内蒙古通辽市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷

这是一份内蒙古通辽市2024-2025学年高一下学期期末考试 数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:姓名：班级：考号：
一、单选题
1． 3  4i2  i  （ ）
2  5i
10  5i
10  5i
2  i
数据7,8,12, 5, 6, 7, 6,10,12,8 的第75 百分位数为（ ）
B．8C．10D．12
a
(a
a
已知向量 →  (3, 2), b  (0, 1) ，则 →  b )  →  （ ）
B．9C．11D．15
将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和大于 8 的概率为（ ）
A． 1
6
B． 5
18
C． 1
3
D． 5
12
由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为 30°，腰长为 2，如图，那么它在原平面图形中，顶点 B 到 x 轴的距离是（ ）
2
A． 2
B．2C．
D． 2
2
2
rrr r1
已知向量a ， b 满足 a  b
 1 ， a  b  
2
，则a 在b 上的投影向量为（ ）
1 →
a
2
1 →

a
2
1 r
b
2
 1 →
b
2
所有棱长均为 6 的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 2 的正三棱锥，则所得棱
台的高为（ ）
4 6
3
2 6
3
​
6
2
6
甲，乙两人在玩掷骰子游戏，各掷一次，设得到的点数分别为 x, y ，A 表示事件“ x  4 ”， B 表示事件“ y
为奇数”， C 表示事件“ x  y  8 ”， D 表示事件“ x  y  7 ”，则相互独立的事件是（ ）
A 与CB． B 与CC． C 与 DD． B 与 D
二、多选题
已知a, b, c 是三条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，下列命题正确的有（ ）
若a  b, a  c ，则b//c
若a//b, a//c ，则b//c
若α β,α γ，则β//γ
若α//β,α//γ，则β//γ 10．某学校在教育教学管理中，采用量化评分的方式进行管理，其中高一某班在一周中的纪律、卫生及两操的日量化得分（得分均为整数）折线图如图所示，则在这五天中（ ）
纪律的平均分最高 B．与纪律、卫生相比，两操的第 80 百分位数最大 C．卫生的方差最小 D．周四的班级量化总得分最低
下列结论错误的是（ ）
若向量a  1, 2 ， b  1,1 ，且a 与a  λb 的夹角为锐角，则 λ 的取值范围是  5 , 
 3

若非零向量a ， b 满足 a  b  a  b ，则a 与a  b 的夹角为 60°
→→ →→
若向量a ， b 满足a  2b b  2 ，且 b  2 ，则a 在b 方向上的投影向量的模为 5
π→→rr1
若向量a 与b 的夹角为 6 ， a  3, b  1, t  R ，则 ta  b 的最小值为 4
三、填空题
5
设复数 2i 和复数2 
–––→
5i 在复平面上分别对应的向量分别是OA 和OB ，则 AB  ．
在V ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知
3 3 ，则b  c  .
2
a
cs A
3b ， a  3 ，且V ABC 的面积为
sin B
如图所示的迷宫共有 9 个格子，相邻格子有门相通，9 号格子就是迷宫出口，整个迷宫将会在 4 分钟后坍塌，若 1 号格子有一只老鼠，这只老鼠以每分钟一格的速度在迷宫里乱窜( 它通过各扇门的机会相等) ，则此老鼠在迷宫坍塌之前逃生的概率是.
四、解答题
设i 为虚数单位， a  R ，复数 z1  2  ai ， z2  4  3i .
若 z1  z2 是实数，求a 的值；
若 z1 是纯虚数，求 z .
z
1
2
某社区组织了 300 人参加读书有奖测试活动，参与者经过一段时间的读书学习之后，参加社区组织的测试.把他们的测试成绩（满分 100 分）整理后绘制成如图所示的频率分布直方图，所有成绩共分为
50, 60 ， 60, 70 ， 70,80 ， 80, 90 ， 90,100 五组.
求 x 的值；
估计这 300 人测试成绩的平均数；（每组数据以该组所在区间的中点值为代表）
在测试成绩为60, 70 ，70,80 ，80, 90 ，90,100 的四组人中，按人数比例用分层随机抽样的方法抽取
57 人，求在测试成绩为80, 90 的这一组中抽取的人数.
在V ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B,C 的对边，向量m  (sin C, cs C) ， n  (2 sin A 
3 cs B, 
3 sin B) ，
且m  n ，且角 C 是锐角．
求角C 的值；
3
若c ，求V ABC 的周长的最大值．
如图，直角梯形 ABCD 中， AB ∥CD ， AB  BC ， E 为 AB 上的点，且 AD  AE  DC  2 ， BE  1，将V ADE 沿 DE 折叠到 P 点，使 PC  PB .
求证：平面 PDE  平面 ABCD ；
求四棱锥 P  EBCD 的体积.
某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从 A 类的 5 个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得 40 分，否则得 0 分；第二轮从 B 类的 5 个问题中任选两题作答，每答对 1 题得 30 分，答错得 0 分若两轮总积分不低于 60 分则晋级复赛.
小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为 0.5.在 A 类的 5 个问题中，小明只能答对 4 个问题；在 B 类的 5 个问题中，小明每个问题答对的概率都为 0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.
求小明在第一轮得 40 分的概率；
以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？
内蒙古通辽市 2024-2025 学年高一下学期期末质量监测数学试题参考答案
1．B
【详解】3  4i2  i  6  3i  8i  4i2  10  5i .
故选：B.
2．C
【详解】首先将数据从小到大排序： 5, 6, 6, 7, 7,8,8,10,12,12
由题意可知：10  75%  7.5 ，则从小到大第 8 个数为10 .
故选：C
3．C
→→
【详解】因为a  (3, 2), b  (0, 1) ，故a  b  (3,1) ，
(a
a
故 →  b )  →  3 3  2 1  11，
故选：C.
4．B
【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次共有62 个基本事件，
点数和大于 8 的事件有(3, 6), (6, 3), (4, 5), (5, 4), (4, 6), (6, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 5), (6, 6) ，共 10 个，
所以出现向上的点数之和大于 8 的概率为10  5 .
3618
故选：B.
5．A
【详解】
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
B
A
D
A
D
BD
AC
题号
11
答案
ABD
AB
2
过 B 作 y的平行线交 x 于 M 点，则易知BMA  45∘ ，
由正弦定理可知
sin 45∘

