2026中考数学核心考点精讲精训练-考点05一次方程（组）（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学核心考点精讲精训练-考点05一次方程（组）（学生版+名师详解版），共36页。
一次方程（组）在中考数学中较为简单，每年考查2-3题左右，分值为10分左右。各地中考中，对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考查。预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【知识清单】
1：等式的基本性质（☆☆）
1）等式两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式 ，所得的结果仍是等式；
2）等式两边都乘以（或除以） 同一个不等于零的数 ，所得的结果仍是等式；
3）若a=b，b=c，则 a=c （传递性）。
2：一元一次方程（☆☆）
1）方程：含有 未知数 的 等式 叫做方程．
2）方程的解：使方程左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做 解方程 。
3）一元一次方程：只含有 一个 未知数，并且未知数的次数为 1 ，这样的 整式 方程叫做一元一次方程。它的一般形式为。 注意：x前面的系数不为0。
4）一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做 一元一次方程的解 。
5）一元一次方程的求解步骤
3：二元一次方程（组）（☆☆）
1）二元一次方程：含有 2个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的 整式方程 叫做二元一次方程。
2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的 未知数的值 叫做二元一次方程的解。
3）二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。
方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为。
4）解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是 消元 ，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。
5）二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
4：一次方程（组）的实际应用（☆☆☆）
1）列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
2）一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：
利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
【易错点归纳】
1. 运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母。
2. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。
3. 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
【核心考点】
核心考点1.等式的基本性质
例1：（2025·浙江杭州·统考二模）设a，b，m均为实数，（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
变式1.（2025·安徽宿州·统考三模）若a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
例2：（2025·山东滨州·统考中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2
变式1.（2025·福建福州·校考三模）在除法运算中，被除数余数商除数，小明在研究这个算法时，进行了以下操作：
①．
②由①得到19后，再做余数为4；
③由①②得，被除数为38，余数为4，被除数余数，
④由①②得，商为3，除数为，商除数；
⑤根据除法逆运算公式：被除数余数商除数，可得：；
⑥根据等式性质：，即
显然小明研究的步骤有误，他第一次错误的步骤是 ．（仅填写每一步骤前的序号）
变式2.（2025·福建·统考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
例3：（2025·河北保定·校考一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（ ）
A．B．C．D．
变式1.（2025·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果，那么（a，b，c均不为0）
B．如果，那么（a，b，c均不为0）
C．如果，那么（a，b，c均不为0）
D．如果，那么（a，b，c均不为0）
核心考点2.一元一次方程
例4：（2025·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（ ）
A．3B．C．7D．
变式1. （2025·广东清远·统考二模）下列方程中，解是的方程是（ ）
A．B．C．D．
变式2.（2025·山东德州·九年级校考期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ．
例5：（2025·浙江·统考二模）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
变式1．（2025·浙江温州·统考一模）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2025·浙江·统考一模）解方程：
核心考点3.二元一次方程（组）
例6：（2025·浙江衢州·统考中考真题）下列各组数满足方程的是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2025·四川凉山·校考一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
例7：（2025·浙江台州·中考真题）解方程组：．
变式1. （2025·浙江衢州·校考一模）解二元一次方程组最好的做法首先采用（ ）
