广西部分学校2025-2026学年高二上学期开学检测数学试卷

这是一份广西部分学校2025-2026学年高二上学期开学检测数学试卷，共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数 = 2(1 − )，则|| =
2
2
2D. 4
2
已知半径为 3的扇形面积为 3，则扇形的圆心角为
3
1
1D. 2
2
3 ，
在△ ?中，∠? = 2
? = 3，? = 4，则 =
37
A.
B.
C.D.
13
31
19
如图，平行四边形′′?′′是水平放置的四边形?的直观图，′′= 4，′′=6，则四边形?的面积 =
6
4
8
8
16
3
6
6
已知正方体?? − 1?11?1的棱长为 2，则直线1到平面???1?1的距离为
2
2
A. 2B.C. 1D. 2
已知 9cs +
5
4
= sin +
6
3
5
4 3
，则 tan =
5
D.
12
− 4 35 3
位于灯塔的正西方向且相距 40 海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔的东北方向的处有一艘乙船在甲船的北偏东 75°方向上，则乙船前往支援处的甲船需要航行的最短距离是
A. 20 2海里B. 40 2海里C. 40 3海里D. 30 海里
5
8.如图，设̅̅?̅̅→ = ̅̅?̅̅→，̅̅̅→ = ̅̅?̅̅→，线段??与?交于点，且?̅̅̅̅→ = 1 ?̅̅̅̅→，则 4 + =
2
A. 4B. 3C. 5
D. 5
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数 = − 4 − ( ∈ )，则
A. 当为实数时， = 0
B. 当为纯虚数时， = 4
C. 当的实部与虚部相等时， = 2 − 2
D. 在复平面内对应的点不可能位于第一象限
2
10.已知函数() = sin( + ) > 0, > 0, || = ̅→⋅̅→ = 1 2
|̅→||̅|
4，即向量
因为< ̅→，̅→ >∈ [0, ]，所以< ̅→，̅→ >=
̅→，̅→
的夹角为4；
(3)向量
̅→在
|̅→⋅̅→|1 2
2
=
=
̅→
方向上的投影向量的模为 |̅→|2 ．
16.(1)解：因为sin? + 3sin = 2+2，
sinsin?
所以 + 3 = 2+2，
则2 +3 = 2 + 2，
由余弦定理可得 cs? = 2+2−2 = 3
2
6．
又因为 0 < ? < ，所以? =
(2)证明：因为 sin =3sin，所以 =3，
又2 +3 = 2 + 2，
所以2 + 32 = 32 + 2，即 = ，所以△ ?为等腰三角形．
tan−tan
2 ，
1+11
17.解：(1)tan( − ) =
1+tantan
= 3 7 = ；
1+1×(−1)2
37
1−cs2 = 1−(1−2sin2) = tan = 1
3
sin2
2sincs；
2
由(1)得 tan( − ) = 1，
4
则 tan(2 − 2) = 2tan(−) = 1 = 4，
1−tan2(−)
1−1
3
tan(2−2)+tan
4−1
所以 tan(2 − ) = tan(2 − 2 + ) =
1−tan(2−2)⋅tan

= 3 7 = 1，
1−4×(−1)
37
因为 tan = 1 < 1，所以 ∈ (0, )，2 ∈ (0, )，
342
因为 ∈ ( , )，所以− ∈ ( − , − )，
22
4
所以 2 − ∈ ( − , 0)，所以 2 − =− 3．
18.(1)证明：连接?1.因为1 ⊥底面??，所以1 ⊥ ?．
12 + 1?2
1
48 + 16
因为底面??是正方形，所以? ⊥ ?，又? ∩ 1 = ，所以? ⊥平面1?1?，因为? ⊂平面1?1?，所以? ⊥ ?．
易得?1 =
=
= 8，则?1 = ?，因为?为侧棱??1的中点，所以? ⊥ ??1，
因为? ∩ ??1 = ?，所以? ⊥平面??11．
(2)解：过点?作?//1，? ∩ ? = ，过点作? ⊥ ，垂足为?，连接??．因为1 ⊥底面??，所以? ⊥平面??，所以? ⊥ ．
因为? ⊥ ，? ∩ ? = ，所以 ⊥平面??．
因为?? ⊂平面??，所以 ⊥ ??，则∠??为二面角? − − ?的平面角．
因为? = 2 3，? = 3 × 1 ?? = 3 2，
42
所以 tan∠?? = ? = 6，
?3
即二面角? − − ?的正切值为 6．
3
(3)解：在线段?1上存在点，使得平面?? ⊥平面?，且?1 = 1．
2
证明如下：取?的中点，连接交??于点，连接，?1．
易得?1//1，因为1 ⊥底面??，所以?1 ⊥平面??．因为 = ? = 1 = ?1，所以?1//，所以 ⊥平面??，
?2
因为 ⊂平面??，所以 ⊥ ．
因为底面??是正方形，所以?? ⊥ ，因为 ∩ ?? = ，所以 ⊥平面??，
因为 ⊂平面?，所以平面?? ⊥平面?，
所以在线段?1上存在点，使得平面?? ⊥平面?，且?1 = 1．
2
19.解：(1)由题意，得( − ) + ( − ) = cs( − ) + sin( − ) = sin − cs，
2222
则ℎ() = (cs + sin)(sin − cs) = sin2 − cs2 =− cs2，
由 ∈ [ − , ]，得 2 ∈ [ − , ]，
12 66 3
2
则 cs2 ∈ [ 1 , 1]，
2
故ℎ()的值域为[ − 1, − 1 ].
(2)() = [|cs| − sin][|sin| + cs] = |sincs| + cs|cs| − sin|sin| − sincs.
2
2
①当 ∈ [2, 2 + ]( ∈ )时，sin ≥ 0，cs ≥ 0，则() = cs2 − sin2 = cs2，()单调递减，所以()min = (2 + ) =− 1，()max = (2) = 1．
2
②当 ∈ [2 + , 2 + ]( ∈ )时，sin ≥ 0，cs ≤ 0，则() =− 2sincs − cs2 − sin2 =−
sin2 − 1，()在[2 + , 2 + 3 ]( ∈ )上单调递增，在[2 + 3 , 2 + ]( ∈ )上单调递减，
244
所以()min = (2 + ) = (2 + ) =− 1，()max = (2 + 3 ) = 0．
24
2
③当 ∈ [2 + , 2 + 3 ]( ∈ )时，sin ≤ 0，cs ≤ 0，则() = sin2 − cs2 =− cs2，()单调递增，
2
所以()min = (2 + ) =− 1，()max = (2 + 3 ) = 1．
2
④当 ∈ [2 + 3 , 2 + 2]( ∈ )时，sin ≤ 0，cs ≥ 0，() =− 2sincs + sin2 + cs2 = 1 − sin2，()在[2 + 3 , 2 + 7 ]( ∈ )上单调递增，在[2 + 7 , 2 + 2]( ∈ )上单调递减，
244
所以()min = (2 + 3 ) = (2 + 2) = 1，()max = (2 + 7 ) = 2．
24
因为， ∈ ，∀ ∈ ，() ≤ () ≤ ()，所以() = ()min =− 1，() = ()max = 2，
所以当| − |取最小值时，| − |min = 7 − = 3．
44