（人教A版）选择性必修一高二数学上册 综合检测必刷密卷（培优卷）(2份，原卷版+解析版)

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选择性必修第一册综合检测卷（培优卷） 单项选择题： 1．已知直线，则下列结论正确的个数是（    ） ①直线的截距为             ②向量是直线的一个法向量 ③过点与直线平行的直线方程为 ④若直线，则 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的截距可判断①，由直线的方向向量可判断②，由直线平行设所求直线方程为，代入点即可判断③，由直线垂直可判断④. 【详解】对于①,令,则;令,则,故①错误; 对于②,因为直线的方向向量为或,则,所以向量是直线的一个法向量,故②正确; 对于③,设与直线平行的直线方程为,因为直线过点,所以,所以过点与直线平行的直线方程为,故③正确; 对于④, 直线,直线,则,所以两直线垂直，故④正确, 所以结论正确的个数为3，故选: B. 2．如图，在正三棱柱中，，E是的中点，F是的中点，若点G在直线上，且平面AEF，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面AEF的法向量，设出，利用求出的值，从而求出的模长，求出答案. 【详解】如图：以C为原点，CB，所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则． 由题可设，则． 设平面AEF的法向量，则，令，则，得．由，得，则，，即． 故选：A 3．已知圆和圆的交点为、，则下列选项错误的是（    ） A．圆和圆有两条公切线 B．直线的方程为 C．圆上存在两点和使得 D．圆上的点到直线的最大距离为 【答案】C 【分析】判断两圆的位置关系，可判断A选项；将两圆方程作差，可得出直线的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项. 【详解】对于A选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，所以，， 因为，则两圆相交，故这两圆有两条公切线，A对； 对于B选项，将两圆方程作差可得，即直线的方程为，B对； 对于C选项，圆心到直线的距离为，所以，， 对于圆上的任意两点、，，C错； 对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D对.故选：D. 4．已知均为抛物线上的点，为的焦点，且，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当直线 的斜率大于0时，过作准线的垂线，作，根据，设，推出，的值,计算，同理计算当直线 的斜率小于0时的，即得答案. 【详解】当直线 的斜率大于0时，如图，过作准线l的垂线， 垂足分别为 ，过B作为垂足,因为 ，所以可设 ， 因为均在C上，所以, ,故，则， 当直线的斜率小于时，同理可得，故直线的斜率为，故选：A. 5．坐标原点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用点到直线距离公式列式，再求出函数的值域作答. 【详解】坐标原点到直线的距离，令， 则，因，则，当且仅当，即时取等号，即，所以原点到直线l的距离的取值范围为.故选：A 6．已知双曲线的左、右顶点分别为，圆与双曲线交于两点，记直线的斜率分别为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，进而结合题意设，再结合，计算即可得答案. 【详解】解：由题知，因为圆与双曲线交于两点， 所以，根据对称性可设， 所以，， 所以，因为，即， 所以故选：B 7．已知双曲线：的右焦点为，过点作直线与交于，两点，若满足的直线有且仅有1条，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】依题可知直线的斜率为0或斜率不存在，然后分类讨论，计算，并进行验证，最后可得结果. 【详解】若直线的斜率存在且不为0，根据双曲线的对称性，此时满足的直线的个数为偶数，所以直线的斜率为0或斜率不存在.当直线的斜率为0时，，为双曲线的左､右顶点， 由，得双曲线的方程为：，易得，过点的通径长为，满足条件， 此时双曲线的离心率；当直线的斜率不存在时，此时为双曲线过点的通径， 则，解得或，当时，实轴长为1，因为，所以满足的直线有3条；当时，实轴长为4，因为，所以满足的直线也有3条.综.上所述，双曲线的离心率为.故选:A. 8．