A．代入法B．加减法C．都可以D．无法确定
变式2．（2025·湖南株洲·中考真题）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2025·广西桂林·中考真题）解二元一次方程组：．
变式4．（2025·山西大同·大同一中校考模拟预测）（1）计算：；
（2）下面是小辉和小莹两位同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令
任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题．
①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________；
②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________；
任务二：直接写出该方程组的正确解；任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）．
例9：（2025·浙江杭州·校考三模）若方程组的解也是方程的解，则的值是（ ）
A．6B．10C．9D．
变式1. （2025·江苏苏州·统考二模）如果实数x，y满足方程组，那么 ．
变式2．（2025·江苏镇江·统考二模）已知二元一次方程组，则代数式
变式3．（2025·江苏无锡·校联考一模）若二元一次方程组的解为，则 ．
例8：（2025下·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）解方程组：(1)(2)(3)
变式1. （2025下·河南周口·七年级校考阶段练习）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
变式2．（2025下·四川成都·七年级校考期中）已知方程组，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
核心考点4.一次方程（组）的实际应用
例9：（2025·新疆·校联考一模）商场按标价打八折销售某品牌电器一件，可获利500元，利润率为．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）
A．875元B．750元C．562.5元D．550元
变式1．（2025·四川成都·统考中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2025·山西大同·校联考模拟预测）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（ ）

A．6克B．4克C．3.5克D．3克
变式3．（2025·广西南宁·统考一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为，宽为，，则该纸盒的容积为（ ）
A．B．C．D．
例10：（2025·四川资阳·统考中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
变式1．（2025·浙江杭州·校考一模）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需 元．
变式2．（2025·安徽宿州·统考模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，年月日是我国第个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生？
变式3．（2025·山西朔州·校联考模拟预测）太原古县城，位于山西省太原市晋源区，是2500年晋阳古城文脉的延续．春节期间，在太原古县城内举办的“锦绣太原中国年·凤舞龙城花灯会”以及清明上河图数字体验馆吸引了众多游客．网上购买一张体验馆的门票比一张花灯会的门票多20元．一张体验馆的门票比现场购买少10元，一张花灯会的门票比现场购买少2元．现场购买，一张体验馆的门票比一张花灯会门票的2倍少22元．(1)请求出网上购买体验馆与花灯会的门票价格；(2)春节期间，某一购票网站搞活动，游客可以购买满300送30元的优惠券，若一个五口之家，通过网上购买体验馆门票和花灯会门票各5张，比现场购买便宜多少元？

例11：（2025·浙江嘉兴·统考一模）小明在超市购物时发现：顾客甲购买2瓶牛奶3个面包和5盒饼干花了32元，顾客乙购买3瓶牛奶2个面包和4盒饼干花了29元，则小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需要 元．
变式1.（2025·河北保定·统考二模）A，B两个容器分别盛有部分液体，容器的底部分别有一个出水口，若从A中取出20升倒入B中，再打开两容器的出水口，放完液体，B需要的时间是A的2倍．若将A中液体全部倒入B容器，并打开B容器的出水口，10分钟可以放完．若将B中液体全部倒入A容器，并打开A容器的出水口，15分钟可以放完．设开始时，A，B两容器中液体体积分别为升、y升．下面是甲、乙、丙三位同学的分析：甲：从A中取出20升倒入B中后，B中液体是A中液体的2倍；
乙：A出水口的液体流速是B出水口液体流速的；丙：，y之间满足关系式：．
其中分析正确的是（ ）
A．只有甲和乙B．只有甲和丙C．只有乙和丙D．甲、乙丙
变式2.（2025·北京平谷·统考二模）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、B（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为 元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的值 ．
例12：（2025·四川泸州·统考中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
变式1.（2025·河北石家庄·校考二模）小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元．
（1）若，则 ；（2）若同时购买两种奖品，则小明共有 种不同的选购方案．
变式2.（2025·北京昌平·统考二模）某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.（1）要想使花费最少，需要 间两人间；
（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间.
考点05. 一次方程（组）（精讲）
【命题趋势】
