第四章 一次函数专题02 一次函数与正比例函数【七大考点+知识串讲】(原卷版+解析版）-北师大版数学8上

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专题02 一次函数与正比例函数 考点类型 知识一遍过（一）正比例函数定义一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。（二）一次函数定义如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。（三）求函数解析式待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。待定系数法求函数解析式的一般步骤：①设函数解析式②将已知条件带入到解析式中③解方程 ④将求出的数值代入到解析式中 考点一遍过考点1：正比例函数的定义典例1：用四根木条制作成一个长方形框架，双手将它的两个对角慢慢向两边拉动．在这个变化过程中，平行四边形的面积和高之间的关系是（    ）A．不成反比例关系B．成反比例关系C．成正比例关系D．不成正比例关系【答案】C【分析】题目主要考查判断正反比例的关系，熟练掌握正反比例的关系是解题关键根据题意得出平行四边形的面积=底×高，底是一定的，即可判断【详解】解：平行四边形的面积=底×高，底是一定的，∴平行四边形的面积和高之间的关系是成正比例关系，故选：C【变式1】已知y=m−2xm2−3是关于x的正比例函数，则m的值为（    ）A．±2B．2C．−2D．任何实数【答案】C【分析】本题考查正比例函数的定义，根据形如y=kxk≠0的函数是正比例函数列关于m的方程求解即可．【详解】解：∵y=m−2xm2−3是关于x的正比例函数，∴m2−3=1，且m−2≠0，解得m=−2，故选：C．【变式2】已知函数y=(k+1)x+k−1，当k 时，它为一次函数；当k 时，它是正比例函数．【答案】 ≠−1 =1【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的解析式，根据一次函数的解析式是y=kx+b,(k≠0),正比例函数的解析式是y=kx,(k≠0)得出答案．【详解】解：当y=(k+1)x+k−1是一次函数时，得k+1≠0，∴k≠−1，当y=(k+1)x+k−1是正比例函数时，得k−1=0且k+1≠0，解得k=1，故答案为：≠−1，=1．【变式3】对于正比例函数y=(m+1)x|m|，则m= ．【答案】1【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟记正比例函数的自变量次数为1，且一次项系数不等于0，是解题的关键．根据正比例函数的定义可得m+1≠0且m=1即可解答．【详解】∵函数y=(m+1)x|m|是正比例函数，∴ m+1≠0且m=1，∴m=1，故答案为：1．考点2：识别一次函数典例2：下列函数是一次函数的是（   ）A．y=8x²B．y=x+1 C．y=9x2D．y=x−1【答案】B【分析】本题考查了一次函数的定义：形如y=kx+bk≠0的函数是一次函数．根据一次函数的定义进行判断即可．【详解】解：A.y=8x2不具备一次函数的形式，故选项A不符合题意；B. y=x+1具有一次函数的形式，故选项B符合题意；C.y=9x2不具备一次函数的形式，故选项C不符合题意；D. y=x−1不具备一次函数的形式，故选项D不符合题意；故选：B．【变式1】下列函数中，是一次函数的是（    ）①y=2x；②y=5x2+3；③y=3x+1；④y=2x．A．①②B．②③C．①④D．①③【答案】D【分析】根据一次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．本题考查的是一次函数的定义，即一般地，形如y=kx+b(k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【详解】解：①y=2x是一次函数，故本选项正确；②y=5x2+3不是一次函数，故本选项错误；③y=3x+1是一次函数，故本选项正确；④y=2x不是一次函数，故本选项错误；故选：D．【变式2】在下列函数中，x是自变量，y是因变量，则一次函数有 ，正比例函数有 ．（将代号填上即可）①y=3x+1；②y=x2+2x；③y=5x；④y=1−4x；⑤y=1x+2．【答案】 ①③④ ③【分析】根据一次函数及正比例函数的定义，即可一一判定．【详解】解：①y=3x+1是一次函数，不是正比例函数；②y=x2+2x不是一次函数；③y=5x是正比例函数，因为正比例函数一定是一次函数，所以还是一次函数；④y=1−4x是一次函数；⑤y=1x+2既不是正比例函数也不是一次函数．故答案为：①③④，③．【点睛】本题考查了一次函数及正比例函数的定义，熟知正比例函数是一次函数的特例是解决本题的关键．【变式3】下列函数中，是一次函数的是 ，是正比例函数的是 ．（填序号）（1）y＝﹣x2；（2）y＝﹣2x；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x﹣12；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6．【答案】 （1）（3）（5）（6）（7） （1）（6）【分析】本题主要考查一次函数与正比例函数的定义以及两者之间的联系.【详解】解:一次函数: （1）y＝﹣x2；（3）y＝3﹣5x；（5）y＝6x﹣12；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2=-4x（7）y＝x﹣6．