人教版数学中考一轮复习讲义练习专题11.3 多边形及内角和（学生版）

这是一份人教版数学中考一轮复习讲义练习专题11.3 多边形及内角和（学生版），共14页。试卷主要包含了掌握多边形的定义及有关概念.，会求多边形的对角线的条数.等内容，欢迎下载使用。
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1、掌握（正）多边形的定义及有关概念.
2、会求多边形的对角线的条数.
3、能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.
4、会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算.
知识精讲
知识点01 多边形的相关概念
多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形；
【微点拨】
注意：各个角都相等、各条边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.
如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.
【知识拓展1】多边形的概念
例1．（2021·江苏南通市·南通第一初中九年级期中）下列命题正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各内角分别相等的多边形是正多边形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形 D．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
【即学即练】
1. （2021·皋兰县第三中学）下列说法错误的是（ ）
A．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形
B．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形
C．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形
D．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形
知识点02 多边形的对角线
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；
从边形的一个顶点出发，可以画(n-3)条对角线，边形一共有条对角线.
【知识拓展1】多边形的对角线
例1．（2021·陕西·模拟预测）若一个正n边形的每个内角为144°,则这个正n边形的所有对角线的条数是____.
【即学即练1】
1．（2021·广东南海·一模）若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引7条对角线，则n＝_____．
2．（2021·山东李沧·二模）（问题）用边形的对角线把边形分割成（个三角形，共有多少种不同的分割方案？
（探究）为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进转化，最后猜想得出结论．不妨假设n边形的分割方案有种．
探究一：用四边形的对角线把四边形分割成2个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图①，图②，显然，只有2种不同的分割方案．所以，．
探究二：用五边形的对角线把五边形分割成3个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成三类：
第1类：如图③，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．
第2类：如图④，用点，与连接，把五边形分割成3个三角形，有1种不同的分割方案，可视为种分割方案．
第3类：如图⑤，用点，与连接，先把五边形分割转化成1个三角形和1个四边形，再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有f（4）种不同的分割方案．
所以，（种）
探究三：用六边形的对角线把六边形分割成4个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案分成四类：
第1类：如图⑥，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案，所以，此类共有种不同的分割方案．
第2类：如图⑦，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
第3类：如图⑧，用，与连接，先把六边形分割转化成2个三角形和1个四边形．再把四边形分割成2个三角形，由探究一知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
第4类：如图，用，与连接，先把六边形分割转化成1个三角形和1个五边形，再把五边形分割成3个三角形，由探究二知，有种不同的分割方案．所以，此类共有种分割方案．
所以，
（种）
探究四：用七边形的对角线把七边形分割成5个三角形，则与的关系为，共有______种不同的分割方案．……
（结论）用边形的对角线把边形分割成个三角形，共有多少种不同的分割方案？（直接写出与之间的关系式，不写解答过程）
（应用）用九边形的对角线把九边形分割成7个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论中的关系式求解）
知识点03 多边形的内角和与外角和定理
多边形的内角和公式：边形的内角和为；
多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°.
【微点拨】
内角和公式的应用：（1）已知多边形的边数，求其内角和；（2）已知多边形内角和，求其边数.
外角和定理的应用：（1）已知外角度数，求正多边形边数；（2）已知正多边形边数，求外角度数.知识点
【知识拓展1】多边形的内角和公式的相关计算
例1．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ）
A．B．C．D．
【即学即练1】
1．（2021·湖南鹤城·九年级期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
【知识拓展2】多边形的外角和公式的相关计算
例2．（2021·河北·石家庄市第四十中学二模）如图，五边形ABCDE中，，，、、分别是、、的外角，则等于（ ）
A．B．C．D．
【即学即练2】
1．（2020·山东德州市·中考真题）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（ ）
A．80米 B．96米 C．64米 D．48米
【知识拓展3】正多边形的内（外）角和相关计算
例3．（2021·四川雅安市·中考真题）如图，为正六边形，为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=______．
【即学即练】
1．（2021·山东济南·中考真题）如图，正方形的边在正五边形的边上，则__________．
2.（2021·山东八年级期末）已知某正多边形的一个内角比它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；（2）求这个正多边形的内角和．
知识点04 镶嵌
平面镶嵌的定义：
用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）.
镶嵌的条件：
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形.
【微点拨】
1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.
2）用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.
3）只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.
【知识拓展1】镶嵌（密铺）问题
例1．（2021·贵州铜仁市·中考真题）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形
【即学即练1】
1．（2021·吉林朝阳区·长春外国语学校）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形 C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
能力拓展
考法01 多边形截角后的内角和问题
【典例1】（2022·黑龙江铁锋·九年级期末）一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16B．15或16或17C．15或16D．16或17
变式1．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市九年级期中）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（ ）．
A．15或16B．15或16或17C．16或17或18D．17或18或19
考法02 多边形多（少）算角问题
【典例1】（2021·全国·九年级专题练习）在计算一个多边形内角和时，多加了一个角，得到的内角和为1500°，那么原多边形的边数为（ ）
A．9B．10C．11D．10或11
变式1．（2021·北京西城·九年级期末）在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是__________ 度，这个多边形的边数是_________．
分层提分
题组A 基础过关练
1．（2021·重庆渝中·初二期末）关于正多边形的概念，下列说法正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．各角相等的多边形是正多边形
C．各边相等或各角相等的多边形是正多边形 D．各边相等且各角相等的多边形是正多边形
2．（2021·安徽·八年级期末）一个多边形从一个顶点可引出7条对角线，那么这个多边形的边数是（ ）
A．10B．11C．12D．13
3．（2022春•长沙期中）湖南革命烈士纪念塔是湖南烈士公园的标志性建筑，塔于1959年建成，以纪念近百年为人民解放事业献身的革命先烈，塔底平面为八边形，这个八边形的内角和是（ ）
A．720°B．900°C．1080°D．1440°
4. （2022春•江阴市期中）下列各度数不是多边形的内角和的是（ ）
A．540°B．900°C．1080°D．1700°
5．（2022•路南区一模）如图，由一个正六边形和正五边形组成的图形中，∠1的度数应是（ ）
A．72°B．84°C．82°D．94°
6．（2021·吉林长春市·八年级开学考试）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形 C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
7．（2021·北京市第五中学朝阳双合分校八年级期中）如果一个四边形四个内角度数之比是1：2：3：4，那么这四个内角中（ ）．
A．只有一个直角 B．只有一个锐角 C．有两个直角 D．有两个钝角
8．（2021·四川眉山市·中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（ ）
A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1
9．（2021 •虎林市校级期末）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
题组B 能力提升练
1．（2021·四川达州市·八年级期末）小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（ ）
A．28°B．30°C．33°D．36°
2．（2020·湖北宜昌市·中考真题）游戏中有数学智慧，找起点游戏规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行．成功的招数不止一招，可助我们成功的一招是（ ）．
A．每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走 B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏108°方向行走 D．每段直路要长
3．（2021·土默特左旗教育局教研室八年级月考）商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，若选购地砖镶嵌地面，那么，可供选择的有______种．
4．（2022·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．

