人教版数学中考一轮复习讲义练习第15课 变量与函数（学生版）

这是一份人教版数学中考一轮复习讲义练习第15课 变量与函数（学生版），共12页。
目标导航
知识精讲
知识点01 变量、常量的概念
在一个变化过程中，我们称 的量为变量.数值 的量叫做常量.
【注意】：
一般地，常量是 的量，变量是 的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，，速度60千米/时是 ，时间和里程为 .
【通俗解读】：
常量为数值（或已知数值的字母，如 ），变量为不是数值的字母（或不知数值的字母）。找变量和常量，即等式中的数字记为常量，等式中不知数值的字母即为变量。例如，中，常量为 ，变量为 。
知识点02 函数的定义
一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量与，并且对于的 ，都有 与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数.
【注意】：
对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：
（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；
（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；
（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.
（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：
①函数关系式相同（或变形后相同）；
②自变量的取值范围相同.
否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.
【通俗解读】：
（1）函数关系，实质是两个变量的 （即一个 方程）；这是二元一次方程的一种转化理解，例如二元一次方程，这个二元一次方程有 组解，这无数组解的x和y，分别作为平面直角坐标系中点的 ，那个我们即可得到 个点，这些点就能连成一条直线，即可得到函数的图像；
（2）两个变量是否是函数关系，定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”的含义是：在自变量x与因变量y的等式中（即二元一次方程），给定一个x的值，是否只能解得一个y值，如果只能得到 个y值，那么y是x 的函数，如果解得 y值，那么y不是x的函数；
例如，，当x=1时，，此种情况即不满足定义“对于x的每一个确定的值， 都有唯一确定的y值与其对应”，因此y不是x的函数；
知识点03 函数值
是的函数，如果当＝时＝，那么 叫做当自变量为时的函数值.
【注意】：
对于每个确定的自变量值，函数值是 ，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.
【通俗解读】：
函数值即为自变量x取一个值时，因变量y的值，即函数值表示因变量y的值；
例如：x与y满足，当，函数值即为将代入，得 ；
知识点04 自变量取值范围的确定
使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.（当自变量为x时，求使得该等式有意义的x的取值范围）
【注意】：
自变量的取值范围的确定方法：
首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：
（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是 ；
（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是 ；
（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是 ；
（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的 ；
（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.
知识点05 函数的几种表达方式
变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：
（1）解析式法：用来表示函数关系的 叫做函数关系式，也称函数的解析式.
（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.
（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.
【注意】：
函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变量和函数值的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.
【通俗解读】：
（1）解析式法即为自变量与因变量的等式，即为二元一次方程；图像法即为解二元一次方程的无数组解，将每一组解的x和y作为点的横坐标与纵坐标，描点，即可得出函数图像；
（2）求函数解析式，即求自变量x与因变量y的等式，即列出一个二元一次方程，因变量放在等式左侧（系数为1），其他项放在等式右侧；
知识点06 函数的图象
对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
【注意】：
由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.