BM
sin 30∘
，则 BM ，
2
由斜二测画法知：在原平面图形中，顶点 B 到 x 轴的距离是2 BM  2.
故选：A
6．D
→→ → 1
【详解】由向量的夹角公式得→
a  b
21 ，
a  b
→
→
cs a, b  
112
a·b · b
→→
b b
→1 →
  b
由投影向量公式得a 在b 上的投影向量为
2，故 D 正确.
故选：D 7．A
【详解】
如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台，
该棱台的高等于大正三棱锥的高的 2 .
3
3
3
设大正三棱锥的高为 DH，则： BH  2 BI  2  3 2
62  2 3 2
33
因为大正三棱锥的高为: DH 
DB2  BH 2 =
 2，
6
6
所以该棱台的高为 2  2
 4 6 .
33
故选：A
8．D
【详解】由题意得：事件 A :“ x  4 ”的情况有：
5,1, 5, 2, 5, 3, 5, 4, 5, 5, 5, 6, 6,1, 6, 2, 6, 3, 6, 4, 6, 5, 6, 6 共 12 种，
所以 P  A  12  1 ．
363
事件 B :“ y 为奇数”的情况有： 1,1, 1, 3, 1, 5, 2,1, 2, 3, 2, 5, 3,1, 3, 3, 3, 5,
4,1, 4, 3, 4, 5, 5,1, 5, 3, 5, 5, 6,1, 6, 3, 6, 5 共 18 种，
所以 P  B  18  1 ；
362
事件C :“ x  y  8 ”的情况有： (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5),(5, 6),
(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) 共 10 种，
所以 P C   10  5 ；
3618
事件 D :“ x  y  7 ”的情况有： 1, 6, 2, 5, 3, 4, 4, 3, 5, 2, 6,1 共 6 种，
所以 P  D  1 .
6
对于 A，因 P  AC  
对于 B，因 P  BC  
7  P  A P C  ，则A 与C 不独立，故 A 错误；
36
4  1  P  B P C  ，则 B 与C 不独立，故 B 错误；
369
对于 C，因事件 C 与 D 不能同时发生，则 P CD  0  P C  P  D ，故 C 错误；
对于 D， P  BD  3  1  P  B P  D ，则 B 与 D 相互独立，故 D 正确.
3612
故选：D.
BD
【详解】A 选项，若a  b, a  c ，则b, c 可能异面，A 选项错误.
B 选项，若a//b, a//c ，则b//c ，B 选项正确.
C 选项，若α β,α γ，则α,β可能相交，C 选项正确.
D 选项，若α//β,α//γ，则β//γ，D 选项正确. 故选：BD
AC
【详解】由题意得这五天中纪律的平均分为 9  7  9  8 10  8.6 ，
5
方差为 1  9  8.62  7  8.62  9  8.62  8  8.62  10  8.62   1.04 ；
5 
卫生的平均分为 6  8  6  7  8  7 ，
5
5
方差为 1  (6  7)2  (8  7)2  (6  7)2  (7  7)2  (8  7)2   0.8 ；
两操的平均分为 3  6  7  5  9  6 ，
5
5
方差为 1  (3  6)2  (6  6)2  (7  6)2  (5  6)2  (9  6)2   4 .
所以纪律的平均分最高，卫生的方差最小，A，C 项正确.
因为 5×80%=4，所以纪律的第 80 百分位数为 9 10  9.5 ，
2
两操的第 80 百分位数为 7  9  8 ，B 项错误.
2
这五天中从周一起班级量化总得分依次为 9+6+3=18，8+7+6=21，9+7+6=22，8+7+5=20，10+9+8=27，所以周一的班级量化总得分最低，D 项错误.
故选：AC
ABD
→
→→→
【详解】A 选项， a  λb  1 λ, 2  λ ， a  a  λb   1 λ 4  2λ 3λ 5  0
且2  λ 2 1 λ ，解得λ  5 且λ 0 ，A 错误；
3
→→→→→→
B 选项，将 a  a  b 和 b
 a  b 两边分别平方得，
→ 2→ 2
→ →→ 2→ 2→ 2
→ →→ 2
→ 2→ 2→ →
3
2
3  a
→ 2
a  a
 2a  b  b ， b
 a  2a  b  b
，即 a  b  2a  b
→→→
→→ →→ 2
a  3a
→ →2
则→ →→
a a  b 
a2  a  b
a
，
3
cs a, a  b  →→
→ 
2
a  a  b
所以a 与a  b 的夹角为 30°，B 错误；
→→→→→2→
→
C 选项， a  2b  b  a  b  2b
 2 ，又 b  2 ，所以a  b  10 ，
→
a  b  5
b
所以a 在b 方向上的投影向量的模为 → ，C 正确；
→→ 2
→→ →→
3 21
对于 D， ta  b
 t 2a2  2ta  b  b 2  9t 2  3 3t 1  9  t 