一次方程（组）在中考数学中较为简单，每年考查2-3题左右，分值为10分左右。各地中考中，对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点，也有在一次函数、二次函数的应用中解一元一次方程、二元一次方程组的工具性的考查。预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握。
【知识清单】
1：等式的基本性质（☆☆）
1）等式两边都加上（或减去） 同一个数或同一个整式 ，所得的结果仍是等式；
2）等式两边都乘以（或除以） 同一个不等于零的数 ，所得的结果仍是等式；
3）若a=b，b=c，则 a=c （传递性）。
2：一元一次方程（☆☆）
1）方程：含有 未知数 的 等式 叫做方程．
2）方程的解：使方程左右两边 相等 的 未知数 的值叫做方程的解；求方程的解的过程叫做 解方程 。
3）一元一次方程：只含有 一个 未知数，并且未知数的次数为 1 ，这样的 整式 方程叫做一元一次方程。它的一般形式为。 注意：x前面的系数不为0。
4）一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做 一元一次方程的解 。
5）一元一次方程的求解步骤
3：二元一次方程（组）（☆☆）
1）二元一次方程：含有 2个 未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的 整式方程 叫做二元一次方程。
2）二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的 未知数的值 叫做二元一次方程的解。
3）二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组。
方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为。
4）解二元一次方程组的基本思想
解二元一次方程组的基本思想是 消元 ，即将二元一次方程组转化为一元一次方程。
5）二元一次方程组的解法
（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。
4：一次方程（组）的实际应用（☆☆☆）
1）列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．
2）一次方程（组）常见的应用题型
（1）销售打折问题：利润售价-成本价；利润率=×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．
（2）储蓄利息问题：
利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．
（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间．
（4）行程问题：路程=速度×时间．
（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及问题（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及问题（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程．
（8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度．
【易错点归纳】
1. 运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母。
2. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数。
3. 二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解。
【核心考点】
核心考点1.等式的基本性质
例1：（2025·浙江杭州·统考二模）设a，b，m均为实数，（ ）
A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质和不等式的性质可直接进行排除选项．
【详解】解：A、若，则不一定大于，故错误；
B、若，则，故正确；C、若，则不一定大于b，故错误；
D、若，，则；若，，则或，故错误； 故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质和不等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质和不等式的性质，注意等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
变式1.（2025·安徽宿州·统考三模）若a，b，c为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直接计算可判断B、C错误；将变形求出，然后计算可判断A错误，D正确．
【详解】解：∵，∴，故B、C错误；
∵，∴，∴，
∴，故A错误，D正确；故选：D．
【点睛】本题考查等式的性质，解题的关键是正确的变形，等量代换．
例2：（2025·山东滨州·统考中考真题）在物理学中，导体中的电流Ⅰ跟导体两端的电压U，导体的电阻R之间有以下关系：去分母得，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1B．等式的性质2C．分式的基本性质D．不等式的性质2
【答案】B
【分析】根据等式的性质2可得答案．
【详解】解：去分母得，其变形的依据是等式的性质2，故选：B．
【点睛】本题考查了等式的性质2：等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立．
变式1.（2025·福建福州·校考三模）在除法运算中，被除数余数商除数，小明在研究这个算法时，进行了以下操作：
①．
②由①得到19后，再做余数为4；
③由①②得，被除数为38，余数为4，被除数余数，
④由①②得，商为3，除数为，商除数；
⑤根据除法逆运算公式：被除数余数商除数，可得：；
⑥根据等式性质：，即
显然小明研究的步骤有误，他第一次错误的步骤是 ．（仅填写每一步骤前的序号）
【答案】③
【分析】根据被除数余数商除数是针对同一个除法运算进行判断即可．
【详解】解：被除数为38时，除数为2，能除尽，余数为0，
故第③步错误，故答案为：③．
【点睛】本题考查等式的基本性质，及有理数的除法运算，熟练掌握相关运算及性质是解决问题的关键．
