAB + Ð B = 90° , 上DEC = 90° , AD = 3 ，BC = 1，求CD 的长．
20．某电器商场从厂家购进了A ，B 两种型号的洗衣机，已知一台A 型洗衣机的进价比一台 B 型洗衣机的进价多 600 元，用 14400 元购进A 型洗衣机与用 10800 元购进B 型洗衣机的台
数相同．
(1)求一台A 型洗衣机和一台B 型洗衣机的进价各为多少元？
(2)在销售过程中，A 型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停 止购进B 型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当 B 型洗衣机的售价为 2800 元时，每天可售出5 台，在此基础上，售价每降低 100 元，每天 将多售出 1 台，如果每天该商场销售B 型洗衣机的利润为 5400 元，请问该商场应将B 型洗 衣机的售价定为多少元？
21．定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形 称为“凸对四边形” ．如图 1，凸四边形 ABCD 沿对角线AC 对折后完全重合，四边形ABCD 是以直线AC 为对称轴的“凸对四边形”
(1)下列四边形一定是“凸对四边形”的有______（填序号）；
①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．
(2)如图 2，在矩形 ABCD 中，点E 是BC 边上的中点，四边形ABEM 是以直线AE 为对称轴 的“凸对四边形”（点 M在四边形ABCD 内部），连接AM 并延长交DC 于点N ．求证：四边 形MECN是“凸对四边形”；
(3)如图 3，在四边形ABCD 中，AB∥CD ，ADⅡBC ，AB = 9 ，AD = 12 ，点E 是BC 边上 的中点，四边形ABEM 是以直线AE 为对称轴的“凸对四边形”（点 M在四边形ABCD 内
部），连接AM 并延长交DC 于点N ．当△ADN 是直角三角形时，请直接写出线段CN 的长．
22．若关于 x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根均为整数，则称这个方程为“快乐方 程” ．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2 - 4ac 一定为完全平方数．现规定
为该“快乐方程”的“快乐数” ．例如：“快乐方程” x2 - 3x - 4 = 0的两个根
均为整数，其“快乐数 若有另一个“快乐方程”
px2 + qx + r = 0(p ≠ 0) 的“快乐数”F(p, q, r) ，且满足r . F(a, b, c) = c . F(p, q, r) ，则称F(a, b, c) 与F(p, q, r) 互为“开心数”．
(1)“快乐方程” x2 - 5x + 6 = 0的“快乐数”为________；
(2)若关于 x 的一元二次方程x2 - (2m +1)x + m2 + 3m - 6 = 0 （m 为整数，且-1< m < 2 ）是“快
乐方程”，求 m 的值，并求该方程的“快乐数”；
(3)若关于 x 的一元二次方程x2 - mx + m +1 = 0 与x2 - (n + 2)x + 2n = 0 （m ，n 均为正整数） 都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，直接写出 n 的值．
23 ．【问题情境】在数学活动课上，李老师给出了如下的问题：
如图 1，在 △ABC 中，上BAC = 90° ,点 D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且
上ADE = 上C ．求证：上AED = 上ABC ．
【独立思考】（1）请你解答李老师提出的问题；
【实践探究】李老师建议各小组同学自主学习，合作交流，在原有问题条件不变的情况下， 增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．
（2）如图 2 ，“第一小组”增加条件：过点B 作BF 丄 ED 交ED 的延长线于点F ．求证：
上FBD = 上ABC ．
（3）在“第一小组”增加条件的基础上，“第二小组”增加条件：若BF = EF ．求证：
BC = BF + FD ．
【问题解决】
（4）在课后，“第三小组”的同学在前面学习的基础上，又自行创编了新的问题，请你解答． 如图 3，在四边形 ABCD 中， AB = AD ， 上BAD = 90° , 上D = 90° + 上C ， 上ABE = 上CBE ， 若AE = 1 ，AB = 2 ，求CD 的长．
1 ．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的 最高次数是 2；（2）二次项系数不为 0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个 方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知 数且未知数的最高次数是 2．