 ，
6 4

3→→ 2
1→→1
当t  
6
时， ta  b
有最小值 ，所以 ta  b 的最小值为 ，D 错误．
42
故选：ABD
2
3
5
【详解】由复数 2i 和复数2  5i 在复平面上分别对应的向量分别是OA 和OB ，
可得OA  ( 5, 2) ， OB  (2, 5) ，所以 AB  OB  OA  (2 
5
(2  5)2  ( 5  2)2
–––→
5,
 2) ，
2
所以 AB 
故答案为： 3 2 .
 3.
3
3
【详解】因为 a
3b ，由正弦定理得 sin A 
3 sin B ，即tan A ，又0  A  π ，所以 A  π ．
cs A
sin B
cs A
sin B3
3
由V ABC 的面积为 3 3 ，得 1 bc sin A 3 bc  3 3 ，可得bc  6 ．
2242
在V ABC 中，由余弦定理可得a2  b2  c2  2bc cs A ，
又a  3 ， A  π ，代入可得b2  c2  15 ，所以b  c2  b2  c2  2bc  27 ，
3
所以b  c  3 3 ．
故答案为： 3 3 .
1
9
【详解】小鼠逃生路线有以下六种情况：
1  2  3  6  9;
1  2  5  6  9;
1  2  5  8  9 ；
1  4  5  6  9;
1  4  5  8  9;
1  4  7  8  9 .
概率分别为 P  1  1  1  1  1 ;

12 3 2 336
P  1  1  1  1  1 ;

22 3 4 372
P  1  1  1  1  1 ;

32 3 4 372
P  1  1  1  1  1 ;

42 3 4 372
P  1  1  1  1  1 ;

52 3 4 372
P  1  1  1  1  1 .

62 3 2 336
所以小老鼠逃生概率为 P  P  P  P  P  P  P 
1  1
 1  1  1  1
 1 .
故答案为： 1 .
9
15．(1) a  3
2
123456
3672727272369
(2) 10
3
【详解】（1）解： z1  z2  2  ai4  3i  3a  8  4a  6i ，因为 z1  z2 是实数，
则4a  6  0 ，
解得a  3 .
2
1
（2） z  2  ai  2  ai4  3i  8  3a  4a  6 i ，
z24  3i4  3i4  3i2525
z1
z
因为为纯虚数，
2
8  3a  0