变式2.（2025·福建·统考模拟预测）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．
例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：
设任意一个实数为x，令，
等式两边都乘以x，得．①
等式两边都减，得．②
等式两边分别分解因式，得．③
等式两边都除以，得．④
等式两边都减m，得x＝0.⑤
所以任意一个实数都等于0.
以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是 ．
【答案】④
【分析】根据等式的性质2即可得到结论．
【详解】等式的性质2为：等式两边同乘或除以同一个不为0的整式，等式不变，
∴第④步等式两边都除以，得，前提必须为，因此错误；故答案为：④．
【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键．
例3：（2025·河北保定·校考一模）如左图的天平架是平衡的，其中同一种物体的质量都相等，如右图，现将不同质量的一“○”和一个“”从通道的顶端同时放下，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，此时两个托盘上物体的质量分别为和，则下列关系可能出现的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析左图可知，1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．两个物体等可能的向左或向右落时，共有4种情况，分别计算出左边托盘和右边托盘的质量，即可得出和的关系．
【详解】解：由左图可知2个“○”与1个“ ”的质量等于2个“ ”的质量，
1个“ ”的质量等于2个“○”的质量．
右图中，两个物体等可能的向左或向右落在下面的托盘中，
共有4种情况：（1）“○”和“ ”都落到左边的托盘时：
左边有3个“○”2个“ ”，相当于7个“○”，右边有2个“ ”，相当于4个“○”，此时；
（2）“○”和“ ”都落到右边的托盘时：
左边有2个“○”1个“ ”，相当于4个“○”，右边有3个“ ” 1个“○”，相当于7个“○”，此时；
（3）“○”落到左边的托盘，“ ” 落到右边的托盘时：
左边有3个“○”1个“ ”，相当于5个“○”，右边有3个“ ”，相当于6个“○”，此时；
（4）“○”落到右边的托盘，“ ” 落到左边的托盘时：
左边有2个“○”2个“ ”，相当于6个“○”，右边有2个“ ” 1个“○”，相当于5个“○”，此时；观察四个选项可知，只有选项C符合题意，故选C．
【点睛】本题考查等可能事件、等式的性质，解题的关键是读懂题意，计算所有等可能情况下和的比值．
变式1.（2025·河北承德·校联考模拟预测）能运用等式的性质说明如图事实的是（ ）
A．如果，那么（a，b，c均不为0）
B．如果，那么（a，b，c均不为0）
C．如果，那么（a，b，c均不为0）
D．如果，那么（a，b，c均不为0）
【答案】A
【分析】根据等式的性质解答即可．
【详解】解：观察图形，是等式的两边都减去c（a，b，c均不为0），
利用等式性质1，得到，
即如果，那么（a，b，c均不为0）．故选：A．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
核心考点2.一元一次方程
例4：（2025·湖南永州·统考中考真题）关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（ ）
A．3B．C．7D．
【答案】A
【分析】把代入再进行求解即可．
【详解】解：把代入得：，解得：．故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握使一元一次方程左右两边相等的未知数的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步骤．
变式1. （2025·广东清远·统考二模）下列方程中，解是的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出每个一元一次方程的解即可做出判断．
【详解】解：A．，解得，故选项不符合题意；
B．，解得，故选项不符合题意；
C．，解得，故选项不符合题意；
D．，解得，故选项符合题意．故选：D．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解法并正确求解是解题的关键．
变式2.（2025·山东德州·九年级校考期中）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．
【详解】解：依题意得：且，解得：，故答案为：1．
例5：（2025·浙江·统考二模）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【答案】见解析
【分析】根据解一元一次方程的步骤判断并求解即可．
【详解】解：有错误，去分母时，整数没有乘以6，
正确过程：
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以，得．
【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式1．（2025·浙江温州·统考一模）解方程，以下去分母正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】各项同时乘以运算即可．
【详解】解：，
去分母得，，故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程去分母．解题的关键在于正确的运算．
变式2．（2025·浙江·统考一模）解方程：
【答案】
【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤，进行解答即可．
【详解】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是在掌握解一元一次方程的方法和步骤．
核心考点3.二元一次方程（组）
例6：（2025·浙江衢州·统考中考真题）下列各组数满足方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】代入的值，逐一判断即可解答．
【详解】解：当时，方程左边，方程左边方程右边，故A符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故B不符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故C不符合题意；