【详解】解：A、当 a =0 时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C．
2 ．D
【分析】本题主要考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定等知识点， 熟练掌握相 关定理是解题的关键．
先根据平行四边形的判定证明ABCD 是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方 形的判定逐项判断即可．
【详解】解：:OA = OC，OB = OD ，
:四边形ABCD 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， : AC = BD ，
:平行四边形ABCD 是矩形，A 正确，不符合题意；
: AB ⅡCD ，
: ÐABD = ÐBDC ， : BD 平分 Ð ABC ， : ÐABD = ÐDBC ，
: ÐCBD = ÐBDC ， : BC = CD ，
:平行四边形ABCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），B 正确，不符合题意；
: AB 丄 BC ，四边形 ABCD 是平行四边形， :平行四边形ABCD 是矩形，
: AC 丄 BD ，四边形 ABCD 是平行四边形， :平行四边形ABCD 是菱形，
:平行四边形ABCD 是正方形，C 正确，不符合题意；
: AC 丄 BD 或AB = BC ，四边形 ABCD 是平行四边形，
:都只能证明平行四边形ABCD 是菱形，D 错误，符合题意．
故选：D．
3 ．D
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题关键是掌握列表法与树状图法求概率． 列表可得出所有等可能的结果数以及从入口 A 进入，从出口E 离开的结果数，再利用概率 公式可得出答案．
【详解】解：列表如下：
共有 6 种等可能的结果，其中小明同学恰好从入口A 进入，从出口E 离开的结果有 1 种，
:小明同学恰好从入口A 进入，从出口E 离开的概率为 ， 故选：D．
4 ．B
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理， 掌握两条直线被一组平行线所截，所得的 对应线段成比例是解题关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：Q AC = CG, AG = FG ，
:FG = AG = 2AC = 2CG ，CF = 3AC = 3CG ，AF = 4AC = 4CG ，
故 D 选项正确；
Q AB Ⅱ CDⅡEF ，
故 A 、C 选项正确， 故 B 选项结论错误，
故选：B．
5 ．B
C
D
E
A
(A, C )
(A, D )
(A, E )
B
(B, C )
(B, D )
(B, E )
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据 2023 年注册用户及 2025 年注册用 户，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设年平均增长率为x ，则 2024 年用户数为50(1+ x) ，2025 年用户数为
50 (1+ x )2 ，
根据 2025 年用户数为 80 万，得方程50(1+ x )2 = 80 ， 故选：B．
6 ．B
【分析】本题考查了正方形的性质， 相似三角形的判定与性质，先结合四边形ABGE 是正方 形，则AC∥GB ，EF∥AB, 故证明△CEF ∽△CAB ， △BGF ∽△CAB ，再代入数值到
, 即可作答．
【详解】解：∵四边形ABGE 是正方形
: EF Ⅱ AB, ÐG = ÐA = 90°, EA = EG = AB = BG = 100 ，AC∥GB ， : ÐCEF = ÐCAB ， ÐC = ÐGBF ，
∵ ÐC = ÐC ，
:△CEF ∽△CAB ， △BGF ∽△CAB ， 则 ， ，
故选：B．
7 ．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量 关系是解题的关键．
【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为 xm ， 由题意得，x (70 + 2 - 2x) = 480 ，
即x (72 - 2x) = 480 ， 故选：A ．
8 ．B
【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等， 勾股定理等知识，根据正方
