数学试题-2026届东北三省一区八校联合体高三上学期开学第一次模拟考试试题及答案

这是一份数学试题-2026届东北三省一区八校联合体高三上学期开学第一次模拟考试试题及答案，共4页。试卷主要包含了 已知、，则的最小值是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数、、满足，，，则复数在复平面对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知非零实数不全相等，给出下面两个命题．命题p：若成等差数列，则也成等差数列；命题q∶ 若成等比数列，则也成等比数列，则（ ）
A. 命题p和q均为真命题B. 命题p和命题均为真命题
C. 命题和命题q均为真命题D. 命题和命题均为真命题
3. 已知是钝角，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知、，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6. 用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器的容积最大值是（ ）
A. B. C. D.
7. 7名教师甲、乙、丙、丁、戊、己、庚带领学生参加“探秘未知”活动，教师随机分为4组，每组至少一人，则甲乙同组且丙丁同组的概率为（ ）
A B. C. D.
8. 已知，其中c>0，则当最小时，c值为（ ）
A. B. C. D.
二､选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（ ）
A. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好
B. 若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差
C. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差
D. 若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差
10. 在斜三角形中，下列结论可能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 下面的图形由铰接的薄片构成，固定某一些点会导致所有两杆固定，则下列选项说法正确的是（ ）
A. 若固定，则所有连杆固定B. 若固定，则所有连杆固定
C. 若固定，则所有连杆固定D. 若固定，则所有连杆固定
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知集合，，，则的取值范围是______
13. 函数过原点切线方程为________．
14. 设正整数数列满足，则的前项中偶数的个数是_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，三角形中，，，点在线段上，点在线段上，满足，，点、分别为、中点．
（1）证明：、、三点共线；
（2）现将三角形沿翻折至三角形，得到四棱锥，若，，连接，求平面与平面夹角的正弦值．
16. 在斜三角形中，.
（1）设为三角形内心，当时，求的最小值；
（2）是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明之；若不存在，请给出理由．
17. 已知双曲线的焦距为4，左右焦点分别为，若点P为双曲线C上一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，四边形的面积为．设点分别为双曲线的左右顶点，过点的直线与双曲线交于点（不同于点．设直线与交于点G，直线与交于点H，双曲线在点处的切线交于点R．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）试探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．
18. 在一个不透明的袋子中，装有个形状大小相同、颜色互不相同的小球，某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记录摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸取到的小球颜色．
（1）求某种特定颜色两次都被记下的概率；
（2）设第一次摸出个球，两次摸球后，恰有种颜色两次都被记下．
①求的分布列；②当时，求．
19. 已知函数有三个零点，满足．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若为上任意个实数，，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”．也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”．若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”．也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”．这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式，请根据以上材料，回答下面的问题．
（i）若函数为凸函数，求b取值范围；
（ii）证明∶．