当时，方程左边，方程左边方程右边，故D不符合题意；故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程两边的值相等的两位未知数是二元一次方程的解，是解题的关键．
变式1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）若是关于x、y的二元一次方程的解，则a的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
【详解】将代入原方程，可得：，解得： 故选：C
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，能够将方程的解代入原方程是解题的关键．
变式2．（2025·四川凉山·校考一模）下列方程中，是二元一次方程组的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二元一次方程组的定义解答．
【详解】解：A中含有两个未知数，含未知数的项的最高次数为2，故不符合定义；
B符合定义，故是二元一次方程组；C中含有分式，故不符合定义；
D含有三个未知数，故不符合定义；故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程是二元一次方程组，熟记定义是解题的关键．
例7：（2025·浙江台州·中考真题）解方程组：．
【答案】
【分析】用加减消元法解二元一次方程组即可；
【详解】．解：，得．把代入①，得．
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，本题使用加减消元法比较简单，当然使用代入消元求解二元一次方程组亦可．
变式1. （2025·浙江衢州·校考一模）解二元一次方程组最好的做法首先采用（ ）
A．代入法B．加减法C．都可以D．无法确定
【答案】B
【分析】观察方程中的y的系数特点为互为相反数，即可得出最好的解法．
【详解】解：解二元一次方程组最好的做法首先采用加减消元法，故选B
【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
变式2．（2025·湖南株洲·中考真题）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将①式代入②式消去去括号即可求得结果．
【详解】解：将①式代入②式得，，故选B．
【点睛】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．
变式3．（2025·广西桂林·中考真题）解二元一次方程组：．
【答案】
【分析】利用加减消元法可解答．
【详解】解：①+②得：2x＝4，∴x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝1，∴y＝1，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
变式4．（2025·山西大同·大同一中校考模拟预测）（1）计算：；
（2）下面是小辉和小莹两位同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：令
任务一：请你从中选择一位同学的解题过程并解答下列问题．
①我选择___________同学的解题过程，该同学第一步变形的依据是___________；
②该同学从第___________开始出现错误，这一步错误的原因是___________；
任务二：直接写出该方程组的正确解；任务三：除以上两位同学的方法，请你再写出一种方法（不用求解）．
【答案】（1）；（2）①小辉；等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）；②三；去括号时，括号外是“”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；任务二：；任务三：
【分析】（1）根据负整数指数幂，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）任务一：①根据小辉或小莹的解法分析，根据等式的基本性质1即可求解；②根据去括号时，括号外是“”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；
任务二：根据加减消元法解二元一次方程组；
任务三：，加减消元法解二元一次方程组即可求解．
【详解】解：原式 ；
（2）任务一：①小辉；
等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数法，所得结果仍是等式）；
②三；
去括号时，括号外是“”号，去年括号后未给 括号内的第二项进行变号；
或①小莹；
等式的基本性质1（或等式的两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果仍是等式）；
②四；
移项未变号；
任务二：令
得，解得：
将代入①得，解得：
正确的解为
任务三：．得
解得：，代入①得，解得：
【点睛】本题考查了负整数指数幂，有理数的乘方以及特殊角的三角函数值，解二元一次方程组，熟练掌握以上知识是解题的关键．
例9：（2025·浙江杭州·校考三模）若方程组的解也是方程的解，则的值是（ ）
A．6B．10C．9D．
【答案】D
【分析】先解二元一次方程组，再将二元一次方程组的解代入，求解即可得到答案．
【详解】解：，
②①得：，，
将代入①得：，，
方程组的解为，
将代入得：，
，故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，熟练掌握解二元一次方程组的解法是解题的关键．
变式1. （2025·江苏苏州·统考二模）如果实数x，y满足方程组，那么 ．
【答案】
【分析】把分解因式，再整体代入即可．
【详解】解：∵实数x，y满足方程组，
∴；故答案为：
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，二元一次方程组的解的含义，熟记平方差公式是解本题的关键．
变式2．（2025·江苏镇江·统考二模）已知二元一次方程组，则代数式
【答案】6
【分析】将两个方程相加，可得，等式两边同时除以2，可得代数式的值．
【详解】解：两个方程相减，得，即，
两边同时除以2，得．故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是将看作一个整体，可以使计算简便．