形的性质及三角形全等的判定及性质，证明AE = AF ，利用角平分线的性质及三角形全等的 判定及性质，证明EM = FM ，设EM = x ，则FM = x ， MC= 10 - x ，CE = 6 ，在Rt△MCE 中根据勾股定理求解即可，掌握正方形的性质、三角形全等的判定及性质、勾股定理是解题 的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， : AB = AD ， ÐABE = ÐADF = 90° ,
:在Rt△ABE 和Rt△ADF 中，
ï
ì AB = AD
íÐABE = ÐADF ， ïl BE = DF
: Rt △ABE≌Rt△ADF (SAS) ， : AE = AF ；
∵ AM 平分 Ð EAF ，
: ÐEAM = ÐFAM ，
:在△AEM 和 △AFM 中，
ï
ì AE = AF
íÐEAM = ÐFAM ， ïl AM = AM
: △AEM≌△AFM (SAS) ， : EM = FM ，
∵四边形ABCD 是正方形，
:BC = CD = 8 ， ÐBCD = 90° ,
设EM = x ，则 FM = x ，MC = CD - DM = 8 - (x - 2) = 10 - x ， CE = BC - BE = 8 - 2 = 6 ，
在Rt△MCE 中，根据勾股定理，得EM2 = MC2 + CE2 ，
即x2 = (10 - x )2 + 62 ， 解得：
: FM = ，
故选：B．
9 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的 关键．
画出方程x2 + mx - n = 0的拼图过程，由面积之间的关系得m2 = 9 ，x(x + m) = n ，即可求解． 【详解】解：如图，
由题意得：m2 = 9 ，x(x + m) = n ， : 9 + 4n = 41，
解得：m = 3 ，负值舍去，n = 8 ．
故选：B．
10 ．A
【分析】本题考查正方形的性质， 全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，一 次函数图象上的点的特征，勾股定理，熟练作辅助线构造一线三垂直全等模型是解题的关 键．作OF 丄 OB ，交BA 的延长线于点 F，作BM 丄 x 轴于点 M，FN 丄 x 轴于点 N．证明 △BOF 是等腰直角三角形，得出 OB = OF ，再证明 △BOM ≌△OFN， 得出 BM = ON ， OM = FN ， 利用正方形OABC 的面积是 50 ，得出 设 利用
OM 2 + BM2 = OB2 ，得出B(-6,8) ，则可得F(8, 6) ，利用中点即可求出点 A 的坐标．
【详解】解：作OF 丄 OB ，交 BA 的延长线于点 F，作 BM 丄 x 轴于点 M，FN 丄 x 轴于点 N．
:四边形ABCO 是正方形，
: 上OBA = 45° , : 上BOF = 90° ,
: △BOF 是等腰直角三角形， : OB = OF ，
: 上BOF = 90° , BM 丄 x 轴，FN 丄 x 轴，
: 上BMO = 上ONF = 90° , 上BOM + 上FON = 90° , 上BOM + 上OBM = 90° , : 上OBM = 上FON ，
: △BOM≌△OFN ，
: BM = ON ，OM = FN ，
:正方形OABC 的面积是 50， : OA = = 5 ，
: OB = OA = 10 ，
4 ( 4 ö
:点 B 在直线y = - 3 x 上，设Bçèa, - 3 a,÷ ,
: OM2 + BM2 = OB2 ，即 解得a = -6 （正值舍），
: B (-6,8) ，BM = ON = 8 ，OM = FN = 6 ， : F (8, 6) ，
: BA = AF ，
故选：A．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握相关性 质内容是解题的关键．因为关于 x 的一元二次方程mx2 + 3x -1 = 0有两个不相等的实数根， 得
Δ = 32 - 4× m × (-1) > 0 ，且m ≠ 0 ，再进行计算，即可作答．
【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程mx2 + 3x -1 = 0有两个不相等的实数根， :Δ = 32 - 4× m × (-1) = 9 + 4m > 0 ，且 m ≠ 0
故答案为 0 ．
12 ．80° ##80 度
【分析】本题主要考查了正方形的性质， 全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，由 正方形的性质得到AD = CD， ∠ADB = ∠CDB = 45° ,则可证明△ADE ≥ △CDE (SAS) ，得 到∠DCE = ∠DAE = 35° ,再由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形， : AD = CD， ∠ADB = ∠CDB = 45° ,
又∵DE = DE ，
:△ADE ≥ △CDE (SAS) ，
:∠DCE = ∠DAE = 35° ,
:∠BEC = ∠CDE +∠DCE = 80° , 故答案为：80° .
