【2026中考】数学核心考点精讲精练-考点14几何图形初步与平行线（学生版+名师详解版）

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A．21.7B．22.6C．24.7D．25.6
2.（2025·河北唐山·模拟预测）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
（4）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条；（5）垂直于同一条直线的两条直线互相垂直．
其中真命题有（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．（2025·江西吉安·校考模拟预测）如图①所示的是一个正方体的表面展开图，将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻过第1格、第2格，到第3格时正方体朝上的一面上的字是（ ）

A．世B．真C．精D．彩
4．（2025·河北石家庄·考模拟预测）如图，有A，B，C三个地点，且，从A地测得B地的方位角是北偏东，那么从C地测B地的方位角是（ ）

A．北偏西B．南偏西C．北偏东D．南偏东
5．（2025·山西晋中·校联考模拟预测）如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，(，)则下列结论不正确的是( )

A．B．
C．若，则D．若，则
6．（2025·河北衡水·统考二模）在作业纸上，，点C在，之间，要得知两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行B．I不可行，II可行
C．I、II都可行D．I、II都不可行
7．（2025·河北保定·统考二模）已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下：

下列说法正确的是( )
A．小明的方法正确，小亮的方法不正确B．小明的方法不正确，小亮的方法正确
C．小明、小亮的方法都正确D．小明、小亮的方法都不正确
8．（2025·广东深圳·校考模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·山东淄博·模拟预测）图中的长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成的，那么其中第一部分所对应的几何体可能是（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
11．（2025·河北沧州·校考二模）如图，不完整的数轴上有A，B两点，原点在A、B之间，沿原点将负半轴折叠到正半轴上，点A落在点B左侧4个单位长度处，则线段的中点表示的数为（ ）

A．2B．C．4D．
12．（2025·江苏无锡·统考二模）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
13.（2025·黑龙江大庆·校考模拟预测）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．
14．（2025·河南周口·校考模拟预测）如图，直线相交于点，若，则（ ）

A．B．C．D．
15．（2025·山东青岛·统考二模）如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ）

A． B． C． D．
16．（2025·吉林松原·校联考二模）如图，一片树叶标本部分磨损，用剪刀剪下（虚线）磨损的部位，此时，原来树叶标本的周长变小，能解释这一现象的数学道理是 ．

17．（2025·浙江杭州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 ．
18．（2025·山东烟台·统考二模）七巧板是古代中国劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏，其历史至少可以追溯到公元前一世纪．小明将一个边长为4的正方形制作成一副如图1所示的七巧板，取出其中的六块，拼成了一个（如图2），则的对角线AC的长度为 ．

19．（2025·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．

（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
20．（2025·广东深圳·校考模拟预测）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，两块三角尺有一组边平行．
21．（2025·浙江温州·校考二模）如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使．(1)求证：；(2)当时，求的度数．

22．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图所示，M是线段AB上一定点，，C，D两点分别从点M，B出发以，的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）．（1）当点C，D运动了时，求的值．
（2）若点C，D运时，总有，则_______．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且，求的值．
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1．（2025·山东青岛·统考中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）

A．31B．32C．33D．34
2．（2025·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A．B．C．D．
3.（2025·山东临沂·统考中考真题）下图中用量角器测得的度数是（ ）
A．B．C．D．
4.（2025·湖南益阳·统考中考真题）下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5.（2025·青海·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
6.（2025·山东·统考中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）

A．A点B．B点C．C点D．D点
7．（2025·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．

A．B．C．D．
8．（2025·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边、分别交于点H、K，若，则等于（ ）．

A．B．C．D．
9．（2025·甘肃兰州·统考中考真题）如图，直线与相交于点O，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·浙江金华·统考中考真题）如图，已知，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
11．（2025·山东潍坊·统考中考真题）下列命题正确的是（ ）（多选题）
A．在一个三角形中至少有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
12．（2025·江苏·统考中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．

A．B．C．D．
13．（2025·广西桂林·统考中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm．
14.（2025·山东烟台·统考中考真题）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为 ．

15.（2025·江苏镇江·统考中考真题）如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．

16．（2025·湖北恩施·中考真题）如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则 ．
17．（2025·江西·统考中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
18．（2025·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：

