（人教A版）必修一高一数学上册期末模拟卷01（2份，原卷版+教师版）

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1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接根据交集的运算即可得结果.
【详解】因为，，所以，故选：A.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知结合求得即可求出.
【详解】因为，，
则可解得，所以.故选：A.
3．已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用换元法求解函数解析式.
【详解】令，则，；所以.故选：D.
4．已知实数a，b，c满足，，那么下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得，然后利用不等式的性质逐个分析判断即可
【详解】因为实数a，b，c满足，，所以，
对于A，因为，所以，因为，所以，所以A错误，
对于B，若，则，因为，所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，因为，所以，所以D错误，
故选：C
5．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合对数函数与指数函数的单调性，即可求解.
【详解】因为函数在上单调递增，则，即，所以；因为函数在单调递增，则，所以；因为函数在上单调递减，则，所以，综上，.故选：A.
6．设函数的最小正周期为，若，且函数的图像关于点中心对称，将的图像向左平移个单位后关于y轴对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由周期范围求得的范围，由对称中心求解与值，可得函数解析式，然后根据平移得解析式，根据平移后的函数是偶函数，即可求解.
【详解】函数的最小正周期为，则，由，得，，的图像关于点，中心对称，，且，则，．
，，取，可得．，将的图像向左平移个单位后得到，由于是偶函数，所以，，令，故的最小值为故选：B
7．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，写出函数解析式，由奇偶性和单调性，解不等式.
【详解】由题意，，由，
则函数为奇函数，即
，因，易知其为增函数，
则，解得或，故选：D.
8．若函数在上是单调函数，且存在负的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过函数的单调性及存在负的零点，列出不等式，求解即可．
【详解】因为当时，，所以函数必然单调递增.
所以，解得所以a的取值范围是.故选：C
选择题：
9．已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D.
【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确；对于C：因为，所以，，
所以，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：BCD
10．函数的图像如图，把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图像，下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数的单调递减区间为，
C．函数在区间上单调递增
D．直线是函数的一条对称轴
【答案】BC
【分析】结合图像根据周期分析可得，图像过点，代入求解并检验可得，根据图像平移，对于B：结合正弦函数递减区间可得，计算判断；对于C：以为整体，结合正弦函数分析判断；对于D：根据正弦型函数性质，对称轴处取到最值，代入检验．
【详解】根据图形可得：，则，∴图像过点，即
∵，则或当时，不是最大值，不合题意
当时，，符合题意，则，A错误；
，
，则
∴函数的单调递减区间为，，B正确；
∵，则∴函数在区间上单调递增，C正确；
不是最值，D错误；故选：BC．
11．已知函数对任意都有，若函数的图象关于对称，且对任意的，且，都有，若，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．的图象关于点对称 D．
【答案】ABCD
【分析】由已知判断函数的周期性、对称性、单调性，对选项逐一判断
【详解】对于A，由函数的图象关于对称，根据函数的图象变换，
可得函数的图象关于对称，所以函数为偶函数，故 A正确；
对于B，由函数对任意都有，可得，所以函数是周期为4的周期函数，因为，可得，则，故B正确；
对于C，因为函数为偶函数，即，所以，
可得，所以函数关于中心对称，故C正确；
对于D，由对任意的，且，都有，可得函数在区间上为单调递增函数，又因为函数为偶函数，故函数在区间上为单调递减函数，故，故D正确.
故选：ABCD
三．填空题
12．已知奇函数满足，，若当时，，则______．
【答案】
【分析】由，可得是以周期为的周期函数，由奇函数的性质以及已知区间上的解析式可求值，从而计算求解.
【详解】因为，即是以周期为的周期函数. 为奇函数且当时，， ，当时，
所以故答案为：
13．已知定义在上的函数满足，且当时，，若的值域为，则实数的取值范围为________．
【答案】
【分析】由可得关于对称，再分析得当时，的值域包含即可
【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，
故当时，，又由可得关于对称，且由可得，故只需包含区间即可，故，故故答案为：
14．已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________．
【答案】
【分析】确定函数的，由此可得，再利用在区间 上恰有个零点得到，求得答案.
【详解】由已知得：恒成立，则 ，
，由得，由于在区间 上恰有3个零点，故，则， ，
则,只有当时，不等式组有解，此时，故，
故答案为：
四．解答题：
15．已知函数．
(1)求的单调递增区间；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)，；(2)，．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式对函数化简变形可得，再由，可求出函数的增区间，
（2）由，得，再根据正弦函数的性质可求得答案
(1)．
令，，解得，，
即的单调递增区间为，．
(2)因为，所以，则，，
解得，，即不等式的解集为，．
16．（1）已知，且，求的最小值；
（2）已知是正数，且满足，求的最小值.
【答案】（1）16；（2）9.
【分析】（1）由基本不等式可得，从而即可求解；
（2）由基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：（1）因为，
所以由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为；
（2）因为是正数，且满足，
所以由基本不等式可得，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.
17．已知幂函数为偶函数，
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在上的最大值为1，求实数的值.
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）幂函数的系数为1，代入求出两种可能值，再根据函数奇偶性判断即可；
（2）二次函数性质，结合对称轴公式，动轴定区间分类讨论即可得解.
(1)因为为幂函数 所以
因为为偶函数 所以 故的解析式.
(2)由（1）知，
当即时，，即
当即时，即
综上所述：或
18．已知，命题：函数至少有一个零点；命题：函数为上的增函数．
（1）若“且”为假命题，“或”为真命题，试求实数的取值范围；
（2）记（1）中的取值范围为集合，集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）;（2）或
【分析】（1）对进行分类讨论，求出当命题、为真时的取值范围，再根据命题的真假得到，不等式组，即可得到答案；
（2）将问题转化为集合间的真子集关系，从而得到不等式组，即可得到答案；
【详解】（1）当时，函数有一个零点，则真，
当且，则真，综上则命题为真时，；
若命题为真时，则，
“且”为假命题，“或”为真命题，、一真一假，
或或解得：.
（2）由题意得：，，
“”是“”的必要不充分条件，是的真子集，
当时，；
当时，；
综上所述：或
19．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.
(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到50米？
(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值.
【答案】(1)(2)(3)最大值为米
【分析】对于小问1，根据离地面的最大值米、最小值米和周期为分钟，求出、、，再代入点解得.对于小问2，令，解出即得答案.对于小问3，根据题意，计算甲乙二人时间差，得到二人距离地面的高度表达式、，写出两人距离地面的高度差为米，由时间的取值范围，化简求出最大值.
(1)由题意，（其中）
摩天轮的最高点距离地面为米，最低点距离地面为米，
所以，得，又函数周期为分钟，所以，
又，所以，又，所以，
所以.
(2)，
所以，整理，因为，所以，
所以,解得（分钟）.
(3)经过分钟后甲距离地面的高度为，乙与甲间隔的时间为分钟，
所以乙距离地面的高度为，
所以两人离地面的高度差
当或时，即或分钟时，取最大值为米.