则4a  6  0 ，
解得a  8 .
3
所以 z1 
16．(1)0.02； (2)77；
 10 .
4  64
9
3
18.
【详解】（1）依题意，10 0.005  0.01 x  0.03  0.035  1，所以 x  0.02 .
估计这 300 人测试成绩的平均数为
10  0.005 55 10  0.02  65 10  0.035 75 10  0.03 85 10  0.01 95  77 .
测试成绩在80, 90 内的人数为300 10  0.03  90 ，测试成绩在50, 60 内的人数为300 10  0.005  15 ，
所以测试成绩为60, 70 ， 70,80 ， 80, 90 ， 90,100 的这四组的总人数为300 15  285 ，
抽样比为 57  1 ，所以在测试成绩为80, 90 的这一组中抽取的人数为90  1  18 .
28555
17．(1) C  π
3
3
(2) 3
【详解】（1）因为m  (sin C, cs C) ， n  (2 sin A  3 cs B,  3 sin B) ， m  n ，
–→ →
所以m  n  0 ，所以sin C  (2 sin A 
3 cs B)  cs C  (
3 sin B)  0 ，
所以2 sin Asin C 
3 sin C cs B 
3 cs C sin B  0 ，
所以2 sin Asin C  3(sin C cs B  cs C sin B)  0 ，
所以2 sin Asin C  3 sin(B  C)  0 ，
因为 B  C  π  A ，所以sin(B  C)  sin(π  A)  sin A ，
所以2 sin Asin C 
3 sin A  0 ，所以sin A(2 sin C 
3)  0
3
因为0  A  π ，所以sin A  0 ，所以2 sin C  0 ，
所以sin C 3 ，因为0  C  π ，所以C  π ；
223
（2）在V ABC 中，由余弦定理可得c2  b2  a2  2ba cs C ，
π
a  b 2
3
又因为C  ， c ，所以3  b 2  a 2  ba  a  b 2  3ab  a  b 2  3 ，
34
3
所以12  a  b2 ，所以a  b  2，当且仅当a  b  3 时取等号，
所以V ABC 的周长的最大值为3 3 ．
18．(1)证明见解析
(2) 3
2
【详解】（1）证明：取 BC 的中点G ， DE 中点 H ，连接 PG ， GH ， HP ，
又 AB//CD ，∴ HG//AB//CD ，∵ AB  BC ，∴ HG  BC ，
又∵ PB  PC ，∴ PG  BC ，
又 HG ∩ PG  G ， HG, PG  平面 PGH ，∴ BC  平面 PGH ，
PH  平面 PGH ，则 PH  BC ，
∵ PD  PE ， H 为 DE 中点， PH  DE ，
而 BC 与 DE 不平行， BC, DE  平面 ABCD ，∴ PH  平面 ABCD ，
∵ PH  平面 PDE ，∴平面 PDE  平面 ABCD ；
（2）由（1）知， PH  平面 ABCD ，在直角梯形 ABCD 中，过 D 作 DF  AB ，垂足为 F ，则 BCDF 为矩形，∵ AB  AE  EB  3 ， BF  DC  2 ， AF  1， EF  1
3
AD  2 ，在RtaADF 中， DF 2  AD2  AF 2 ，得 D 到 AB 的距离 DF ，
3
则四边形 EBCD 的面积S  1 1 2 3 3 ，
22
3
3
在Rt△DFE 中， DE2  DE2  EF 2 ，求得 DE  2 ，则V ADE 为等边三角形，可得 AH ，即 PH .
∴VP EBCD
 1  3 3  3 .
3
322
19．(1) 3 ；
5
(2)小明更容易晋级复赛.
【详解】（1）对 A 类的 5 个问题进行编号： a, b, c, d , e ，第一轮从 A 类的 5 个问题中任选两题作答，则有a, b, a, c, a, d , a, e, b, c, b, d , b, e, c, d , c, e, d , e 共10 种，
设小明只能答对 4 个问题的编号为： a,b,c, d ，
则小明在第一轮得 40 分，有a, b, a, c, a, d , b, c, b, d , c, d 共6 种，
则小明在第一轮得 40 分的概率为： 6  3 ；
105
（2）由（1）知，小明在第一轮得 40
3
分的概率为，
5
则小明在第一轮得 0 分的概率为：1 3  2 ，
55
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于 60 分
当第一轮答对两题得40 分，第二轮答对一题得30 分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P1  0.5 0.5 0.5 1 0.5  1 0.5 0.5  0.125 ；
P  3 0.4  0.6  0.6  0.4  0.288 ；
25
当第一轮答对两题得40 分，第二轮答对两题得60 分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P  0.5 0.5 0.5 0.5  0.0625 ； P  3  0.4  0.4  0.096 ；
345
当第一轮答错一题得0 分，第二轮答对两题得60 分时，小芳和小明晋级复赛的概率分别为：
P  0.51 0.5  1 0.5 0.5  0.5 0.5  0.125 ； P  2  0.4  0.4  0.064 ；
565
当第一轮答错两题得0 分，第二轮答对两题得60 分时，小芳晋级复赛的概率分别为：
P7  1 0.51 0.5  0.5 0.5  0.0625 ；
小芳晋级复赛的概率为： P1  P3  P5  P7  0.125  0.0625  0.125  0.0625  0.375 ；小明晋级复赛的概率为： P2  P4  P6  0.288  0.096  0.064  0.448 ；
Q0.448  0.375 ，
小明更容易晋级复赛.