人教版数学中考一轮复习讲义练习第13课 正方形（学生版）

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知识精讲
知识点01 正方形的定义
四条边都 ，四个角都是 的四边形叫做正方形.
注意：
既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.
知识点02 正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.
1.边——四边 、邻边 、对边 ；
2.角——四个角都是 ；
3.对角线——① ，②互相 ，③每条对角线 ；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.
注意：
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.
知识点03 正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：
或先证四边形是 ，再证明它 ；
或先证四边形是 ，再证明它 .
知识点04 特殊平行四边形之间的关系
或者可表示为：
知识点05 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状
（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是 .
（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是 .
（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是 .
（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是 .
注意：
新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.
（1）若原四边形的 ，则新四边形是矩形.
（2）若原四边形的 ，则新四边形是菱形.
（3）若原四边形的 ，则新四边形是正方形.
能力拓展
考法01 正方形的性质
【典例1】如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【即学即练】如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE＝8，BF＝5，则EF的长为__．
【即学即练】如图所示，，，以为边作正方形，求，的坐标.
【典例2】矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线互相平分且相等
【典例3】如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为( )
A．3B．4C．D．
【典例4】如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）连接，证明：．
【典例5】如图，四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，CE与BG交于点M，点M在△ABC的外部．
(1)求证：BG＝CE；
(2)求证：CE⊥BG；
(3)求：∠AME的度数．
【典例6】如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上的一点，且∠AEF=90°，延长AE交BC的延长线于点G,
（1）求GE的长；
（2）求证：AE平分∠DAF；
（3）求CF的长.
考法02 正方形的判定
【典例7】在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AD∥BC，∠A＝∠C
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
【典例8】如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
【典例9】已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．
【典例10】已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE＝AH，在CD边上取点G，使得CG＝CF．联结EF、FG、CH、HE．
(1)求证：四边形EFGH是矩形．
(2)若∠B＝45度，求证:四边形EFGH是正方形．
考法03 正方形的综合应用
【典例11】如图，边长相等的两个正方形ABCD和OEFG，若将正方形OEFG绕点O按逆时针方向旋转120°，两个正方形的重叠部分四边形OMCN的面积( )
A．不变B．先增大再减小
C．先减小再增大D．不断增大
【典例12】如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+2b2，其中正确结论有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【典例13】正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.
（1）求证：EF=FM
（2）当AE=1时，求EF的长．
【典例14】如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF=90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．
（1）求证：OM=ON．
（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．
【典例15】△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
（1）观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为： ．
②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）
（2）数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
（3）拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长．
【典例16】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：；
(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列命题中，真命题是（ ）．
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2．如图，平行四边形,对角线交于点,下列选项错误的是（ ）
A．互相平分
B．时，平行四边形为矩形
C．时，平行四边形为菱形
D．时，平行四边形为正方形
3．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BED为（ ）
A．45°B．15°C．10°D．125°
4．如图，正方形ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE＝1，则EF的长为（ ）
A．B．C．D．3
5．如图，延长正方形ABCD的一边BC到E，使CE=AC，连接AE交CD于F，则∠AFC的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，AE＝1，若点P为对角线BD上的一个动点，则△PAE周长的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是（ ）
A．4B．2C．1D．
8．正方形是有一组邻边_______，并且有一个角是_______的平行四边形，因此它既是______又是________．
题组B 能力提升练
9．以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是_____．
10．如图，平面直角坐标系中有一正方形，点的坐标为点坐标为________．
11．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，四边形ACEF是正方形，则EF的长为_____．
12．在正方形ABCD中，E在AB上，BE＝2，AE＝1，P是BD上的动点，则PE和PA的长度之和最小值为___________．
13．如图，在边长为的正方形中，点分别是边的中点，连接点分别是的中点，连接，则的长度为__________．
14．如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为_____________.
题组C 培优拔尖练
15．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，得到的四边形EFGH叫中点四边形．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图，当四边形ABCD变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：
当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
16．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
（1）求证：∠ADB=∠CDB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．
17．已知：如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H，连接HA、HC．
(1)求证：四边形FBGH是菱形；
(2)求证：四边形ABCH是正方形．
18．如图，正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，使B，C，E三点在同一直线上，连接BF，交CD于点G．
（1）求证：CG=CE；
（2）若正方形边长为4，求菱形BDFE的面积．
19．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：∠DPE=∠ABC；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．
课程标准
1．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；
2．掌握正方形的性质及判定方法．