13 ．6
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设一个人每节课手把手教会了 x 名同学，根据第 二节课后全班 49 人恰好都会做这个实验了，可列出关于 x 的一元二次方程．
【详解】解：根据题意得：1+ x +(1+ x)x = 49 ，即 (1+ x)2 = 49 ， 解得：x1 = 6 或x2 = -8 （舍去）
即一个人每节课手把手教会了 6 名同学， 故答案为：6．
14 ．9cm ## 9 厘米
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质， 旋转的性质．熟练掌握相似三角形的判定与 性质是解题的关键．如图，作BE 丄DE 于E ，则 上BED = 90° ,由题意知，
BD = 15，BC = 6，BE = 10，上C = 90°, AB ⅡDE ， AC Ⅱ BD ， 则 上CAB = 上DBA = 上BDE ，
证明 △CAB∽△EDB ，则 即 计算求解即可．
【详解】解：如图，作 BE 丄DE 于E ，则 上BED = 90° ,
由题意知，BD = 15，BC = 6，BE = 10，上C = 90°, ABⅡDE ，AC Ⅱ BD ，
: 上CAB = 上DBA = 上BDE ， 又: 上C = 上BED = 90° ,
: △CAB∽△EDB ，
即 ， 解得，AB = 9 ，
故答案为：9cm ．
15 ．2 或 8
【分析】本题考查了矩形的性质， 折叠的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答并正确画 出图形是解题的关键．
分点P 在线段CD 中点的左边和右边两种情况，画出图形解答即可求解． 【详解】解：如图 1，过点 P 作PE 丄 AB 于E ，
:四边形ABCD 是矩形，
:上BAD = 上D = 90° ,
:四边形ADPE为矩形， 上PEM = 90° ,
:EP = AD = 4, AE = DP ，
由折叠可得，DP = QP, AQ = AD = 4, 上AQP = 上D = 90° , :DP = QP = AE, 上AQM = 90° ,
:点M为AB 的中点，
设DP = QP = AE = a ，则ME = 5 - a, PM = 3 + a ， 在Rt△PEM 中，PE2 + EM2 = PM 2 ，
:42 + (5 - a)2 = (3 + a)2 ，
解得a = 2 ，
:DP = 2 ；
如图 2，过点 M作MF 丄 CD 与F ，
则四边形ADFM 是矩形，上MFP = 90° ,
:DF = AM = 5, MF = AD = 4 ，
由折叠可得DP = QP, AQ = AD = 4, 上AQP = 上D = 90° ,
设DP = QP = x ，则PF = x - 5, PM = x - 3 ， 在Rt△MFP 中，MF2 + PF2 = PM 2 ，
:42 + (x - 5)2 = (x - 3)2 ，
解得x = 8 ，
:DP = 8 ；
综上，DP 的长为 2 或 8， 故答案为：2 或 8．
16 ．(1) x1 = 5 ；x2 = -1
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）对于方程(x - 2)2 - 9 = 0, 先移项将其化为(x - 2)2 = 9, 再利用直接开平方法求解；
（2）对于方程2x2 - 6x +1 = 0, 先确定二次项系数、一次项系数和常数项，得 Δ = 36 - 8 = 28 > 0 ， 再代入求根公式 计算．
（3）先分解因式得(x -1)(2x - 3) = 0 ，再解方程，即可作答．
（4）利用因式分解法求解；
【详解】（1）解：(x - 2)2 - 9 = 0 ， : (x - 2)2 = 9 ，
直接开方得：x - 2 = 3 或x - 2 = -3 ，
解得：x1 = 5 ，x2 = -1；
（2）解：2x2 - 6x +1 = 0 ，
其中a = 2 ，b = -6 ，c = 1，
: Δ = b2 - 4ac = 36 - 8 = 28 > 0 ，
（3）Q3(x -1)2 - x (x -1) = 0 ，
:(x -1)(3x - 3 - x ) = 0 ，即(x -1)(2x - 3) = 0 ，
:x -1 = 0 或2x - 3 = 0 ，
解得：
（4）解：2 (2x - 3) = 3x (2x - 3) ， 移项，得2(2x - 3) - 3x (2x - 3) = 0 ，
方程左边因式分解，得(2x - 3)(2 - 3x) = 0 ， 所以2x - 3 = 0 或2 - 3x = 0 ，
解得：x1 = ，x2 = ．
17 ．(1)
(2)
【分析】本题考查了求简单事件的概率， 列表法或树状图法求概率，关键是求出所有等可能 的结果及事件发生的等可能结果；
（1）李老师选择第二排空座位的所有可能结果有 3 种，选择B2 座位只有 1 种结果，由此即 可求得概率；
（2）列表求出所有可能结果，两位老师刚好坐同一列的所有可能结果，
【详解】（1）解：由题意知，李老师选择B2 座位的概率为 ；
故答案为： ；
（2）解：列表如下：
由表知，所有等可能的结果共有 9 种，其中两位老师选择坐同一列的所有可能结果有 2 种，
则这两位老师刚好坐在同一列的概率为 ；
答：这两位老师刚好坐在同一列的概率为 ．
18 ．(1)当t = 2s 时， △BPQ 为等腰三角形
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）依题意得，AP = 2t ，BQ = t ，当 △BPQ 为等腰三角形时，只有BP = BQ ，联 立方程即可求解；
（2）依题意得 化简得2t2 - 6t + 9 = 0 ，再根据判别式确定即可；
（3）由于ÐB= 90°,则 PQ2 = PB2 + BQ2 ，代入 5t2 - 24t +16 = 0 化简求值即可.
