黑龙江省牡丹江市2024_2025学年高二数学下学期期末考试含解析

这是一份黑龙江省牡丹江市2024_2025学年高二数学下学期期末考试含解析，共16页。
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.
【详解】解不等式，得或，即或，而，
所以.
故选：D
2. 已知变量与负相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据与负相关可判断AB，将样本中心带入选项检验，即得．
【详解】因为变量与负相关，所以 ，排除AB选项；
因为，
而，故C符合题意，
又，故D错误.
故选：C
3. 已知，则的最小值为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将变形得，代入再根据基本不等式可求出结果.
【详解】由题意，知，.由，得，
两边同时除以，得.
因为，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故选：D.
4. 若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为（ ）
A. 1B. 32C. 0D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】写出二项式的通项，根据展开式中常数项等于，则就出参数，则赋值给即可求出展开式各项系数之和.
【详解】因为的展开式中常数项等于，
所以由，
当，
此时常数项为：，
所以，
令，其展开式各项系数之和为0，
故选：C.
5. 已知函数，则单调递增区间是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可.
【详解】函数的定义域为且，
令，解得，所以单调递增区间是.
故选：B
6. “”是“二次函数在区间上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合二次函数的性质和充分不必要条件判断即可.
【详解】二次函数在区间上单调递增可得，解得，
又是的充分不必要条件.
故选：A
7. 已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由题意，得解得，函数的定义域为．又，所以函数是定义在上的偶函数．，所以在上单调递减．又，所以解得．
8. 是定义在R上的奇函数，当时，有恒成立，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，求导，根据，得到在上递增，再根据是定义在R上的奇函数，得到在上的单调递增求解.
【详解】解：令，
则，
因为，
所以，
则在上递增，
又是偶函数，且是定义在R上奇函数，
所以是定义在R上奇函数，
则在上单调递增，
所以，即，故A错误；
，即，故B错误；
，即，故C正确；
，即，故错误，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法中，正确的命题是（ ）．
A. 已知随机变量服从正态分布，，则
B. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则
D. 若样本数据，，…，方差为8，则数据，，…，的方差为2
【答案】CD
【解析】
【分析】利用正态分布的对称型可以求得的值，进而判定A错误;根据相关系数的意义可以判定B错误；利用回归直线方程过样本中心点，可以求得回归常数的估计值，从而判定C正确；利用线性相关的数据组的方差之间的关系可以求得数据，，…，的方差，进而判定D正确.
【详解】A. 已知随机变量服从正态分布，，则，所以，
所以,
∴，故A错误；
B. 线性相关系数的范围在到1之间，有正有负，相关有正相关和负相关，相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，故B错误；
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则，故C正确；
D. 设数据，，…，的方差为,样本数据，，…，的方差为8，则，即数据，，…，的方差为2，故D正确.
故选:CD.
【点睛】本题考查正态分布的概率计算问题，相关系数问题，回归直线方程问题，数据的方差关系问题，属小综合题，难度一般.
10. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为
B. 在三位数中，形如“”的数叫做“对称凹数”，如：，，，则在所有三位数中共有个对称凹数
C. 北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有150种
D. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有36个
【答案】ACD
【解析】
【分析】设该学校的学生数为，得出该校学生有人近视，有人学生每天玩手机超过1，有人学生每天玩手机不超过1，每天玩手机超过1的近视的学生人数为，可得每天玩手机不超过1的近视的学生为，从而可判断A；利用列举法可判断BD；5名同学分三组有和两种分法再计算每种情况的安排分法可判断C.
【详解】对于A，假设该学校的学生数为，因为该校学生大约40%的人近视，所以该校学生大约有人近视，因为该校大约有20%的学生每天玩手机超过1，所以该校大约有人学生每天玩手机超过1，所以该校有人学生每天玩手机不超过1，因为每天玩手机超过1的近视率约为50%，所以该校每天玩手机超过1的近视的学生人数为，所以该校每天玩手机不超过1的近视的学生为，所以从每天玩手机不超过1的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为，故正确；
对于B，当时，，共有9个“对称凹数”，
当时，，共有8个“对称凹数”，
当时，，共有7个“对称凹数”，
当时，，共有6个“对称凹数”，
当时，，共有5个“对称凹数”，
当时，，共有4个“对称凹数”，
当时，，共有3个“对称凹数”，
当时，，共有2个“对称凹数”，
当时，，共有1个“对称凹数”，
则在所有三位数中共有个对称凹数，故错误；
对于C，5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者有和两种分法，
当为时，有种安排分法，当为时，有种安排分法，
则不同的安排方法共有150种，故正确；
对于D，用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且比1000大的四位奇数共有36个
当千位是1个位数字是3时，中间两个数字随意安排都比1000大，有个，
当千位是2个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个，
当千位是2个位数字是3时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个，
当千位是3个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个，
当千位是4个位数字是1时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个，
当千位是4个位数字是3时，中间两个字数字随意安排都比1000大，有个，
所以共有36个数字，故正确；
故选：ACD.