（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
（3）作射线交直线于点；若，则 度．
19．（2025·浙江温州·统考中考真题）如图，是的角平分线，在上取点，使．
（1）求证：．（2）若，，求的度数．
20．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
21．（2025·湖北黄石·中考真题）如图，．
（1）求的度数；（2）若，求证：．
考点14.几何图形初步与平行线（精练）
限时检测1：最新各地模拟试题（40分钟）
1．（2025·广东·统考模拟预测）缓降机是火灾发生时避难的逃生设备，如图是厂商提供的缓降机安装示意图，图中呈现在三楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）．若某栋建筑的每个楼层高度皆为3公尺，则根据如图的安装方式在该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长（不计安全带）为多少公尺？（ ）
A．21.7B．22.6C．24.7D．25.6
【答案】A
【分析】根据题意，在八楼安装缓降机，绳长为落地架高度+七层楼高度-主机长度-绳端离地高度，列式计算出结果后对比选项进行选择。
【详解】解：该建筑八楼安装缓降机时，使用此缓降机直接缓降到一楼地面的所需绳长=（公尺），故选：
【点睛】本题考查线段的和差定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2.（2025·河北唐山·模拟预测）给出下列说法：（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）不相等的两个角不是同位角；（3）直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；
（4）过一点作已知直线的平行线，有且只有一条；（5）垂直于同一条直线的两条直线互相垂直．
其中真命题有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【分析】利用平行线的性质、点到直线的距离的定义等知识分别判断后即可确定真命题的个数，确定正确的选项．
【详解】解：（1）两条平行的直线被第三条直线所截，同位角相等，故原说法错误；
（2）不相等的两个角也有可能是同位角，故原说法错误；
（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故原说法错误；
（4）过直线外一点作已知直线的平行线，有且只有一条；
（5）垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法正确，故正确的只有1个，故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的性质、点到直线的距离的定义等知识，难度不大．
3．（2025·江西吉安·校考模拟预测）如图①所示的是一个正方体的表面展开图，将对应的正方体从如图②所示的位置依次翻过第1格、第2格，到第3格时正方体朝上的一面上的字是（ ）

A．世B．真C．精D．彩
【答案】B
【分析】根据正方体表面展开图的特征判断相对的面，再根据翻转得出答案．
【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“世”与“彩”相对，“界”与“真”相对，“杯”与“精”相对，
翻过第1格时，“世”在下面，“界”在右面，“杯”在前面，
翻过第2格时，“世”在后面，“界”在右面，“杯”在下面，
翻过第3格时，“界”在下面，因此“真”在上面，故选：B．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，利用了正方体的翻转，正方体中间相隔一个面的两个面是对面．
4．（2025·河北石家庄·考模拟预测）如图，有A，B，C三个地点，且，从A地测得B地的方位角是北偏东，那么从C地测B地的方位角是（ ）

A．北偏西B．南偏西C．北偏东D．南偏东
【答案】D
【分析】如图，建立方位图，根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的两个锐角互余即可求出，即为从C地测B地的方位角.
【详解】解：如图，由题意可得，，∴，
∵，∴，即从C地测B地的方位角是南偏东；故选：D.

【点睛】本题考查了方位角、平行线的性质和直角三角形的性质，属于基础题目，正确理解题意、求出的度数是解题的关键.
5．（2025·山西晋中·校联考模拟预测）如图，将一副三角尺如图放置，、交于点，(，)则下列结论不正确的是( )

A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】由余角的性质，得到，由，得到，因为，故和不平行，由，得到．
【详解】解： ＋＋，，故A正确；
，，故B正确；
，，
，，和不平行，故C错误；
，，
，，，故D正确．故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法．
6．（2025·河北衡水·统考二模）在作业纸上，，点C在，之间，要得知两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图1和图2），对于方案I、II，说法正确的是（ ）
A．I可行，II不可行B．I不可行，II可行
C．I、II都可行D．I、II都不可行
【答案】C
【分析】如图，延长交于，过作，而，，再利用平行线的性质可得答案，如图，延长交于，利用平行线的性质可得答案.
【详解】解：如图，延长交于，过作，而，∴，

∴，，∴，∴I可行，
如图，延长交于，∵，∴，∴II可行，故选C
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
7．（2025·河北保定·统考二模）已知直线，小明和小亮想画出的平行线，他们的方法如下：

下列说法正确的是( )
A．小明的方法正确，小亮的方法不正确B．小明的方法不正确，小亮的方法正确
C．小明、小亮的方法都正确D．小明、小亮的方法都不正确
【答案】C
【分析】根据内错角相等两直线平行可知小明的方法正确，根据同位角相等两直线平行可知小亮的方法正确，由此得解．
【详解】解：小明的方法：设三角板的第三个顶点是F，