椭圆的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线交椭圆于点（在轴的上方），连接，再作的角平分线，点在上的投影为点，则（其中为坐标原点）的长度为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设，进而结合椭圆定义和余弦定理得，即，，再延长交于，再结合题意可知是的中点，，最后根据中位线定理即可得答案. 【详解】解：由题知，因为在椭圆上，所以， 设，在中，由余弦定理得，解得， 所以，，，延长交于，因为是的角平分线，点在上的投影为点， 所以是的中点，，因为是的中点， 所以.故选：D 多项选择题： 9．下列说法中，正确的有（    ） A．点斜式可以表示任何直线 B．直线在y轴上的截距为 C．直线关于对称的直线方程是 D．直线与之间的距离为 【答案】BD 【分析】根据直线的点斜式、斜截式、平行线间距离及轴对称可得结果. 【详解】点斜式，不表示直线，所以不正确； 直线在轴上的截距为；满足直线的截距式方程的含义，所以正确； 直线关于对称的直线方程是，所以不正确； 直线与之间的距离为，所以正确；故选：． 10．已知方程：，则下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则方程表示的图形是圆 B．若，则方程表示的图形是双曲线，且渐近线方程为 C．若且，则方程表示的图形是椭圆 D．若且，则方程表示的图形是离心率为的椭圆 【答案】BD 【分析】对于A，由题知方程为，再根据，时的情况判断A； 对于B，分和两种情况讨论判断B； 对于C，分和两种情况讨论判断C； 对于D，由题知方程表示焦点在轴上的椭圆，再求离心力判断D. 【详解】解：对于A选项，由于且得，故方程为， 所以，当时，方程表示的图形是圆；当时，方程不表示任何图形，故A选项错误； 对于B选项，若，则方程表示的图形是双曲线， 当时，焦点在轴上，，渐近线方程为； 当时，焦点在轴上，，渐近线方程为；所以，B选项正确； 对于C选项，由于且，所以当时，方程表示焦点在轴上的椭圆；当时，方程不表示任何图形；所以，C选项错误； 对于D选项，若且，方程表示焦点在轴上的椭圆，其中，所以，离心率为，故D选项正确. 故选：BD 11．设椭圆：的左右焦点分别为，，点为椭圆上一动点，过点的直线与椭圆交于A、B两点，则下列说法中正确的是（    ） A．的范围是 B．存在点，使 C．弦长的最小值为3 D．面积的最大值为 【答案】AC 【分析】对于选项A，利用两点间距离公式表示出后可得答案. 对于选项B，问题等价于以为直径的圆与椭圆C是否有交点. 对于选项C，将直线AB方程与椭圆C方程联立，通过弦长公式得答案. 对于选项D，分析面积表达式可得答案. 【详解】由题，设椭圆半焦距为c，则.则，. 对于选项A，设为椭圆上任意一点.则.注意到，则.得，又注意到，则. 当P为椭圆左顶点，即时，最小为当P为椭圆右顶点，即时，最大为，故A正确. 对于选项B，若存在点，使，则P在以为直径的圆上.则点P存在等价于上述圆与椭圆有交点，又圆的方程为.则点P存在等价于有解，消去得.则方程组无解，故相应的P不存在，B错误. 对于选项C，设直线AB方程为，将其与椭圆方程联立得，消去x 有，设，又 则.故 . 当时，即AB垂直于x时，最小为3，故C正确. 对于选项D，设点.则，故当P为椭圆上下顶点时，面积最大为.故D错误.故选：AC 三、填空题： 12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点F是抛物线的焦点．l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若的“勾”，“股”，则抛物线的方程为__． 【答案】 【分析】由题可得，然后由抛物线的定义得到是等边三角形求解即得. 【详解】由题意可知，，， 可得，所以， 由抛物线的定义得， 所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是. 故答案为：. 13．已知直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为______________ 【答案】 【分析】先由题意及直线的几何意义可推得，再分别令与求得在两坐标轴的截距，由此利用三角形面积与基本关系式即可求得面积的最小值. 【详解】因为直线与两坐标轴正半轴分别交于A，B两点， 所以由化为，得，即，故，令，则；令，则，所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以，即面积的最小值为. 故答案为：. . 14．球上有四点，且两两垂直，，四面体的体积等于______. 【答案】 【分析】根据题意以，，为棱构造长方体，则长方体的体对角线为球的直径，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量可求出球心到平面的距离，从而可求出四面体的体积. 