11. 已知函数是上的奇函数，，且当时，．函数是上的偶函数，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B. 是周期为4的周期函数
C. 在上单调递增
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由及函数是上的奇函数推导出，判断A，推导出判断B，利用赋值法求得为常数函数判断C，由将所求式子转化为，求出函数的一个周期和，结合函数周期性可判断D.
【详解】因为，所以，所以，
又函数是上的奇函数，所以，则，
即函数的图象关于直线对称，故A正确；
由可得，
所以函数是周期为4的周期函数，故B正确；
函数是上的偶函数，，且，
令得，所以，令得，
所以，所以在上常数函数，故C错误；
因为函数是上的奇函数，所以，又当时，，
所以，则，所以，
又，所以，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的定义域是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，即可解得函数的定义域.
【详解】要使得函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：.
13. 某种疾病的患病率为0.50，患该种疾病且血检呈阳性的概率为0.49，则已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为_____.
【答案】0.98
【解析】
【分析】设事件“血检呈阳性”， “患该种疾病”，依题意知，，根据条件概率公式求得结果.
【详解】设事件“血检呈阳性”， “患该种疾病”，
依题意知，，
由得，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关概率的问题，涉及到的知识点有条件概率公式，属于基础题目.
14. 已知函数f(x)＝，若存在x1，x2（x2＞x1）满足f（x1）＝f（x2），则x2﹣2x1的取值范围为_____.
【答案】[ln2，2）
【解析】
【分析】用表示出，得出关于的函数，根据的范围，判断函数单调性得出值域即可．
【详解】显然，，
由题意可知，故，
，
由可得，故，，
设，
则，在，上单调递减，
又，，
．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数在处取得极值.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）最大值为2，最小值为.
【解析】
【分析】（1）根据函数的极值点求出a，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案；
（2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案.
【小问1详解】
由题意得，由题意得，即，解得，
故，定义域为R，
，令得或，令得，
故在，上单调递增，在上单调递减，
易知为极小值点，符合题意，
所以单调递增区间，，单调递减区间为.
【小问2详解】
由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，
所以，.
又，，
故的最大值为2，最小值为.
16. 已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式的解集为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；
（2）由题意可得不等式的解集为，又方程的两个根为和，从而可求解.
【小问1详解】
当时，不等式等价于，
∴，解得或.
∴不等式的解集为.
【小问2详解】
不等式等价于，
∴不等式的解集为.
∵方程的两个根为和，
∴或，解得，
∴实数的值为.
17. 近几年，AI技术加持的智能手机（以下简称为AI手机）逐渐成为市场新宠.为了解顾客的购买意愿，某手机商城随机调查了100位顾客购买AI手机的情况，得到数据如下表：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为购买AI手机与顾客的性别有关？
（2）为提升AI手机的销量，该手机商城针对购买AI手机的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：①共设一、二等奖两种奖项，分别奖励200元、100元手机话费，抽中一、二等奖的概率分别为、，其余情况不获奖金；②每位顾客允许连续抽奖两次，且两次抽奖相互独立，记某购买AI手机的顾客两次所获得奖金之和为元，求的分布列和数学期望.
参考公式：，.
【答案】（1）认为购买AI手机与顾客的性别有关；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将表格数据代入计算卡方，将卡方的值与10.828比较即可；
（2）由题可知根据题意可能取值为：分别求出、
、、、的值，即可列出分布列，再将数值代入期望公式计算即可.
【小问1详解】
，所以可以认为购买AI手机与顾客的性别有关.
【小问2详解】
根据题意可能取值为：
；
；
；
；
；
的分布列为
的期望.
18. 2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.
（1）由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；
（2）由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）.
参考数据：当X服从正态分布时，，，.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】(1)根据频率直方图中位数、平均数的求法直接计算即可；
(2)利用正态曲线的对称性求出，进而结合二项分布的性质求出即可.
【小问1详解】
由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x，
则，解得，
平均数为：；
【小问2详解】
，，
，，
，
由题意知：
19. 已知函数．
（1）当时，求在处的切线的倾斜角；
（2）若是函数的极值点，
（i）求实数的值；
（ii）设函数．证明：．
【答案】（1）；
（2）（i）1；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小；
（2）（i）对函数求导，由已知有求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明在且上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证.
【小问1详解】
由题设，则，故切线斜率，
所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为.
【小问2详解】
（i）由题设，则，
由，则，故且，
令，则，
所以在上单调递减，且，
所以时，在上单调递增，
时，在上单调递减，
所以是函数的极值点，故；
（ii），则且，
当时，，此时，即证，
当时，，此时，即证，
综上，只需证明在且上恒成立，
令，，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，故得证.1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
购买AI手机
购买不带AI的手机
总计
男性顾客
40
70
110
女性顾客
60
30
90
总计
100
100
200
0.010
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828