依题意得：，∴，即小明的方法正确；
小亮的方法：依题意，这是尺规作图—作相等的角，∴，
∴，即小亮的方法正确；∴小明、小亮的方法都正确，故选：C．
【点睛】本题考查平行线的判定，尺规作图—作相等的角，掌握相关定理是解题的关键．
8．（2025·广东深圳·校考模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，则，由平行线的性质可得，，由此进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，过点作，
，
，，，，
，，
，故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．
9．（2025·山东淄博·模拟预测）图中的长方体是由三个部分拼接而成的，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成的，那么其中第一部分所对应的几何体可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察长方体，可知第一部分所对应的几何体在长方体中，上面有两个正方体，下面有两个正方体，再在B、C选项中根据图形作出判断．
【详解】解：由长方体和第一部分所对应的几何体可知，
第一部分所对应的几何体上面有两个正方体，下面有两个正方体，并且与选项B相符．故选：B．
【点睛】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第一部分所对应的几何体的形状是解题的关键．
10．（2025·浙江·模拟预测）在图中，实线所围成的多边形区域（阴影部分）是由四个全等正方形拼接而成的．现在若补上图中标有号码的其中一个全等小正方形，则可得到九个多边形区域（每个区域恰好含有五个全等小正方形），试问这九个多边形区域中，可以折成无盖的正方体容器的个数是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根据正方体的展开图有11种情况：1−4−1型共6种，1−3−2型共3种，2−2−2型一种，3−3型一种，由此判定找出答案即可．
【详解】根据题意可得：补上后能够折成无盖的正方体容器的有：④⑤⑥⑦⑧⑨，共6个，故选：D．
【点睛】此题考查正方体的展开图，解决此题的关键是记住正方体展开图的类型1-4-1型，2-3-1型，2-2-2型，3-3型．以及口诀“凹、田应弃之”．
11．（2025·河北沧州·校考二模）如图，不完整的数轴上有A，B两点，原点在A、B之间，沿原点将负半轴折叠到正半轴上，点A落在点B左侧4个单位长度处，则线段的中点表示的数为（ ）

A．2B．C．4D．
【答案】A
【分析】先根据题意画出图形，求出的长即可得出线段的中点表示的数．
【详解】如图，点A落在点处，点C是线段的中点，，

设点A表示的数为，则，∴．∴．
∴．即线段的中点表示的数为2．故选A．
【点睛】本题主要考查了数轴、折叠以及线段的中点问题，准确画出示意图，求出线段中点到原点的距离是解题的关键．
12．（2025·江苏无锡·统考二模）已知一个三角形的三边长分别为3、4、5，将这个三角形绕着最短的边所在直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，高是3，母线为5，然后利用圆锥的侧面积（为底面圆周长）计算即可．
【详解】解：绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥，底面半径是4，高是3，母线为5，∴侧面积为：，故选：C
【点睛】此题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是绕着最短的边即直角边为3所在直线旋转一周得到一个圆锥及圆锥的侧面积（为底面圆周长）．
13.（2025·黑龙江大庆·校考模拟预测）如图是某几何体的展开图，则该几何体的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知，该几何体为圆锥，如图，则 ，，，在中，由勾股定理得，，则几何体的体积，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，该几何体为圆锥，如图，则，，，

在中，由勾股定理得，，
∴几何体的体积，故选：D．
【点睛】本题考查了根据圆锥的展开图求圆锥体积，勾股定理．解题的关键在于确定几何体的形状．
14．（2025·河南周口·校考模拟预测）如图，直线相交于点，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对顶角相等，垂直的定义，结合已知条件得出，解方程，即可求解．
【详解】解：∵，∴
∵，
∴解得：，故选：C．
【点睛】本题考查对顶角相等，垂直的定义，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
15．（2025·山东青岛·统考二模）如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】四个选项中的图都是正方体展开图的“”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻．
【详解】解：四个选项中的图都是正方体展开图的“”结构．由正方体可以看出，有图案的三个面两两相邻；A、C、D选项折成正方体后有图案的面有两个相对，不符合题意；B选项折成正方体后，有图案的三个面两两相邻；
的展开图是 故选：B．
【点睛】正方体展开图“1−4−1”结构，折成正方体后，两个“1”相对，“4”组成侧面，间隔面相邻．关键是明白有图案的三个面两两相邻．
16．（2025·吉林松原·校联考二模）如图，一片树叶标本部分磨损，用剪刀剪下（虚线）磨损的部位，此时，原来树叶标本的周长变小，能解释这一现象的数学道理是 ．