变式3．（2025·江苏无锡·校联考一模）若二元一次方程组的解为，则 ．
【答案】
【分析】把、的值代入方程组，再将两式相加即可求出的值．
【详解】解：将代入方程组，
得：，得：，
，故答案为：．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出的值．
例8：（2025下·四川遂宁·七年级校联考阶段练习）解方程组：(1)(2)(3)
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）用加减消元法先算出x的值，然后代入计算y即可；
（2）先化简方程组，然后用加减消元法算出x的值，代入计算y值即可；（3）先将后边两个方程相加，得到一个和x，y相关的方程，在和第一个方程联立求解x，y，在代入求z即可．
【详解】（1），
可得：，解得：，
将代入可得：，
∴原方程组的解是；
（2）化简原方程组可得：，
可得：，解得：，
将代入可得：
∴原方程组的解是；
（3），
可得：，
可得：，解得：，
将代入可得：，
将，代入可得：，
∴原方程组的解是：．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和三元一次方程组，选择合适的消元法解方程是解题的关键．
变式1. （2025下·河南周口·七年级校考阶段练习）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据加减消元法求解即可．
【详解】解：，
由得：，解得：．
由得：，解得：．
由得：，解得：．
故原方程组的解为．故选D．
【点睛】本题考查解三元一次方程组，掌握解三元一次方程组的方法和步骤是解题关键．
变式2．（2025下·四川成都·七年级校考期中）已知方程组，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．．
【详解】解：，
得：，
∴．故选：A．
【点睛】本题考查解三元一次方程组．理解和掌握解方程过程中的整体思想是解题的关键．
核心考点4.一次方程（组）的实际应用
例9：（2025·新疆·校联考一模）商场按标价打八折销售某品牌电器一件，可获利500元，利润率为．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为（ ）
A．875元B．750元C．562.5元D．550元
【答案】A
【分析】先根据打八折后获利500元，利润率为，求出该电器成本价，设该电器售价为x，列出方程，求出x的值，即可求出该电器打九折后获得利润．
【详解】解：该电器成本为：，设该电器售价为x，
，解得：，
∴该电器打九折后获得利润为：（元），故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程求解．
变式1．（2025·四川成都·统考中考真题）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【详解】解：设木长尺，根据题意得，，故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
变式2．（2025·山西大同·校联考模拟预测）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（ ）

A．6克B．4克C．3.5克D．3克
【答案】B
【分析】根据动力动力臂阻力阻力臂，得，设该药品质量是x克，据此由题意可列方程为，求解即可．
【详解】解：设该药品质量是x克，由题意，得，解得：，
答：该药品质量是4克．故选：B．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
变式3．（2025·广西南宁·统考一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为，宽为，，则该纸盒的容积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，则，列出关于x的方程并求解，再计算该纸盒的容积．
【详解】解：设，则，，解得：，所以，
则长方体的底面宽为：，所以该纸盒的容积为： 故选：D
【点睛】此题主要考查了展开图折叠成几何体及一元一次方程应用，解题的关键是正确题意，然后根据题目的数量关系列出代数式解决问题．
例10：（2025·四川资阳·统考中考真题）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买甲、乙两种奖品，已知1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元．（1）求甲、乙两种奖品的单价；（2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共60件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，应如何购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元；（2）购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．
【分析】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可得答案；（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，根据甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的可得m的取值范围，根据需甲、乙两种奖品共60件可得购买乙种奖品为（60-m）件，根据（1）中所求单价可得w与m的关系式，根据一次函数的性质即可得答案．
【详解】（1）设甲种奖品的单价为x元，乙种奖品的单价为y元，
∵1件甲种奖品和2件乙种奖品共需40元，2件甲种奖品和3件乙种奖品共需70元，
∴，解得：，
答：甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元．
（2）设总费用为w元，购买甲种奖品为m件，
∵需甲、乙两种奖品共60件，
∴购买乙种奖品为（60-m）件，
∵甲种奖品的单价为20元，乙种奖品的单价为10元，
∴w=20m+10（60-m）=10m+600，
∵甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的，∴m≥（60-m），∴20≤m≤60，
∵10>0，∴w随m的增大而增大，
∴当m=20时，w有最小值，最小值为10×20+600=800（元），