5．（2020·湖南娄底·初二期末）在抗击新冠肺炎的斗争中，娄底市根据疫情的发展情况，决定全市中小学延期开学，并采用线上教学的形式，真正做到停课不停学，某中学初二1班全体同学自主完成学习任务的同时，不忘关心同学的安危，在停课不停学期间全班每两个同学都通过一次电话，我们可以把该班人数n与通话次数S间的关系用下列模型表示：问：若该班有50名同学，则它们之间共通了_________次电话；
6．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为，则原多边形的边数是__________．
7．（2022春•武冈市期中）如图，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数．
8. （2021秋•泰州期末）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将△ABC中∠ACB的边CB反向延长，与另一边AC形成的∠ACD即为△ACB的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，△ABC的外角和＝（180°﹣∠ACB）+（180°﹣∠CAB）+（180°﹣∠ABC）＝540°﹣（∠ACB+∠ABC+∠CAB）＝540°﹣180°＝360°．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：（1）将下列表格补充完整．
（2）如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．

题组C 培优拔尖练
1．（2021·台湾·模拟预测）如图，四边形ABCD中，、、分别为、、的外角判断下列大小关系何者正确？（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·重庆南岸·八年级期末）如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25B．26C．30D．39
3．（2021·广西梧州·中考真题）如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 ___cm．
4．（2022·江苏·南京玄武外国语学校七年级期中）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____．
5．（2021·新疆·哈密市第八中学八年级期中）如图所示，一机器人在平地上按图中的步骤行走，要使机器人行走路程不小于10m，则的最大值为____________．
6．（2022•宿城区校级月考）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．
几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．
运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？
分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ ；
（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．
名称
图形
内角和
外角和
三角形
180°
360°
四边形


五边形


…
…
…
…
n边形
…