能力拓展
考法01 变量与常量辨析
【典例1】寒冷的冬天里我们在利用空调制热调控室内温度的过程中，空调的每小时用电量随开机设置温度的高低而变化，这个问题中自变量是（ ）
A．每小时用电量B．室内温度C．设置温度D．用电时间
【即学即练】下列关于圆的面积S与半径R之间的关系式S中，有关常量和变量的说法正确的是（ ）
A．S，是变量，是常量B．S，，R是变量，2是常量
C．S，R是变量，是常量D．S，R是变量，和2是常量
【即学即练】一个长方体的高为5，底面的宽为a，底面的长是宽的2倍，则这个长方体的体积V可以表示为，其中的自变量是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】一本笔记本5元，买本共付元，则5和分别是（ ）
A．常量，常量B．变量，变量
C．常量，变量D．变量，常量
【即学即练】在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ）
A．太阳光强弱B．水的温度C．所晒时间D．热水器
考法02 函数的判断
【典例2】下列各曲线表示的y与x的关系中，y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
【典例3】下列关于变量x，y的关系，其中y不是x的函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】下列关系式中y不是x的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【典例5】下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A．长方形的宽一定，其长与面积B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边与面积D．速度一定时，行驶的路程与时间
【即学即练】下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）
A．长方形的宽一定，其长与面积
B．正方形的周长与面积
C．等腰三角形的底边与面积
D．圆的面积与圆的半径
考法03 函数值
【典例6】当时，函数的值是（ ）
A．B．C．2D．1
【即学即练】根据流程图中的程序，当输入数值为-6时，输出数值为（ ）
A．2B．8C．-8D．-2
【即学即练】某商场降价销售一批名牌球鞋，已知所获利润y（元）与降价金额x（元）之间满定函数关系式y＝﹣x2＋50x＋600，若降价10元，则获利为（ ）
A．800元B．600元C．1200元D．1000元
【即学即练】变量x与y之间的关系是，当时，自变量x的值是（ ）
A．13B．5C．2D．3
【典例7】根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值为4时，输出的y的值为7，则输入x的值为2时，输出的y的值为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【典例8】函数的图象过点（ ）．
A．B．C．D．
【即学即练】在平面直角坐标系xOy中, 下列函数的图像过点（-1，1）的是（ ）
A．B．C．D．
【典例9】已知函数，则当x＝2时，函数值y等于（ ）
A．5B．6C．7D．8
【典例10】若函数y=，则当函数值y=9时，自变量x的值是（ ）
A．B．3C．3或D．3或
考法04 自变量的取值范围
【典例11】函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】已知函数，则自变量的取值范围是（ ）
A．B．﹣1且C．D．
【即学即练】某水库的水位高度y（米）与时间x（小时）满足关系式：，则下列说法错误的是（ ）
A．时间是自变量，水位高度是因变量B．y是变量，它的值与x有关
C．x可以取任意大于零的实数D．当时，
考法05 求函数解析式
【典例12】小明以的速度匀速前进，则他行走的路程与时间之间的函数关系式是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】从地向地打长途，不超过3分钟，收费2.4元，以后每超过一分钟加收一元，若通话时间分钟，则付话费元与分钟函数关系式是（ ）．
A．B．C．D．
【即学即练】把一个长为8，宽为3的长方形的宽增加x(0≤x＜5)，长不变，所得长方形的面积y关于x的表达式为（ ）
A．y＝8xB．y＝8x＋24C．y＝24－xD．y＝8x－24
【即学即练】某商场存放处每周的存车量为5000辆次，其中自行车存车费是每辆1元/次，电动车存车费是每辆2元/次，若自行车的存车量为辆次，存车的总收入为元，则与之间的关系式是（ ）
A．B．
C．D．
【即学即练】某农场有耕地公顷，拖拉机需要小时耕完，则未耕地的面积（公顷）与拖拉机耕地的时间（小时）间的关系式是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】油箱装满30升油，油从油箱的管道均匀流出，90分钟可以流尽．那么油箱中剩油量y（升）与流出时间x（分钟）之间的表达式是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】已知一个等腰三角形的腰长为x，底边长为y，周长是10，则底边y关于腰长x之间的函数关系式及定义域为（ ）
A．y＝10﹣2x（5＜x＜10）B．y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）
C．y＝10﹣2x（0＜x＜5）D．y＝10﹣2x（0＜x＜10）
分层提分
题组A 基础过关练
1．在球的体积公式中，下列说法正确的是（ ）
A．、、是变量，为常量B．、是变量，为常量
C．、是变量，、为常量D．、是变量，为常量
2．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大的变化．在这一问题中，自变量是( )
A．时间B．骆驼C．沙漠D．体温
3．下列图象中，表示y不是x的函数的是（ ）
A．B．C．D．
4．关于变量x，y有如下关系：①x-y=5；②y2=2x；③：y=|x|；④y=．其中y是x函数的是（ ）
A．B．C．D．
5．若有意义，则x的取值范围是
A．且B．C．D．
6．一辆汽车从甲地以50 km/h的速度驶往乙地，已知甲地与乙地相距150 km，则汽车距乙地的距离s(km)与行驶时间t(h)之间的函数解析式是( )
A．s＝150＋50t(t≥0)B．s＝150－50t(t≤3)C．s＝150－50t(0＜t＜3)D．s＝150－50t(0≤t≤3)
7．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是( )
A．y=-2x+24(0