∴购买甲种奖品20件，乙种奖品40件时总费用最少，最少费用为800元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，正确得出等量关系及不等关系列出方程组及不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
变式1．（2025·浙江杭州·校考一模）“六一”前夕，市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元，则1套文具和1套图书需 元．
【答案】48
【分析】设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，根据“1套文具和3套图书需104元，3套文具和2套图书需116元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，将其代入中，即可得出结论．
【详解】解：设1套文具的价格为x元，一套图书的价格为y元，
根据题意得：，解得：，∴．故答案为：48．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键
变式2．（2025·安徽宿州·统考模拟预测）“绿水青山就是金山银山”，年月日是我国第个植树节，某班组织学生在某园林基地进行植树活动，活动开始前对若干棵树苗进行分配，若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗，问共有多少棵树苗，多少学生？
【答案】共有14棵树苗，44名学生．
【分析】设共有棵树苗，名学生，根据若人合作种植一棵树苗，则还剩棵，若人合作种植一棵树苗，则还有人未分到树苗．列出二元一次方程组，解方程组即可．、
【详解】解：设共有棵树苗，名学生，
由题意等：，解得：，
答：共有棵树苗，名学生．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
变式3．（2025·山西朔州·校联考模拟预测）太原古县城，位于山西省太原市晋源区，是2500年晋阳古城文脉的延续．春节期间，在太原古县城内举办的“锦绣太原中国年·凤舞龙城花灯会”以及清明上河图数字体验馆吸引了众多游客．网上购买一张体验馆的门票比一张花灯会的门票多20元．一张体验馆的门票比现场购买少10元，一张花灯会的门票比现场购买少2元．现场购买，一张体验馆的门票比一张花灯会门票的2倍少22元．

(1)请求出网上购买体验馆与花灯会的门票价格；
(2)春节期间，某一购票网站搞活动，游客可以购买满300送30元的优惠券，若一个五口之家，通过网上购买体验馆门票和花灯会门票各5张，比现场购买便宜多少元？
【答案】(1)网上购买体验馆与花灯会的门票价格分别为68元和48元(2)90
【分析】（1）设网上购买体验馆与花灯会的门票价格分别为元和元，可得到现场购买的价格，再根据网上购买体验馆与花灯会门票的价格关系与现场购买体验馆与花灯会门票的价格关系建立二元一次方程组，解方程组即可得到答案；
（2）分别计算出现场购买的价格，计算出现场购买的总价，再计算出网上购买的总价，减去优惠卷的额度，得到网上购买优惠后的价格，即可求得答案．
【详解】（1）解：设网上购买体验馆与花灯会的门票价格分别为元和元，
则现场购买体验馆的门票价格为：元，现场购买花灯会的门票价格为：元；
∵网上购买一张体验馆的门票比一张花灯会的门票多20元，∴，
∵现场购买，一张体验馆的门票比一张花灯会门票的2倍少22元，
∴，
∴，解方程组得：，
∴网上购买体验馆与花灯会的门票价格分别为68元和48元；
（2）解：根据（1）得现场购买体验馆的门票价格为78元，现场购买花灯会的门票价格为50元 ，
∴现场购买体验馆门票和花灯会门票各5张的价格为元，
网上购买体验馆门票和花灯会门票各5张的价格为元，
∵游客可以购买满300送30元的优惠券，
∴网上购买体验馆门票和花灯会门票各5张的价格为元，
∴比现场购买便宜元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程组．
例11：（2025·浙江嘉兴·统考一模）小明在超市购物时发现：顾客甲购买2瓶牛奶3个面包和5盒饼干花了32元，顾客乙购买3瓶牛奶2个面包和4盒饼干花了29元，则小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需要 元．
【答案】26
【分析】设1瓶牛奶x元，1个面包y元，1盒饼干z元，根据题意列出三元一次方程组，然后利用即可求解．
【详解】设1瓶牛奶x元，1个面包y元，1盒饼干z元，
∴，∴得，．
∴小明想购买4瓶牛奶1个面包和3盒饼干需要26元．故答案为：26．
【点睛】此题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是设出未知数列出方程．
变式1.（2025·河北保定·统考二模）A，B两个容器分别盛有部分液体，容器的底部分别有一个出水口，若从A中取出20升倒入B中，再打开两容器的出水口，放完液体，B需要的时间是A的2倍．若将A中液体全部倒入B容器，并打开B容器的出水口，10分钟可以放完．若将B中液体全部倒入A容器，并打开A容器的出水口，15分钟可以放完．设开始时，A，B两容器中液体体积分别为升、y升．下面是甲、乙、丙三位同学的分析：甲：从A中取出20升倒入B中后，B中液体是A中液体的2倍；
乙：A出水口的液体流速是B出水口液体流速的；丙：，y之间满足关系式：．
其中分析正确的是（ ）
A．只有甲和乙B．只有甲和丙C．只有乙和丙D．甲、乙丙
【答案】C
【分析】根据题意得出A容器的流速是B容器流速的，然后列出相应关系式即可．
【详解】解：∵若将A中液体全部倒入B容器，并打开B容器的出水口，10分钟可以放完，若将B中液体全部倒入A容器，并打开A容器的出水口，15分钟可以放完，
∴A容器的流速是B容器流速的，∴相同时间流出的液体，A容器是B容器的，
∴，整理得，故选C．
【点睛】题目主要考查二元一次方程的应用，理解题意是解题关键．
变式2.（2025·北京平谷·统考二模）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、B（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为 元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形的四周，其余部分用个造型3填补空缺，若整个画面中，图案B个数不多于图案A数的2倍，且王先生的整体设计费用不超过500元，写出一个满足条件的值 ．
【答案】 22 6（答案不唯一，6，7，8均可）