正比例函数:(1) y＝﹣x2 ;(6) y＝x（x﹣4）﹣x2=-4x;故答案为: 一次函数: (1)(3)(5) (6) (7);正比例函数:(1)(6).【点睛】根据一次函数和正比例函数的定义判断. 符合y=kx (k≠0) 的形式的函数是正比例函数也是一次函数,符合y=kx+b (k≠0)的形式的函数是一次函数.考点3：根据一次函数定义求值典例3：若y关于x的函数y=m−2xm2−3+2m−1是一次函数，则m的值为（    ）A．±2B．2C．−2D．1【答案】C【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如y=kx+bk≠0，进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵y关于x的函数y=m−2xm2−3+2m−1是一次函数，∴m−2≠0，m2−3=1∴m≠2，m=±2即m=−2故选：C【变式1】函数y=2m−1xn+3+m−5是关于x的一次函数的条件为（    ）A．m≠5且n=−2 B．n=−2 C．m≠12且n=−2D．m≠12【答案】C【分析】根据一次函数的定义进行求解即可．【详解】解：∵y=2m−1xn+3+m−5是关于x的一次函数，∴n+3=12m−1≠0，解得：n=−2m≠12，故选：C．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫作一次函数．【变式2】已知函数y=m+2xm2−3+2是关于x的一次函数，则m= ．【答案】2【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．根据一次函数的定义求解即可．【详解】解：根据题意得：m2−3=1且m+2≠0，解得：m=2．故答案为：2．【变式3】若函数y=k−2xk+1+4x−3是一次函数，则k的值可以是 ．【答案】0或2/2或0【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=kx+b (k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．根据一次函数的定义得到k+1=1且k−2+4≠0，或k−2=0，然后求解即可．【详解】解∶根据题意，得k+1=1且k−2+4≠0，或k−2=0∴k=0或k=2，故答案为∶0或2．考点4：求一次函数自变量或函数值典例4：以下四点中，不在函数y=−3x+2图象上的点是（　）A．1,−1B．−1,5C．2,0D．0,2【答案】C【分析】直接把各点坐标代入函数y=3x+2进行检验即可．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【详解】解：A、∵当x=1时，y=−3+2=−1，∴此点在函数图象上，故本选项不合题意；B、∵当x=−1时，y=3+2=5，∴此点在函数图象上，故本选项不合题意；C、∵当x=2时，y=−6+2=4≠0，∴此点不在函数图象上，故本选项符合题意；D、∵当x=0时，y=0+2=2，∴此点在函数图象上，故本选项不合题意．故选：C．【变式1】点a,−1在一次函数y=−2x+1的图象上，则a的值为（    ）A．a=−3 B．a=−1 C．a=1 D．a=2 【答案】C【分析】本题主要考查了求一次函数自变量， 将点a,−1代入一次函数解析式即可求解．【详解】解：∵点a,−1在一次函数y=−2x+1的图象上，∴−1=−2a+1，解得：a=1，故答案为：C．【变式2】若一次函数y=−2x+1的图像过Am，n，则4m+2n+2023的值为 ．【答案】2025【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．先把点(m,n)代入函数y=−2x+1求出n=−2m+1，再代入所求代数式进行计算即可．【详解】解：∵一次函数y=−2x+1的图象过A(m,n)，∴−2m+1=n，∴2m+n=1，∴4m+2n+2023=2(2m+n)+2023=2×1+2023=2025．故答案为：2025．【变式3】已知一次函数y=ax+b（a，b是常数且a≠0），x与y的部分对应值如下表：那么方程ax+b=0的解是 ．【答案】x=1【分析】本题考查了一次函数的性质，根据表格得出y=0时对应的x的值，即可求解．【详解】解：根据图表可得：当x=1时，y=0，则方程ax+b=0的解是x=1．故答案为：x=1．考点5：列一次函数解析式典例5：已知P(2m,m+1)是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是 （    ）A．y=2x−1B．y=12x−1C．y=12x+1D．y=2x+1【答案】C【分析】令2m=x，m+1=y，利用代入消元法，消去m，即可得到答案．【详解】令2m=x，m+1=y，∴m=12x，m=y-1，∴12x= y-1，即：y=12x+1，点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式可以是：y=12x+1．故选C．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握代入消元法，是解题的关键．【变式1】已知水池的容量为 V m 3 ，每小时灌水量为 50 m 3 ，灌满水所需时间为 t (h)，那么 V 与 t 之间的函数关系式是（ ）A．