2025-2026学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年湖南省长沙市长郡中学高二（上）入学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={1,a}，B={2a−3,2}，若A=B，则实数a=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
2.已知复数z=2i1+i，则|z−|=( )
A. 1+iB. 1−iC. 2D. 2
3.设α，β是两个不同的平面，m是直线，且m⊂α.“m//β”是“α//β”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=|4−x|⋅(x−1)的单调递减区间为( )
A. (52,4)B. (1,4)
C. (−∞,4)D. (−∞,52)，(4,+∞)
5.为了得到函数y=9x的图象，只需把函数y=3x的图象上所有点的( )
A. 横坐标变为原来的12倍(纵坐标不变)B. 横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)
C. 纵坐标变为原来的13倍(横坐标不变)D. 纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)
6.已知O为圆心，点A是圆O上一点，点P是圆O内部一点.若|OA|=2，且OA⋅AP=−2，则|OA+OP|的最小值为( )
A. 1B. 32C. 2D. 3
7.(sin50°+sin70°)21+cs20∘的值为( )
A. 1B. 12C. 32D. 2
8.若b>1，a∈R，且ea+2lnb=1b−a，则( )
A. a2bC. ea>b−1D. ea>b−2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设A，B为两个随机事件，以下命题正确的是( )
A. 若A，B是对立事件，则P(AB)=1
B. 若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1
C. 若A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=16
D. 若A，B是互斥事件，P(A)=14,P(B)=13，则P(A∪B)>12
10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为1，P是A1D上的一个动点，下列结论正确的是( )
A. 当点P在直线A1D上运动时，一定有C1P⊥BD1
B. 当点P在直线A1D上运动时，三棱锥B1−ACP的体积不变
C. PA+PC的最小值为 2− 2
D. 以点B为球心， 22为半径的球面与平面AB1C的交线长为 63π
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为12，a=6，则下列说法正确的是( )
A. 若csB=2 55，则sinA=35B. △ABC外接圆直径2R的最小值为254
C. cb+bc的值可以为92D. cb+2bc的值可以为92
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)=lg22x−1，则f(−2)= ______．
13.已知三棱锥A−BCD的底面是以BD为斜边的直角三角形，AB⊥平面BCD且AB=BD，设三棱锥A−BCD的体积为V1，则三棱锥A−BCD的外接球体积V2与V1之比的最小值是______．
14.已知向量e=(1,0)，a=(1,n)，25b=a+24e，则当tan取得最大值时，|n|=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为AE的中点．
(1)求证：CE//平面BDF；
(2)求三棱锥E−BDF的体积．
16.(本小题15分)
为完善学校体育教学模式，提高学生体育与健康素养，现对某校3000名高中学生每天的运动时间进行调查，随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间(单位：分钟)的频率分布直方图，将每天平均运动时间不低于85分钟的学生称为“运动爱好者”．
(1)试求频率分布直方图中的a值和该校学生中“运动爱好者”的人数；
(2)在抽取的100名学生中，随机选取了10名学生的每天平均运动时间(单位：分钟)：x1，x2，x3，…，x10，已知这10个数的平均数x−=20，方差s2=25，若剔除其中的20和12这两个数，求剩余8个数的平均数与方差．
17.(本小题15分)
如图，在平面凸四边形ABCD中，tan∠ABD+tan∠ADB=2sin∠BADcs∠ABD．
(1)求∠ADB；
(2)若AD=BD=4,∠ACB=∠BDC=π6，求CD．
18.(本小题17分)
甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场比赛轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都是12．
(1)试指出丙最终获胜的概率与13的大小关系(不需给出理由)；
(2)求通过四场比赛决出胜负且甲最终获胜的概率；
(3)求丙最终获胜的概率．
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，平面PAC⊥平面PBC．
(1)求证：BC⊥AC；
(2)若PA= 2，AC=BC=2，M是PB的中点，N，F分别在线段BC，AM上移动．
①求PB与平面PAC所成角的正切值；
②若FN//平面PAC，求线段FN长度取最小值时二面角F−BC−A平面角的正切值．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：因为集合A={1,a}，B={2a−3,2}，且A=B，
所以a=2．
故选：C．
根据集合相等的定义求解．
本题主要考查了集合相等的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：复数z=2i1+i，
则|z−|=|z|=|2i1+i|=|2i||1+i|=2 2= 2．
故选：C．
由复数的模长公式即可得解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：当m//β时，过m的平面α与β可能相交与可能平行，
故“m//β”是“α/​/β”的充分性不成立，
当α/​/β时，α内任一直线与β平行，
∵m⊂α，
∴m//β，
故“m//β”是“α/​/β”的必要不充分条件．
故选：B．
根据已知条件，依次判断充分性与必要性，即可求解．
本题主要考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=|4−x|⋅(x−1)=x2−5x+4,x≥4−x2+5x−4,x