山东省淄博市淄川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省淄博市淄川区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 在下列式子中的“□”内，填入中的一种符号，其中无论填入哪种符号都能使二次根式有意义的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、，故符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：A.
2. 下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（ ）
A. B. 3，6，2，4
C. 4，6，5，10D.
【答案】C
【解析】A、∵，
∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意；
B、∵，∴四条线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意；
C、∵，，不相等，
∴四条线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意；
D、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意；
故选：C．
3. 下列各式化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，原化简结果错误，故此选项不符合题意；
B、，原化简过程错误，故此选项不符合题意；
C、，原化简结果错误，故此选项不符合题意；
D、，化简正确，故此选项符合题意；
故选：D．
4. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，已知，，则下列比例式错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、，
，
故此选项不符合题意；
B、，
，
故此选项不符合题意；
C、∵，
，
假设成立，
则，
，
与已知条件不符，
不成立，
故此选项符合题意；
D、，，
四边形BDEF是平行四边形，
，
∵，
，
，
，
故此选项不符合题意，
故选：C．
5. 方程的两根为，，下列各式正确的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】根据题意有：，，
故选：C．
6. 已知a，b，c为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判定
【答案】B
【解析】∵点在第四象限，
∴，
∴，
∴方程的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
7. 已知是方程的一个实数根，则代数式的值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】∵k是方程的一个实数根，
∴，
显然，
两边同时除以k，得：，
∴，，
∴，
故选：B．
8. 随着科技的不断发展和人们对环保的日益重视，新能源汽车越来越受到大家的青睐，某品牌新能源汽车经销商统计了今年第一季度的销售量（如图所示），若该品牌汽车的销售量月平均增长率为，则根据图中信息，得到x所满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】该品牌汽车的销售量月平均增长率为，
依题意得，，
故选：A．
9. 如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是( )
A. B. CD：AD=BC：AC
C. AC：CD= AB：BCD.
【答案】A
【解析】∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，
∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：，
∴AC2=AD•AB．
故选：A．
10. 若菱形两条对角线的长度是方程的两个实数根，则菱形的边长为（ ）
A. B. 4C. D. 5
【答案】A
【解析】，
化简，得，
，解得或，
∴菱形的两条对角线长度分别为2和4．
∵菱形的对角线互相垂直且平分，
∴边长可由勾股定理计算：
故选：A．
11. 如图，D是的边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交于点E，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，过点D作，交于H，
则，
是的边的中点，
，
，
∵，
∴，
∴．
故选：C.
12. 如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（ ）
A. 6对B. 5对C. 4对D. 3对
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EDP=∠FCP=90°，
∵∠EPD=∠FPC，
∴△EDP∽△FCP，
∵∠FEB=∠FCP=90°，
∵∠F=∠F，
∴△FEB∽△FCP，
∴△FEB∽△EDP，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEP=∠ABE，
∴△EDP∽△BAE，
∴△FCP∽△BAE，
∴△FEB∽△BAE，
共有6对，
故选：A．
二、填空题
13. 的算术平方根是_____．
【答案】
【解析】，的算术平方根为，
故答案：．
14. 已知，则的值为______．
【答案】
【解析】，
，
故答案：
15. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
，
故答案为：．
16. 已知x=是关于x的方程的一个根，则m＝____________．
【答案】1
【解析】把x＝代入方程得，
解得m＝1．
故答案为1．
17. 如图，在矩形中，，，平分交于点，，则的长为______．
【答案】
【解析】∵四边形是矩形，
，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
又∵，
，
，
，
，
故答案：．
18. 如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是______.
【答案】27cm2
【解析】依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则，
设DF＝x cm，得到：，
解得：x＝4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6＝27cm2．
19. 若正数a是关于x的一元二次方程的一个实数根，是关于x的一元二次方程的一个实数根，则a的值为______．
【答案】7
【解析】正数a是关于x的一元二次方程的一个根，
①，
关于x的方程一元二次方程的一个根，
②，
由①②可得，
，
或，
是正数，
，
故答案为：
20. 如图，在正方形ABCD中，AB=3，点E，F分别在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于点G，若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为_____．
【答案】+3．
【解析】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9=6，
∴空白部分的面积为9-6=3，
由CE=DF，BC=CD，∠BCE=∠CDF=90°，可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3=，
设BG=a，CG=b，则ab=，
又∵a2+b2=32，
∴a2+2ab+b2=9+6=15，
即（a+b）2=15，
∴a+b=，
即BG+CG=，
∴△BCG的周长=+3，
故答案为+3．
三、解答题
21 计算：
（1）；
（2）已知，，求的值．
解方程：
（3）；
（4）
解：（1）
（2）由题意，，，
，，
（3），
或．
（4），
或
22. （1）如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，求窗户的高度．
（2）在国家政策的积极扶持下，环保意识日渐深入人心，新能源汽车的市场需求逐渐上升．某汽车企业下属的一个专卖店经销一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现，当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低万元，平均每周多售出1辆．若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为96万元，并且尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价．
解：∵，
，，
，
，
，
解得：，
，
答：窗户的高度为；
（2）设下调后每辆汽车的售价y万元，每辆汽车的销售利润为万元时，
由题意得：，
整理可得：，
解得：，，
因为要尽量让利顾客，所以
答：下调后每辆汽车的售价为21万元．
23. 如图，将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．
（1）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；
（2）若AB=3，BC=9，求线段CE的取值范围．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE=∠FEC，
∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，
∴∠GEF=∠FEC，
∴∠GFE=∠FEG，
∴GF=GE，
∵图形翻折后BC与GE完全重合，
∴BE=EC，
∴GF=EC，
∴四边形CEGF为平行四边形，
∴四边形CEGF为菱形；
（2）解：如图1，当F与D重合时，CE取最小值，
由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，
∵∠ECD=90°，
∴∠DEC=45°=∠CDE，
∴CE=CD=DG，
∵DG∥CE，
∴四边形CEGD是矩形，
∴CE=CD=AB=3；
如图2，当G与A重合时，CE取最大值，
由折叠的性质得AE=CE，
∵∠B=90°，
∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9﹣CE）2，
∴CE=5，
∴线段CE的取值范围3≤CE≤5．
24. （1）问题再现
学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”：小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 ；
（2）应用
如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，若，连接，则的最小值是 ；
（3）类比迁移
已知a，b均为正数，且，求的最大值．
解：（1）如图，，，
由勾股定理，得，
∴的最小值是13，
故答案为：13；
（2）如图，
设这4个全等直角三角形的短边为x，
则，，
由勾股定理，得，
由勾股定理，得，
则，
构造图形如下：
∵，，，
设，则，
可得，，
∴，
∴的最小值为的长，
过点M作交延长线于Q，则，，
∴，，
∴，
由勾股定理，
∴的最小值为，
故答案为：；
（3）模仿（1）可知，构造图形如下：
矩形中，于C，，，，，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
即的值最大，就是的值最大，
∵，∴的最大值为，
过点D作于点G，
则，，
中，由勾股定理，得，
故的最大值为．
25. 在直角中，，点在边上，连接，作交于点，同时点在上，且．
（1）已知：如图，，．
①求证：．
②求的值．
（2）若，，则的值是多少（直接写出结果）
（1）①证明：，，，
由等腰三角形的三线合一的性质可得：是的角平分线，，
在与中，，
；
②解：由①可知：，
，
，，
；
（2）解：，
，，．