2024北京北师大附中高三（上）期中数学试卷（教师版）

这是一份2024北京北师大附中高三（上）期中数学试卷（教师版），共19页。
考生须知
1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.
2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效.
3．考试结束后，考生应将答题卡交回.
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 将的图象向右平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6. 设函数的极值点为，且，则可以是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，，点P是的中点，则（ ）
A. B. 4C. D. 6
8. 已知是递增的等比数列，其前n项和为，满足，，若，则的最小值是（ ）
A. 6B. 7C. 9D. 10
9. 设，函数若恰有一个零点，则c的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10. 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式．如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有个小球，共有n层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为．若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若复数，则复数z的模________．
12. 已知为等差数列，为其前n项和．若，，则________．
13. 在中，．则的值是________；的最大值是________．
14. 设函数
①当时，________；
②若恰有2个零点，则a的取值范围是________．
15. 已知函数，.给出下列四个结论：
①当时，函数有最小值；
②，使得函数在区间上单调递增；
③，使得函数没有最小值；
④，使得方程有两个根且两根之和小于.
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在中，，，平分交于点D，．
（1）求的值；
（2）求的长度；
（3）求的面积．
17. 已知函数的最小正周期为．
（1）若，，求的值；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间．
条件①：的最大值为2；
条件②：的图象关于点中心对称；
条件③：的图象经过点．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
18. 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．
记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”．
（1）从年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率；
（2）从年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望；
（3）从哪年开始的连续年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明
19. 已知椭圆过点和.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于不同的两点，直线交轴于点，直线交轴于点.若，求直线的方程.
20. 已知函数．
（1）若，求函数的零点：
（2）若，证明：函数是0,+∞上的减函数；
（3）若曲线在点处的切线与直线平行，求a的值．
21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设．
（1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合;
（2）若具有性质,证明:;
（3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值．
参考答案
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 【答案】A
【分析】先化简集合，然后根据交集的定义计算.
【详解】由题意，，，
根据交集的运算可知，.
故选：A
2. 【答案】C
【分析】利用“分段法”来确定正确答案.
【详解】，，
，
所以.
故选：C
3. 【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
4. 【答案】D
【分析】利用三角函数平移变换结论求解.
【详解】将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，
故选：D．
5. 【答案】B
【分析】将不等式转化为两个函数，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果.
【详解】因为，所以，即，
令，且均为增函数，则不等式为，
在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示，
又当时，
当时，，
所以由图像可知：的解集为：0,1，
故选：B.

6. 【答案】B
【分析】利用导数以及零点存在性定理来判断出正确答案.
【详解】的定义域是0,+∞，
，f'x在区间0,+∞上单调递增，
，所以存在，
使得，且在区间上在单调递减，
在区间上在单调递增，所以是的极小值点，
所以.
故选：B
7. 【答案】C
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算计算可得；
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，则，，，
所以，，所以
故选：C
8. 【答案】B
【分析】求得等比数列的首项和公比，由此化简并求得正确答案.
【详解】设等比数列的公比为，
，或（舍去），
所以.
由，，
，所以的最小值为.
故选：B
9. 【答案】D
【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将图象平移，以及对参数进行分类讨论即可得出其取值范围.
【详解】画出函数的图象如下图所示：
函数可由分段平移得到，
易知当时，函数恰有一个零点，满足题意；
当时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；
当时，图象往下平移，当时，函数有两个零点；
当时，恰有一个零点，满足题意，即；
综上可得的取值范围是.
故选：D
10. 【答案】A
【分析】转化题给条件为，再由皆为正整数分类讨论即可求解.
【详解】由题意知，，于是得最底层小球的数量为，即，.
从而有，
整理得，
，
，
，，
由于皆为正整数，所以
（i）当时，，
当时，，
（iii）当时，，
（iv）当时，
只有符合题意，即的值为2.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定是解决本题的关键. 分类讨论与验证的严谨性：在分类讨论中，每一个可能的值都需要进行仔细的验证，确保没有遗漏任何符合条件的解.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 【答案】
【分析】根据复数运算求得正确答案.
【详解】，
.
故答案为：
12.【答案】
【分析】求得等差数列的公差，进而求得.
【详解】设等差数列的公差为，
则，
所以.
故答案为：
13. 【答案】 ①. ## ②.
【分析】利用余弦定理求得，从而求得；利用三角恒等变换的知识求得的最大值.
【详解】由，得，
所以为锐角，且.
，
，，所以当，即时，
取得最大值为.
故答案为：；
14. 【答案】 ①. ②.
【分析】①根据函数解析式求得.②对进行分类讨论，根据零点的个数求得的取值范围.
【详解】①，时，，
所以，
所以.