B2
B3
B4
C1
B2 C1
B3 C1
B4 C1
C2
B2 C2
B3 C2
B4 C2
C3
B2 C3
B3 C3
B4 C3
【详解】（1）解：依题意得，AP = 2t ，BQ = t ， 则BP = 6 - 2t ，
当 △BPQ 为等腰三角形时，只有BP = BQ ， :6 - 2t = t ，
解得t = 2 ，
即当t = 2s 时， △BPQ 为等腰三角形；
（2）不存在，理由如下：
依题意得
2t2 - 6t + 9 = 0 ，
Q Δ = 36 - 72 < 0 ， :方程无实根，
:不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分；
（3）Q ÐB = 90° , PQ = 2 ，
: PQ2 = PB2 + BQ2 ，
: (6 - 2t)2 + t2 = (2)2 ， 化简得：5t2 - 24t +16 = 0 ， 解得t = 4 或
∵ 0 < t < 3
: t = 4 不符合题意，舍去
故 时，P 、Q 间的距离等于2 cm ．
【点睛】本题考查了几何图形中的动点问题， 涉及了等腰三角形，勾股定理、一元二次方程 等知识点；注意利用实际问题中的约束条件检验所得的解．
19 ．(1)①见解析；②见解析
(2) CD = ·/10
【分析】（1）①根据对应角相等证明 △AED∽△BCE ，所以对应边成比例，再根据点E 为AB
的中点，代入比例式即可求证；②由①知 △AED∽△BCE 可得 再由AE = BE
可得 ，进而得出 △ADE∽△EDC ，可得 上ADE = 上EDC ，即证得结论；
（2）过点A 作AF Ⅱ BC ，连接DF ，EF ，根据全等三角形的判定与性质，构造Rt△ADF ， 再根据等腰三角形的判定得出 △CDF 为等腰三角形，最后根据勾股定理即可求出CD 的长． 【详解】（1）证明：① 上A = 上B ，上ADE = 上BEC ，
: △AED∽△BCE ，
: E 为AB 的中点， : AE = BE ，
即AE2 = AD . BC ；
②: 上AED + 上DEC + 上CEB = 180° , 上AED + 上ADE + 上A = 180° , : 上A + 上ADE = 上DEC + 上CEB ，
: 上ADE = 上BEC ， : 上A = 上DEC ，
: 上A = 上B ，上ADE = 上BEC ， : △AED∽△BCE ，
: AE = BE ，
: △ADE∽△EDC ，
: 上ADE = 上EDC ， : DE 平分 Ð ADC ；
（2）解：如图，过点 A 作AF Ⅱ BC ，连接DF ，EF ，
: 上FAE = 上B ，
: AE = BE ，上AEF = 上BEC ， : △AEF≌△BEC（ASA），
: AF = BC ，EF = EC ，
: ÐDAB + Ð B = 90° , : 上DAB + 上BAF = 90° , : 上DAF = 90° .
