2024-2025学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线y=−2的倾斜角为( )
A. π2B. 0C. π4D. −π2
2.已知空间向量a=(1,3,−2)，b=(m,2,m+1)分别是平面α，β的法向量，且α⊥β，则m的值为( )
A. −6B. −4C. 4D. 6
3.已知等差数列{an}中，a3=1，公差d=12，则a2与a6的等比中项是( )
A. 3B. 32C. 52D. ± 52
4.已知m，n是方程x2+ 6x−2=0的两个不等实数根，则点P(m,n)与圆C：x2+y2=8的位置关系是( )
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 无法确定
5.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面AB1D1与平面ABCD的夹角的正切值为( )
A. 2
B. 1
C. 22
D. 3
6.已知点P是抛物线y=14x2上的动点，定点A(1,0)，则P到点A的距离与P到x轴的距离之和的最小值为( )
A. 2−1B. 12C. 3−1D. 22
7.定义：对任意n∈N∗，都有an+an+1=c(c为常数)，称数列{an}为“等和”数列.设“等和”数列{an}的首项为a1，直线kx−(y+k)+2=0(k∈R)过定点P(a1,a2)，则n=12025an=( )
A. 2025B. 2562C. 3036D. 3037
8.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A=−23F2B，则C的离心率为( )
A. 66B. 55C. 12D. 23
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数x，y满足圆的方程(x−1)2+y2=14，则( )
A. 圆心(−1,0)，半径为12B. x的最大值为32
C. x2+(y−1)2的最大值为 2+12D. x−y2的最大值为12
10.平行六面体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，AA1=AB=1，∠A1AB=∠A1AD=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，则下列说法正确的是( )
A. AC1= 5 B. BO1=12AB−12AD+AA1
C. 四边形B1BDD1的面积为 2 D. 若AM=53AO+13AO1−AB1，则点M在平面B1BDD1内
11.数列{an}的前n项和为Sn，若数列{an}的各项按如下规律排列：12,13,23,14,24,34,15,25,35,45,⋯,1n,2n,⋯n−1n,⋯，则下列结论正确的是( )
A. a23=14
B. 若ak>ak+1，则k=n(n+1)2，n∈N∗
C. 数列a1，a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9+a10，⋯的前n项和为Tn=n2+n4,n∈N∗
D. 若存在正整数k，使Sk0,b>0)的离心率为 103，A，B分别为其左、右顶点，点(3 2,1)在C上.P为直线x=2上的动点，PA与双曲线C的另一交点为M，PB与双曲线C的另一交点为N．
(1)求双曲线C的方程；
(2)证明：直线MN过定点．
19.(本小题17分)
在信息论中，熵(entrpy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵、信源熵、平均自信息量.1948年，克劳德⋅艾尔伍德⋅香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯⋅麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.对于正整数n，定义n的信息熵H(n)=−i=1nailg2ai，(i=1nai=1,00，
将点P(2,4)代入可得42=2p×2，解得p=4，
此时抛物线为y2=8x，准线为x=−2；
当抛物线开口向上时，设为x2=2py，p>0，
将点P(2,4)代入可得22=2p×4，解得p=12，
此时抛物线为x2=y，准线为y=−14．
综上，抛物线为y2=8x，准线为x=−2或抛物线方程为x2=y，准线为y=−14．
(2)根据题意，因为点Q在第四象限，所以抛物线为y2=8x，准线为x=−2．
画出图象为：
由题意可知k2存在，k1=4−02−0=2，因为k1+2k2=0，所以k2=−1．
设点Q(y028,y0)，所以k2=y0−4y028−2=−1，解得y0=4(舍去)或y0=−12．
直线PQ的方程为y−4=−(x−2)，即x+y−6=0．
所以A点的坐标为(6,0)．
所以△OPQ的面积为S△OPQ=S△OPA+S△OQA=12×6×(4+12)=48．
17.(1)证明：若E是PD的中点，连接EM，AE，又M为PC中点，则EM//CD，EM=12CD，
由AB//CD且AB=12CD，所以AB//EM，AB=EM，
所以四边形ABME为平行四边形，则AE//BM，
AE⊂平面PAD，BM⊄平面PAD，
则BM//平面PAD；
(2)由PD⊥平面ABCD，即PD⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，则PD⊥AB
由AD⊥CD，AB//CD，则AD⊥AB，AD∩PD=D且都在平面PAD内，
所以AB⊥平面PAD，
易知P−ABD是长宽高分别为AB，AD，PD的长方体的一部分，
所以PB为长方体的体对角线，且P−ABD与该长方体的外接球重合，
故PB= 42+22+42=6，
所以外接球半径R=PB2=3，
则外接球的体积为43πR3=36π；
(3)构建如图示的空间直角坐标系D−xyz，
则B(4,2,0)，M(0,2,2)，N(n,0,4−n)且0