【答案】两点之间，线段最短
【分析】由题意得，如图，虚线比曲线长度短，根据线段的性质即可得出答案．
【详解】解：由题意得，如图，沿着虚线剪掉磨损的部位，相当于用线段取代了原来点和点间的曲线，根据两点之间，线段最短，可得剪掉后树叶标本的周长比原来树叶标本的周长小．
故答案为：两点之间，线段最短．

【点睛】本题考查了线段的性质：两点之间，线段最短，掌握线段的性质是解题关键．
17．（2025·浙江杭州·统考一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 ．
【答案】224
【分析】设展开图的长方形的长为a，宽为b，根据图示中的相关数据列出方程，求出a，b，再根据长方体的体积求解即可；
【详解】解：设展开图的长方形的长为a，宽为b，
则，解得，
∴长方体的体积为：．故答案为：224．
【点睛】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键．
18．（2025·山东烟台·统考二模）七巧板是古代中国劳动人民的发明，是一种古老的中国传统智力游戏，其历史至少可以追溯到公元前一世纪．小明将一个边长为4的正方形制作成一副如图1所示的七巧板，取出其中的六块，拼成了一个（如图2），则的对角线AC的长度为 ．

【答案】
【分析】延长，过点A作于点E，根据七巧板的特点得到，，根据勾股定理求出即可．
【详解】如图所示，延长，过点A作于点E，

根据七巧板的特点可得，，是等腰直角三角形，
∴，∴，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，
∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了七巧板的特点，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握正方形的性质．
19．（2025·浙江·一模）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器，它由“晷面”和“晷针”组成，古人常用的日晷有水平式日晷（图1）和赤道式日晷（图2）．其中水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度且“晷面”与地面平行；赤道式日晷的“晷面”与赤道面平行当太阳光照在日晷上时，晷针的影子就会投向晷面．随着时间的推移，晷针的影子在晷面上慢慢地移动，以此来显示时刻．此外，水平式日晷的“晷面”刻度不均匀，赤道式日晷的“晷面”刻度则是均匀的．

（1）如图1，当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为 °．
（2）如图3，将两种日晷的“晷针”重合，n小时后，两种日晷对应的时刻一致，即两种晷“晷针”的影子所在的直线相交于点．此时与满足的关系式 ．
【答案】
【分析】（1）根据水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度求解即可；
（2）过点作于点，证明，根据平行投影证明，根据，得出即可．
【详解】解：（1）∵水平式日晷的“晷针”与“晷面”的夹角就是其所在位置的地理纬度，
∴当水平式日晷放在纬度为 （即）位置时，晷针与晷面的夹角为；故答案为：；
（2）过点作于点，如图所示：

则，∴，根据题意可知，赤道日晷的晷面与晷针垂直，
∴，∴，∴，∴，
根据平行投影可知，当12点时，点在水平方向的投影为点E，经过n小时后，的投影在上，因此，∵， ∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平移投影的有关知识，解题的关键是数形结合，发挥空间想象能力，根据平行投影得出．
20．（2025·广东深圳·校考模拟预测）在一副三角尺中，，，将它们按如图所示摆放在量角器上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器的刻度线重合．将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间 秒时，两块三角尺有一组边平行．
【答案】3或或或
【分析】分五种情况：当时，当时，当时，当时，当时，利用平行线的性质，分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：将三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时三角尺绕点以每秒的速度顺时针旋转，，，
如图，当时，，
， ，，
，，
，，，解得：；
如图，当时，
，，，
，解得：；
如图，当时，则，
，，，解得：；
如图，当时，则，
， ，
，，
，解得：；如图，当时，则，
，，解得：，
当三角尺的边与刻度线重合时两块三角尺都停止运动，
，故不符合题意；
综上所述：或或或秒时，两块三角尺有一组边平行，
故答案为：3或或或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、旋转的性质，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
21．（2025·浙江温州·校考二模）如图，在中，平分，交边于点E，在边上取点F，连结，使．(1)求证：；(2)当时，求的度数．