: 上DEC = 90° , : DF = DC ，
在Rt△ADF 中，AD2 + AF2 = DF2 ，
: AD = 3 ，BC = 1， : AF = 1，
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质， 三角形内角和定理，全等三角形的判定和 性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是解题的关键．
20 ．(1)一台A 型洗衣机的进价为 2400 元，则一台B 型洗衣机的进价为 1800 元
(2)2400 元．
【分析】本题考查了分式方程的应用， 一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关 键．
（1）设一台A 型洗衣机的进价为 x 元，则一台B 型洗衣机的进价为(x - 600) 元，根据题意， 列出方程，即可求解；
（2）将 B 型洗衣机的售价定为 m 元，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：设一台A 型洗衣机的进价为 x 元，则一台B 型洗衣机的进价为(x - 600) 元， 根据题意得：
解得：x = 2400 ，
经检验：x = 2400 是原方程的解，且符合题意， 此时 x - 600 = 1800，
答：一台A 型洗衣机的进价为 2400 元，则一台B 型洗衣机的进价为 1800 元；
（2）解：设将 B 型洗衣机的售价定为 m 元，根据题意得：
解得： m1 = 2400, m2 = 2700， ∵力求尽快清空库存货品，
: m = 2400 ，
答：将B 型洗衣机的售价定为 2400 元．
21 ．(1)②④
(2)见解析 (3) 4
【分析】（1）根据“凸对四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题；
（2）连接 EN ，证明 Rt△EMN≌Rt△ECN（HL），得出四边形MECN 沿EN 折叠完全重合， 则可得出结论；
（3）分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案．
【详解】（1）解：∵①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；② 菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合．
:②菱形，④正方形一定是凸对四边形；
故答案为：②④;
（2）证明：如图 2，连接 EN ，
∵四边形ABCD 是矩形， : 上B = 上C = 90° ,
∵ E 是BC 的中点， : EB = EC ，
∵将 △ABE 沿AE 折叠后得到 △AME ，
: 上AME = 上B = 90° , ME = EB ，上EMN = 180° - 上AME = 90° = 上C ， : EM = EC ，
: EN = EN ，
: Rt △EMN≌Rt△ECN（HL），
:四边形MECN 沿EN 折叠完全重合， :四边形MECN是“凸对四边形”；
（3）解：若 上ADN = 90° ,连接 EN ，则四边形 ABCD 是矩形，
: 上B = 90° = 上C ，
由（2）知 AB = AM ，CN = MN ，
设CN = x ，则 AN = 9 + x ，DN = 9 - x ，
: AD2 + DN2 = AN2 ，
: 122 + (9 - x )2 = (9 + x )2 ，
: x = 4 ，
: CN = 4 ；
若上AND = 90° , 连接EN ，过点E 作EG 丄 AN 于点G ，EH 丄 CD ，交DC 的延长线于点H ， 如图，
由（2）知 EM = EC ， : AB∥CD ，
: 上B + 上BCD = 180° ,
: 上AME + 上BCD = 180° , : 上AME + 上EMN = 180。，
: 上EMN = 上ECN ，上EMG = 上ECH ，
∵ 上EGM = 上EHC = 90° , : △EMG≌△ECH（AAS）， : EG = EH ，
∵ EN = EN ，
: △EMN≌△ECN（AAS）， : MN = CN ，
设CN = a ，DN = 9 - a ，AN = a + 9 ， 在Rt△AND 中，AN2 + DN2 = AD2 ， : (a + 9)2 + (9 - a )2 = 122 ，
整理得a2 = -9 ，（不符合题意舍去）
综上所述，CN 的长为4 ．
【点睛】本题是四边形综合题， 主要考查了新定义，矩形的性质，平行四边形的性质，折叠 的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．深入理解题意，理解新定义是解决问题的关 键．
22 ．
(2)m 的值是 0，该方程的“快乐数”是-
(3)n 的值为 3
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，熟练掌握题目中 “快乐方程” ，“快乐数”的定义是解题的关键．
（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程” x2 - 5x + 6 = 0 的“快乐数”；
（2）先计算 Δ = -8m + 25 ，根据“快乐方程”的定义，此为完全平方数，根据-1 < m < 2 ，得 到9 < -8m + 25 < 33 ，即可求出-8m + 25 的值为 16 或 25，根据 m 为整数，即可求出 m 的值， 即可求其“快乐数”；
