广东省韶关市浈江区2024-2025学年上学期九年级9月考考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省韶关市浈江区2024-2025学年上学期九年级9月考考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）
1. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、当a=0时， 不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
B、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
D、该方程不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
故选C．
2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 1，7，2B. 1，，C. 0，，D. 17，
【答案】B
【解析】一元二次方程的标准形式为，其中：
是二次项系数（二次项为），
是一次项的系数（一次项为），
是常数项（不含未知数的项）；
二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
故选：B．
3. 一元二次方程 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根D. 只有一个实数根
【答案】C
【解析】∵，
∴方程无实数根．
故选C．
4. 下列关于x的函数一定为二次函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、是一次函数，不符合题意；
B、是反比例函数，不符合题意；
C、是的反比例函数，不符合题意；
D、是二次函数，符合题意；
故选D．
5. 下列各点中，在抛物线上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、当时，，则点不在抛物线上，故本选项不符合题意；
B、当时，，则点不在抛物线上，故本选项不符合题意；
C、当时，，则点在抛物线上，故本选项符合题意；
D、当时，，则点不在抛物线上，故本选项不符合题意；
故选：C
6. 肆虐的冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：1人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将累计会有225人感染，若设1人平均感染人，依题意可列方程
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】设1人平均感染人，
依题意可列方程：，
故选：D．
7. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B.
C. 且D. 且
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程mx2+6x-9=0有两个实数根，
∴△≥0且m≠0，
∴36+36m≥0且m≠0，
∴m≥-1且m≠0，
故选：D．
8. 某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得：，，
∴按步骤顺序，乙同学负责的步骤是错的，
故选：B．
9. 下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点（0，0），其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】①二次函数的图象是抛物线，正确；
②因为，所以抛物线开口向下，正确；
③因为，所以对称轴是轴，正确；
④顶点（0，0）也正确．故选：D．
10. 函数与在同一平面直角坐标系内图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】函数与，
当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过一、二、三象限，
当时，函数图象开口向下，函数的图象经过二、三、四象限，
只有B选项中的图象符合题意，
故选：B．
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
11. 若是方程的一个根，则__________．
【答案】
【解析】是方程的一个根，
代入可得，即，
．
故答案为：．
12. 把一元二次方程化成一般形式是__________．
【答案】
【解析】
一元二次方程化成一般形式是，
故答案为：．
13. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为_____．
【答案】
【解析】∵关于的一元二次方程的常数项为0，
∴，
解得，
故答案：．
14. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了56个红包，设这个微信群共有x人，则可列方程为__________．
【答案】
【解析】这个微信群共有x人，若每人给其他成员都发一个红包，则每人发个，
则．
故答案为：．
15. 对于实数a、b、c、d，我们定义运算=ad-bc，例如：=2×5-1×3=7，上述记号就叫做二阶行列式．若=4，则x=______．
【答案】2或4
【解析】利用题中的新定义化简得：

解得：，．
故答案为：2或4．
三、解答题（一）（本题共计3小题，16，17题每题8分，18题7分，共计23分）
16. 按要求解方程：
（1）直接开平方法：
（2）配方法：
（1）解：移项得：，
两边同时除以25，得：，
直接开平方得：或
（2）解：移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
或
17. 按要求解方程：
（1）公式法：；
（2）因式分解法：
解：（1），
，
，
，
；
（2），
，
．
18. 若关于的一元二次方程的一个根为2，求的值及方程的另一根．
解：设关于的一元二次方程的另一根为，
根据根与系数的关系得：，
∴，
即的值为及方程的另一根为．
四、解答题（二）（本题共计3小题，19，20题每题9分，21题10分，共计28分）
19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．
解：（1）设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得：
化简得：
，
或（舍）
答：进馆人次的月平均增长率为．
（2）∵进馆人次的月平均增长率为，
第四个月的进馆人次为：
答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．
20. 如图，点在的图象上．已知的横坐标分别为，直线与轴交于点，连接．

（1）求直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有 个．
（1）解：∵点在的图象上，的横坐标分别为，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
∴的坐标为，
∴，
∴；
（3）解：过的中点，作的平行线交抛物线两个交点，此时的面积和的面积等于的面积的一半；
作直线关于直线的对称直线，交抛物线两个交点，此时的面积和的面积等于的面积的一半；
∴这样的点共有个，故答案为：．
21. 综合与实践
【主题】利用闲置硬纸板制作收纳盒收纳玩具
【素材】两张长为，宽为的硬纸板
【任务】
（1）把如图1所示的长方形硬纸板的四角沿虚线剪去四个相同的小正方形，得到如图2的纸板，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖的长方体收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长；
（2）把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图3所示．若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，问能否把家里一个机械狗玩具收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图4，请通过计算判断机械狗玩具能否完全放入该收纳盒．
（1）解：设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得：
，
整理得：
解得：，（舍去），
∴剪去的小正方形的边长．
（2）解：设小长方形的宽为，长，由题意得：
，
解得：，
∴小长方形的宽为，
当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为，
∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒．
五、解答题（三）（本题共计2小题，每题12分，共计24分）
22. 【阅读材料】配方法在证明恒等式、利用求代数式最值等问题中都有广泛应用．
如：．
，，．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）利用配方法将多项式化成的形式为__________；
（2）求证：无论，取任何实数，代数式的值恒为正数；
（3）若a，b，c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
（1）解：x2-4x-5=x2-4x+4-9=x-22-9；
故答案：x-22-9；
（2）解：
=x2+4x+4+y2-6y+9+2
=x+22+y-32+2，
∵，y-32≥0，
∴x+22+y-32+2≥2，
∴无论、取任何实数，代数式的值恒为正数；
（3）解：是等腰三角形，理由如下：
∵，
∴a2+b2-2ab+b2-2b+1=0，
即a-b2+b-12=0，
∴，，
解得：，
∴是等腰三角形．
23. 如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t（秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵x2－7x＋12＝0，
∴(x－3)(x－4)＝0， ∴＝3或＝4， 则AB＝3，BC＝4，
（2）由题意得，
∴，(舍去)，则t＝4时，AP＝．
（3）存在点P，使△CDP是等腰三角形．
①当PC＝PD＝3时， t＝ ＝10(秒) ．
②当PD＝PC(即P为对角线AC中点)时，AB＝3，BC＝4．
∴AC＝ ＝5，CP1＝ AC＝2.5，
∴t＝ ＝9.5(秒)．
③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q，
，，
∴PC＝2PQ＝， ∴(秒)，
可知当t为10秒或9.5秒或秒时，△CDP是等腰三角形．原方程
甲
乙
丙
丁