【分析】设A种图案成本每个x元，B种图案成本每个y元，根据造型1的成本64元，造型2的成本42元，列方程组，则由造型3的成本为元；再根据图案的个数不多于图案个数的2倍，且整体设计费用不超过500元，列不等式组，求得，然后由n为整数，得出n的值即可．
【详解】解：设A种图案成本每个x元，B种图案成本每个y元，根据题意，得
，解得：(元)，
即造型3的成本为22元； 故答案为：22；
根据题意得：，解得：，
∵n为整数，∴，7，8，故答案为：6（答案不唯一，6，7，8均可）．
【点睛】本题考查二元一次方程组与一元一次不等式组的应用，理解题意，列出方程组与不等式组是解题的关键．
例12：（2025·四川泸州·统考中考真题）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；（2）共有3种租车方案，方案1：租用A型车8辆，B型车2辆；方案2：租用A型车5辆，B型车6辆；方案3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少．
【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，根据“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得；
（2）设货运公司安排A货车m辆，则安排B货车n辆．根据“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输方案．再根据方案计算比较得出费用最小的数据．
【详解】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货x吨和y吨，
根据题意可得：，解得：，
答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货20吨和15吨；
（2）设安排A型车m辆，B型车n辆，依题意得：20m+15n=190，即，
又∵m，n均为正整数，∴或或，∴共有3种运输方案，
方案1：安排A型车8辆，B型车2辆；
方案2：安排A型车5辆，B型车6辆；
方案3：安排A型车2辆，B型车10辆．
方案1所需费用：5008+4002=4800(元)；
方案2所需费用：5005+4006=4900(元)；
方案3所需费用：5002+40010=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，∴安排A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；根据据总费用=500×安排A型车的辆数+400×B型车的辆数分别求出三种运输方案的总费用．
变式1.（2025·河北石家庄·校考二模）小明为全班六一儿童节的活动准备奖品，A奖品每个2元，B奖品每个7元，购买A奖品个，B奖品个，共76元．
（1）若，则 ；（2）若同时购买两种奖品，则小明共有 种不同的选购方案．
【答案】 8 5
【分析】（1）根据题意可得A奖品的总价格为，B奖品的总价格为，故可得，把代入方程，即可解答；（2）将变形为，根据实际意义可得为正整数，即可解答．
【详解】解：（1）根据题意可列方程，
当时，可得方程，解得，故答案为：8；
（2）将变形为，
为正整数，观察式子，可得只能取偶数，且，
可解得，，，，，
故有5种不同的选购方案，故答案为：5．
【点睛】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据为正整数来思考是解题的关键．
变式2.（2025·北京昌平·统考二模）某旅店的客房有两人间和三人间两种，两人间每间200元，三人间每间250元，某学校50人的研学团到该旅店住宿，租住了若干客房.其中男生27人，女生23人.若要求男女不能混住，且所有租住房间必须住满.（1）要想使花费最少，需要 间两人间；
（2）现旅店对两人间打八折优惠，且仅剩15间两人间，此时要想花费最少，需要 间三人间.
【答案】 1 8
【分析】（1）要想使花费最少，则应尽可能多租三人间；
（2）两人间打八折优惠时，应尽可能多租两人间，注意所有租住房间必须住满．
【详解】解：（1）由题意知，两人间每间200元，平均每人100元，三人间每间250元，平均每人元，
因此要想花费最少，则应尽可能多租三人间，花费最少时，27个男生租9个三人间，23个女生可以租7个三人间和1个两个间，故答案为：1；
（2）两人间打八折优惠，则160元，平均每人80元，此时，要想花费最少，则应尽可能多租两人间，
设27个男生租x个两个间，y个三个间，23个女生租m个两个间，n个三个间，
则，，当，时，满足，
因此27个男生租12个两个间，1个三个间，此时还剩两人间：（个），
因此m可以取3，2，1，0，
当时，女生需要租三人间个，不合题意；
当时，女生需要租三人间个，不合题意；
当时，女生需要租三人间个，符合题意；
因此需要租三人间：（个），故答案为：8．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出二元一次方程，注意“所有租住房间必须住满”这一条件．变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的 最小公倍数 。
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
小辉：由②得，．③…………第一步
将③代入①得，．……第二步
整理得，．………………第三步
解得．…………………………第四步
将代入③，解得．………第五步
∴原方程组的解为……………第六步
小莹：得，．………………第一步
解得，…………………………第二步
将代入①得，．…………第三步
整理得，．………………第四步
解得…………………………第五步
∴原方程组的解为…………第六步
变形名称
具体做法
去分母
在方程两边都乘以各分母的 最小公倍数 。
去括号
先去小括号，再去中括号，最后去大括号。
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边
合并同类项
把方程化成的形式
系数化成1
在方程两边都除以未知数的系数，得到方程的解为
小辉：由②得，．③…………第一步
将③代入①得，．……第二步
整理得，．………………第三步
解得．…………………………第四步
将代入③，解得．………第五步
∴原方程组的解为……………第六步
小莹：得，．………………第一步
解得，…………………………第二步
将代入①得，．…………第三步
整理得，．………………第四步
解得…………………………第五步
∴原方程组的解为…………第六步