【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据平分得到，再由等量代换推出，根据内错角相等，两直线平行即可得证；
（2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数，由平分推出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】（1）证明：∵平分，∴，又，∴，∴；
（2）解：∵，，，
在中，，，
又∵平分，∴，．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和平行线的性质与判定，灵活运用三角形内角和等于和平行线的判定和性质定理是解决问题的关键．
22．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图所示，M是线段AB上一定点，，C，D两点分别从点M，B出发以，的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（点C在线段AM上，点D在线段BM上）．（1）当点C，D运动了时，求的值．
（2）若点C，D运时，总有，则_______．
（3）在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且，求的值．
【答案】（1）6cm；（2）4；（3）或1
【分析】（1）由题意得CM=2cm，BD=4cm，根据AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD可得答案；
（2）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=AB；
（3）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得．
【详解】解：（1）当点C、D运动了2s时，CM=2cm，BD=4cm
∵AB=12cm，CM=2cm，BD=4cm，∴AC+MD=AM-CM+BM-BD=AB-CM-BD=12-2-4=6（cm）；
（2）根据C、D的运动速度知：BD=2MC，∵MD=2AC，∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，
∵AM+BM=AB，∴AM+2AM=AB，∴AM=AB=4，故答案为：4；
（3）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN-BN=MN，又∵AN-AM=MN，∴BN=AM=4，∴MN=AB-AM-BN=12-4-4=4，∴；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN-BN=MN，又∵AN-BN=AB，∴MN=AB=12，∴，综上：的值为或1．
【点睛】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
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1．（2025·山东青岛·统考中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（ ）

A．31B．32C．33D．34
【答案】B
【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答．
【详解】解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6，
由图2可知：要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，
上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6，
能看见的面数字之和为：；
左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6，
能看见的面数字之和为：；
右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6，
能看见的面数字之和为：；
∴能看得到的面上数字之和最小为：，故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键．
2．（2025·贵州贵阳·统考中考真题）如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据圆锥体的立体图形判断即可．
【详解】用平行底面的平面截圆锥体，截面是圆形，故选：B．
【点睛】本题考查了截面图形的判断，具有一定的空间想象力是解答本题的关键．
3.（2025·山东临沂·统考中考真题）下图中用量角器测得的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由图形可直接得出．
【详解】解：由题意，可得，故选：C．
【点睛】本题考查角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
4.（2025·湖南益阳·统考中考真题）下列正方体的展开图中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．
【详解】解：由轴对称图形定义可知：A，B，C不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．
5.（2025·青海·统考中考真题）如图，直线，相交于点O，，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据邻补角可进行求解．
【详解】解：∵，∴，故选：A．
【点睛】本题主要考查邻补角，熟练掌握邻补角是解题的关键．
6.（2025·山东·统考中考真题）如图是一正方体的表面展开图．将其折叠成正方体后，与顶点K距离最远的顶点是（ ）

A．A点B．B点C．C点D．D点
【答案】D
【分析】根据题意画出立体图形，即可求解．
【详解】解：折叠之后如图所示，则K与点D的距离最远，故选D．

【点睛】本题考查了正方体的展开与折叠，学生需要有一定的空间想象能力．
7．（2025·湖北宜昌·统考中考真题）如图，小颖按如下方式操作直尺和含角的三角尺，依次画出了直线a，b，c．如果，则的度数为（ ）．

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可求，由，即可求解．
【详解】解：如图，

由题意得：，，，
，，，故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，三角形外角定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
8．（2025·辽宁盘锦·统考中考真题）如图，直线，将一个含角的直角三角尺按图中方式放置，点E在上，边、分别交于点H、K，若，则等于（ ）．

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行的性质可得，再根据四边形内角和为可得，问题随之得解．
【详解】∵，，∴，
∵，，，∴，
∵，∴，故选：B．
【点睛】本题主要考查平行的性质以及四边形内角和为，掌握四边形内角和为是解答本题的关键．
9．（2025·甘肃兰州·统考中考真题）如图，直线与相交于点O，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用对顶角相等得到，即可求解．
【详解】解：读取量角器可知：，∴， 故选：B．
【点睛】本题考查了对顶角相等，量角器读数，是基础题．
10．（2025·浙江金华·统考中考真题）如图，已知，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由可得，可得，再利用邻补角的含义可得答案．
【详解】解：如图，标记角，