【详解】以，，为棱构造长方体，则长方体的体对角线为球的直径，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，球心的坐标为， 所以，设平面的法向量为，则 ，令，则，因为， 所以球心到平面的距离为，因为， 所以， 所以四面体的体积等于.故答案为：. 四、解答题： 15．已知圆过点，且与圆外切于点. (1)求圆的方程； (2)设倾斜角为的直线与圆交于两点，若，求的方程. 【答案】(1)；(2)或 【分析】（1）根据题意结合圆的性质求圆心和半径，进而可得圆的方程；（2）由分析可得，结合垂径定理可得圆心到直线的距离，列式运算求解. 【详解】（1）因为圆与圆外切于点，所以三点共线，且的方程为. 又的中点为，，则的中垂线的斜率， 的中垂线方程为，即，与直线联立，可得圆心， 则半径，所以圆的方程为. （2）因为的倾斜角为，所以.由，得， 又，所以，则，所以圆心到直线的距离. 设的方程为，则，解得，所以的方程为或. 16．如图，在长方体中，，，，点是棱BC的中点，点在棱上，且（为实数）． (1)求二面角的余弦值； (2)当时，求直线EF与平面所成角的正弦值的大小． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量及其夹角，即可求得结果； （2）根据（1）中所求平面的法向量以及的坐标，再用向量法求解即可. 【详解】（1）如图所示，建立空间直角坐标系． 则，，，，设平面的法向量为， 则，．即，．令，则．∴平面的一个法向量． 又平面DAC的一个法向量为， 故，即二面角的余弦值为． （2）当时，，，，． 设直线EF与平面所成角为，则， 即直线EF与平面所成角的正弦值的大小为． 17．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，P是双曲线的右支上一点． (1)求的最小值； (2)若右支上存在点P满足，求双曲线的离心率的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用两点间的距离公式化简即可求解（2）利用题设条件以及双曲线的定义解得和，设，，则，代余弦定理即可求解 【详解】（1）设，，（）则当P在右顶点时，最小，所以的最小值为． （2）设，．依题意，解得，由余弦定理得，即，得，． 18．已知点到点的距离比点到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程； (2)求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）解法1：根据已知条件，设点，列出方程，化简；解法2：定义法求抛物线的方程. （2）轨迹法求点的轨迹方程. 【详解】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知 当时，可化为，整理得，（舍去） 当x< 3时，可化为整理得， 故点M的轨迹方程为 解法2：由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，为准线的抛物线，点M的轨迹方程为； （2）设Q（x，y）， 则，  ∴ 又，故即为所求. 19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP＝90°，AB＝AC＝PA＝2． (1)求证：平面PBD⊥平面PAC； (2)若点M为PD中点，求直线MC与平面PBC所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）先证PA⊥面ABCD，从而得到PA⊥BD，进而可证明BD⊥面PAC，最后由面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立坐标系，写出相关点的坐标，求出平面PBC的法向量，利用线面角的向量公式求解即可 【详解】（1）因为∠BAP＝90°，则PA⊥AB，又侧面PAB⊥底面ABCD， 面PAB∩面ABCD＝AB，PA⊂面PAB，则PA⊥面ABCD BD⊂面ABCD，则PA⊥BD 又因为四边形ABCD为平行四边形，且∠ABC＝60°，AB＝AC 则△ABC为等边三角形，则ABCD为菱形，则BD⊥AC 又PA∩AC＝A，则BD⊥面PAC，BD⊂面PBD，则面PBD⊥面PAC． （2）取BC中点E，以点A为原点，分别以AE，AD，AP为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，0，0），由点M为PD中点，M（0，1，1） 则， 设面PBC的法向量为，则，则 设直线MC与面PBC所成角为θ，则 所以直线MC与平面PBC所成角的正弦值为．