V ＝50 tB．V ＝50－ tC．v=50tD．V ＝50+ t【答案】A【详解】分析：根据等量关系“体积=流速×时间”列出关系式即可．详解：∵体积=流速×时间，∴V与t之间的函数关系式为：V=50t.故选A.点睛：考查了学生列一次函数的能力，解题关键是找出题中的等量关系：“体积=流速×时间”，根据等量关系列关系式即可.【变式2】为了鼓励节能降耗，某市规定如下用电收费标准：每户每月的用电量不超过200度时，电价为0.6元/度；超过200度时，不超过部分仍为0.6元/度，超过部分为1.1元/度．设该用户每月用电量为x（度），应付电费为y（元），则y与x之间的函数关系式为 ．【答案】y=0.6x0≤x≤2001.1x−100x>200【分析】此题主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力．根据题意列出函数关系式即可．【详解】当0≤x≤200时，y=0.6x,当x>200时，y=200×0.6+1.1（x−200），即y=1.1x−100；故答案为：y=0.6x0≤x≤2001.1x−100x＞200【变式3】某市出租车白天的收费起步价为6元，即路程不超过3千米时收费6元，超过部分每千米收费1.1元，如果乘客白天乘坐出租车的路程为x（x>3）千米，乘车费为y元，那么y与x之间的关系为 ．【答案】y=1.1x+2.7【分析】根据乘车费用=起步价+超过3千米的费用即可得出．【详解】解：依据题意得：y=6+1.1（x-3）=1.1x+2.7，故答案为：y=1.1x+2.7．【点睛】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式．理解题意，找到数量关系是本题关键．考点6：待定系数法——一次函数解析式（解方程）典例6：已知y﹣3与3x+2正比例，且x=2时，y=5（1）求y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；（2）点（4，6）是否在这个函数的图象上．【答案】（1）y=34x+72，y是x的一次函数；（2）点（4,6）不在此函数图象上【分析】（1）因为y﹣3与3x+2正比例，可设y−3=k(3x+2)，又x＝2时，y＝5，根据待定系数法可以求出解析式，从而判断y与x的函数关系；（2）把x＝4代入函数解析式，将求出的对应的y值与6比较，即可知道是否在这个函数的图象上．【详解】解： (1)设y−3=k(3x+2)，把x=2,y=5代入得5−3=k(6+2),解得k=14 ，所以y−3=14 (3x+2)，所以y=34x+72 ，y是x的一次函数；(2)当x=4时，y=34x+72=132≠6，所以点（4,6）不在此函数图象上.【点睛】主要考查了用待定系数法求函数的解析式．本题要注意利用正比例函数的特点，列出方程，求出未知数的值从而求得其解析式．【变式1】已知y−2与x成正比例，且当x=1时，y=−6.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知点(a,2)在该函数的图像上，求a的值.【答案】（1）y=−8x+2；（2）a=0【分析】（1）由y−2与x成正比例可设y−2=kx，将x=1，y=−6代入即可；（2）将点(a,2)代入函数表达式可求得a的值.【详解】解：（1）设y−2=kx，当x=1时，y=6代入得k=−8，所以y与x之间的函数表达式y=−8x+2.（2）将点(a,2)代入y=−8x+2得−8a+2=2，解得a=0，所以a的值为0.【点睛】本题考查了一次函数，正确理解正比例函数的定义是解题的关键.【变式2】已知y+4与x−3成正比例，且x=1时，y=0(1)求y与x的函数表达式；(2)点M(m+1,2m)在该函数图象上，求点M的坐标．【答案】(1)y=−2x+2(2)点M的坐标为(1,0)【分析】（1）利用正比例函数的定义，设y+4= k(x−3)，然后把已知的对应值代入求出k即可；（2）把M(m+1,2m)代入（1）中的解析式得到关于m的方程，然后解方程即可．【详解】（1）设y与x的表达式为y+4=k(x−3)，把x=1时，y=0代入y+4=k(x−3)得−2k=4，解得k=−2，∴y与x的关系式为y+4=−2(x−3)，即y=−2x+2；（2）∵点M(m+1,2m)在该函数图象上，∴2m=−2(m+1)+2，解得m=0，∴点M的坐标为(1,0)．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：一次函数y=kx+b，则需要两组x、y的值．也考查了一次函数的性质．【变式3】已知矩形ABCD的周长为20，AB的长为y，BC的长为x．（1）写出y关于x的函数解析式（x为自变量）；（2）当x＝3时，求y的值．【答案】（1）y＝10﹣x；（2）7．【分析】（1）根据矩形周长公式得到x与y的关系，进而得到y关于x的函数解析式；（2）把x＝3代入（1）中解析式即可．【详解】解：（1）依题意得2x+2y＝20，即y＝10﹣x，∴y关于x的函数解析式为y＝10﹣x．（2）把x＝3代入y＝10﹣x，得：y＝10﹣3＝7，∴x＝3时，y的值为7．【点睛】本题考查一次函数解析式，以及函数的值；根据矩形的周长公式得到x与y的关系是解题关键．考点7：待定系数法——正比例函数解析式（解方程）典例7：已知正比例函数y=kx的图象经过点(−2,4)，如果A(1,a)和B(−1,b)在该函数的图象上，那么a和b的大小关系是（    ）A．a≥bB．a>bC．a≤bD．a