②，令，可得:
当时，，
所以或，
当或时，方程在上有唯一解，
当或时，方程在上的解为或，
当时，，
所以当时，，
当时，方程在上无解，
综上，当时，函数有两个零点，
当时，函数有两个零点，
当时，函数有三个零点，
当时，函数有两个零点，
因为恰有2个零点，所以或，
所以a的取值范围是.
故答案为：；
15. 【答案】①②④
【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误.
【详解】对于①，当时，，则，
由可得，由可得或，
此时，函数的增区间为、，减区间为，
当或时，，当时，，
故函数在处取得最小值，①对；
对于②，，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递增，所以，，
则，
由可得，
构造函数，其中，
则，
令，其中，则，
所以，函数在上单调递减，
故当时，，则，即在上单调递减，
，则，解得，②对；
对于③，，，
因为函数在上单调递增，
，，所以，存在，使得，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以，对任意的实数，函数有最小值，③错；
对于④， 令，不妨令，即取，
由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，则，，
所以，存在，使得，
此时函数的零点之和为，④对.
故答案为：①②④.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；
（2）由（1）可求出，判断出为等腰三角形，进而求得.
（3）根据三角形的面积公式即可得解.
【小问1详解】
在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以；
【小问2详解】
由（1）得，
由题设，，即为等腰三角形，
所以.
【小问3详解】
，
所以的面积.
17. 【答案】（1）
（2），单调递增区间，
【分析】（1）根据条件，代入，即可求解；
（2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，利用三角恒等变换，代入函数单调递增区间，即可求解.
【小问1详解】
因为，，则，且，则.
【小问2详解】
因为函数的最小正周期为，则，
若选①②，则，且，
且，则，则，则，
所以；
若选择①③，则，且，则，
，则，则，则，
所以；
若选择②③，由②可知，，
由③可知，，则，
所以.
，
令，，
得，，
所以函数hx的单调递增区间是，.
18. 【答案】（1）
（2）分布列见解析；
（3）2018年和年
【分析】（1）按古典概型的概率计算求解.
（2）先根据中位数的概念确定，的值，在确定，的所有可能值，进一步得的所有可能的取值，再求的分布列.
（3）计算产销率，可直接得到结论.
【小问1详解】
记事件为“工业机器人的产销率大于”．
由表中数据，工业机器人的产销率大于的年份为年，年，年，年，共年．
所以．
【小问2详解】
因为，，
所以的所有可能的取值为；的所有可能的取值为．
所以的所有可能的取值为．
，，．
所以的分布列为：
故的数学期望．
【小问3详解】
2018年和年．
19. 【答案】（1）
（2）或
【分析】（1）两个点代入解方程即可.
(2)斜率不存在单独算出是否成立；斜率存在时把设出来与椭圆联立，韦达定理求出两根之和与两根之积用斜率来表示，然后用两个根表示，化简求值即可.
【小问1详解】
将点坐标代入椭圆的方程，得解得,所以椭圆的方程为：
【小问2详解】
若直线的斜率不存在，即直线为时，和重合，和点重合，分别为椭圆的上下顶点，此时，符合题意.
若直线斜率存在，设直线的方程为，且，联立方程得，，即或
，所以直线的方程为，取得，同理可得
由得，即，所以，即，即
即，因为，所以得，即，经检验符合题意，此时直线为
综上所述，直线的方程为或.
20. 【答案】（1）2 （2）证明见解析.
（3）0.
【分析】（1）直接解方程即可求出零点；
（2）利用导数证明函数的单调性；
（3）先由在点处的切线与直线平行，得到，用图像法求出a=0.
【小问1详解】
当时，.
令，解得：x=2.
即函数的零点是2.
【小问2详解】
当时，定义域为.
所以.
令，则
当x∈0,+∞时，恒成立，所以在x∈0,+∞上单调递减，
所以当时，都有.
所以在x∈0,+∞上恒成立，所以函数是0,+∞上的减函数.
【小问3详解】
.
所以.
因为在点处的切线与直线平行，
所以.
即.
记，则.
当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增.
而，所以a=0是方程的唯一解.
故a=0.
21. 【答案】（1）不具有性质,具有性质,
（2）证明见解析 （3）
【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出;
(2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可.
(3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可.
【小问1详解】
解:由题知,
即
因为,
所以不具有性质,
由于,
即
因为
故具有性质,
因为
故;
【小问2详解】
“”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,
假设两个元素均不在中,
则有
不妨设,
若,
则由,
可得,
与矛盾,
故,
同理,
从而,
所以,
与具有性质矛盾,
所以假设不成立,即;
【小问3详解】
设
规定时,,
时,,
则,
所以,
考虑数列,
,
由题设可知,他们均具有性质,
设中元素个数最小值为,
所以,
所以,
由(2)知,从而,
当时,令,
当时,令,
此时均有,
所以中元素个数的最小值为.
【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有:
(1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思;
(2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言;
(3)将已知条件代入新定义的要素中;
(4)结合数学知识进行解答.年份
产量万台
销量万台