（3）关于 x 的一元二次方程x2 - mx + m +1 = 0 是“快乐方程”，即可求出 m 的值，求出方程 x2 - (n + 2)x + 2n =0 的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出 n 的值．
【详解】（1）x2 - 5x + 6 = 0 的“快乐数”为 故答案为：-
（2）∵一元二次方程x2 - (2m +1)x + m2 + 3m - 6 = 0 （m 为整数，且-1< m < 2 ）是“快乐方 程”，
: Δ = - (2m +1)2 - 4× 1 × (m2 + 3m - 6) = -8m + 25 ， ∵ -1< m < 2 ，
: 9 < -8m + 25 < 33 ， ∵ -8m + 25 为平方数，
:-8m + 25 = 16 ，或 -8m + 25 = 25 ， : m = （舍去），或 m = 0 ，
:原方程为x2 - x - 6 = 0 ，
:“快乐数”为
（3）∵x 的一元二次方程x2 - mx + m +1 = 0 （m 为正整数）是“快乐方程”， :设 Δ = (-m)2 - 4× 1 × (m +1) = m2 - 4m - 4 = (m - 2)2 - 8 = a2 （a 整数），
: (m - 2)2 - a2 = 8 ，
: (m + a - 2)(m - a - 2) = 8 ， ∵两因式同奇同偶，
: í ,或 í ,或 í ,或 í
ìm + a - 2 = 4 ìm + a - 2 = 2 ìm + a - 2 = -4 ìm + a - 2 = -2
lm - a - 2 = 2 lm - a - 2 = 4 lm - a - 2 = -2 lm - a - 2 = -4 ， 解得m = 5 ，或 m = -1 (舍去)，
: x2 - 5x + 6 = 0 ，
∵x 的一元二次方程x2 - (n + 2)x + 2n = 0 （n 为正整数）是“快乐方程”，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
解得，n = 3 ，n = （舍去）．
故 n 的值是 3．
23 ．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4） ．
【分析】（1）根据三角形的内角和为180° 可得ÐB + ÐC = ÐADE + ÐAED ，再结合上ADE = 上C 即可证明；
（2）根据三角形内角和为180° 可得ÐBDF+ ÐFBD = ÐADE + ÐAED ，再由对顶角相等即
上BDF = 上ADE ，即可证明；
（3）先由角边角的证明方法证明△BFD 与 △EFG 全等，由此可得FD = FG ，再由角边角的 证明方法证明 △ABC 与△ABG 全等，由此可得BG = BC ，即可证明；
（4）先由边角边的证明方法证明 △ABE 与 △ADG 全等，由全等性质可得边的长度，再结合 相似三角形的性质可得GF = ，即可求解．
【详解】（1）证明：在 △ABC 中，上BAC = 90° , :ÐB + ÐC = 180°- 90° = 90° ,
在 △ADE 中，上BAC = 90° ,
:ÐADE + ÐAED = 180°- 90° = 90° , : 上ADE = 上C ，
: 上AED = 上ABC ；
（2）证明：在△ADE 中，上BAC = 90° , :ÐADE + ÐAED = 180°- 90° = 90° ,
:过点B 作BF 丄 ED 交ED 的延长线于点F ， : BF 丄 EF ，即 上F = 90° ,
:ÐBDF+ ÐFBD = 180°- 90° = 90° , : 上BDF = 上ADE ，
:ÐAED = ÐFBD ，
由（1）可知，上AED = 上ABC ， : 上FBD = 上ABC ；
（3）证明：延长 BF 与CA 于点 G，如图，
∵ BF 丄 EF ，即 上BFD = 上EFG = 90° , ∵ BF = EF ，
由（2）知，ÐAED = ÐFBD ， 在△BFD 与 △EFG 中，
由 :△BFD ≥ △EFG ，
: FD = FG ，
在 △ABC 中，上BAC = 90° , : 上BAG = 90° ,
由（2）知，上FBD = 上ABC ， 在 △ABC 与△ABG 中，
由 : △ABC ≥ △ABG ，
: BG = BC ，
∵ BG = BF + FG = BF + FD ， : BC = BF + FD ；
（4）解：在 Rt△ABE 中，AE = 1 ，AB = 2 ， : BE = = = ，
延长BA 与CD 于点 G，延长 BE 交CG 于点 F，如图，
∵ 上BAD = 90° , : 上GAD = 90° ,
: 上ADC = 90° + 上G ， 又∵ 上D = 90° + 上C ， : 上C = 上G ，
: BC = BG ，即 △GBC 为等腰三角形， ∵ 上ABE = 上CBE ，
: BF 为Ð ABC 的角平分线，
: BF 为 △GBC 的中线和高线， : GF = CF ，BF 丄 CG ，
由（2）知，上ABE = 上ADG ， 在 △ABE 与 △ADG 中，
: △ABE ≥ △ADG ，
: BG = 2 +1 = 3 ， ∵ BF 丄 CG ，
: 上BFG = 90° ,
ì上BFG = 上BAD = 90°
由 í ,
l上ABE = 上FBG : △ABE 一△FBG ，
在 △ABE 与△FBG 中，
即 ， 解得 ，
【点睛】本题考查了三角形内角和性质， 三角形外角和性质，等腰三角形的性质，全等三角 形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，需熟练掌握由等量代换证明角度相等；根据三 角形全等可得BG 长度，由相似三角形的性质求解是解决本题的关键．