∵，∴，而，
∴，∴；故选C
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的含义，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键．
11．（2025·山东潍坊·统考中考真题）下列命题正确的是（ ）（多选题）
A．在一个三角形中至少有两个锐角 B．在圆中，垂直于弦的直径平分弦
C．如果两个角互余，那么它们的补角也互余 D．两条直线被第三条直线所截，同位角一定相等
【答案】AB
【分析】根据三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、在一个三角形中至少有两个锐角，原命题正确，则此项符合题意；
B、在圆中，垂直于弦的直径平分弦，原命题正确，则此项符合题意；
C、设与互余，，，
∴如果两个角互余，那么它们的补角也互余，命题错误，则此项不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同位角一定相等，原命题错误，则此项不符合题意；故选：AB．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、垂径定理、互余与互补、平行线的性质，熟练掌握各定理和性质是解题关键．
12．（2025·江苏·统考中考真题）将直角三角板和直尺按照如图位置摆放，若，则的度数是（ ）．

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵直尺的两边平行，∴，
又∵，∴，故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的外交的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
13．（2025·广西桂林·统考中考真题）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2cm，则AB＝ cm．
【答案】4
【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4cm．
【详解】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4（cm），故答案为：4．
【点睛】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
14.（2025·山东烟台·统考中考真题）一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】根据两直线平行，内错角相等，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意，，∴，
∵，，∴∴．故答案为：．

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
15.（2025·江苏镇江·统考中考真题）如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角是，第二次的拐角是 °．

【答案】
【分析】根据两次转弯后方向不变得到，即可得到．
【详解】解：∵一条公路经两次转弯后，方向未变，
∴转弯前后两条道路平行，即，∴．故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的性质，由题意得到是解题的关键．
16．（2025·湖北恩施·中考真题）如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则 ．
【答案】
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C=∠4=，利用平行线的性质得到∠1=∠3=，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】如图，延长CB交于点D，∵AB=BC，∠C=，∴∠C=∠4=，∵，∠1=，∴∠1=∠3=，
∵∠C +∠3+∠2+∠4 =，即∴故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．
17．（2025·江西·统考中考真题）沐沐用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为 ．
【答案】
【分析】根据图形可得长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，然后利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：根据图形可知：长方形的长是正方形的对角线为2，长方形的宽是正方形对角线的一半为1，∴根据勾股定理可知，长方形的对角线长：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是所拼成的正方形的特点确定长方形的长与宽．
18．（2025·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，直线，直线分别与，交于点，，小明同学利用尺规按以下步骤作图：

（1）点为圆心，以任意长为半径作弧交射线于点，交射线于点；
（2）分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
（3）作射线交直线于点；若，则 度．
【答案】58
【分析】由作图得平分，再根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”易得，即可获得答案．
【详解】解：由作图得：平分，∴，
∵，∴，∴．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图以及平行线的性质，由作图得到平分是解题关键．
19．（2025·浙江温州·统考中考真题）如图，是的角平分线，在上取点，使．
（1）求证：．（2）若，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）35°
【分析】（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出，即可完成求证；
（2）先求出∠ADE，再利用平行线的性质求出∠ ABC，最后利用角平分线的定义即可完成求解．
【详解】解：（1）平分，．
，，，．
（2），，．
．．
平分，，即．
【点睛】本题综合考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质等内容，解决本题的关键是牢记概念与性质，本题的解题思路较明显，属于几何中的基础题型，着重考查了学生对基本概念的理解与掌握．
20．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，AC是四边形ABCD的对角线，∠1＝∠B，点E、F分别在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，连接EF．（1）求证：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）78°．
【分析】（1）由“SAS”可证△BEF≌△CDA，可得∠D＝∠2；
（2）由（1）可得∠D＝∠2＝78°，由平行线的性质可得∠2＝∠BAC＝78°．
【详解】证明：（1）在△BEF和△CDA中，
，∴△BEF≌△CDA（SAS），∴∠D＝∠2；
（2）∵∠D＝∠2，∠D＝78°，∴∠D＝∠2＝78°，
∵EF∥AC，∴∠2＝∠BAC＝78°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质．证明△BEF≌△CDA是解题的关键
21．（2025·湖北黄石·中考真题）如图，．
（1）求的度数；（2）若，求证：．
【答案】（1）∠DAE=30°；（2）见详解．
【分析】（1）根据AB∥DE，得出∠E=∠CAB=40°，再根据∠DAB=70°，即可求出∠DAE；
（2）证明△DAE≌△CBA，即可证明AD=BC．
【详解】（1）∵AB∥DE，∴∠E=∠CAB=40°，
∵∠DAB=70°，∴∠DAE=∠DAB-∠CAB=30°；
（2）由（1）可得∠DAE=∠B=30°，
又∵AE=AB，∠E=∠CAB=40°， ∴△DAE≌△CBA（ASA），∴AD=BC．
【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出∠DAE的度数是解题关键．