2026中考数学《重难点解读+专项训练》专题02 二次函数与将军饮马最值问题（学生版+名师详解版）

这是一份2026中考数学《重难点解读+专项训练》专题02 二次函数与将军饮马最值问题（学生版+名师详解版），共15页。
【专题说明】
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等 一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
【知识点梳理】
考点1：两条线段和最小值问题
一）、已知两个定点一个动点：（对称轴为：动点所在的直线上）
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：

（2）点A、B在直线同侧：


A’ 是关于直线m的对称点。
考点2：三条线段和最小值问题
在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：



（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
考点3：两条线段差最大值问题
求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)
基本图形解析：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【典例分析】
【考点1 两条线段和最小值问题】
【典例1】（2023秋•东莞市校级期末）已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；
【变式1】（2023•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
【考点2两条线段和最小值问题】
【典例2】（2025•恩施州模拟）如图1，已知抛物线．点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．
（1）直接写出h，k的值；
（2）如图1，若点D的坐标为（3，m），点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【变式2】（2025•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
【考点3两条线段差最大值问题】
【典例3】（2024秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？
【变式1】（2024•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
专题02 二次函数与将军饮马最值问题（知识解读）
【专题说明】
“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等 一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
【知识点梳理】
考点1：两条线段和最小值问题
一）、已知两个定点一个动点：（对称轴为：动点所在的直线上）
1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；
（1）点A、B在直线m两侧：

（2）点A、B在直线同侧：


A’ 是关于直线m的对称点。
考点2：三条线段和最小值问题
在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
（1）两个点都在直线外侧：



（2）一个点在内侧，一个点在外侧：
（3）两个点都在内侧：
（4）、台球两次碰壁模型
变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
考点3：两条线段差最大值问题
求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)
基本图形解析：
1、在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；
（1）点A、B在直线m同侧：
解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。
（2）点A、B在直线m异侧：
解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’
【典例分析】
【考点1 两条线段和最小值问题】
【典例1】（2023秋•东莞市校级期末）已知，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，﹣3），M为顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上找一点P，使得PA+PC的值最小，并求出P的坐标；
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把C（0，﹣3）代入得a×（0+1）×（0﹣3）＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3），
即y＝x2﹣2x﹣3；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B关于直线x＝1对称，
连接BC交直线x＝1于P点，则PA＝PB，
∵PA+PC＝PB+PC＝BC，
∴此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（3，0），C（0，﹣3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，则满足条件的P点坐标为（1，﹣2）；
【变式1】（2023•赤峰）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值；
【解答】解：（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故函数的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A（﹣1，0）；
（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点C′，连接CD′交x轴于点E，则此时EC+ED为最小，
函数顶点D坐标为（1，4），点C′（0，﹣3），
将C′、D的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线C′D的表达式为：y＝7x﹣3，
当y＝0时，x＝，
故点E（，0），
则EC+ED的最小值为DC′＝；
【考点2两条线段和最小值问题】
【典例2】（2025•恩施州模拟）如图1，已知抛物线．点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，是抛物线与y轴的交点，D为抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为点C．
（1）直接写出h，k的值；
（2）如图1，若点D的坐标为（3，m），点Q为y轴上一动点，直线QK与抛物线对称轴垂直，垂足为点K．探求DK+KQ+QC的值是否存在最小值，若存在，求出这个最小值及点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，2）在抛物线的对称轴上，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴h＝1，
∴y＝（x+1）2+k，
∵是抛物线与y轴的交点，
∴+k＝，
∴k＝1；
（2）存在最小值，理由如下：
由（1）可知y＝（x+1）2+1，
作C点关于直线x＝﹣的对称点C'，连接C'D交抛物线对称轴于点K，连接CQ，
由对称性可知C'K＝CQ，
∴CQ+KQ+KD＝C'K+KD+KQ≥C'D+KQ，
当C'、K、D三点共线时，CQ+KQ+KD的值最小，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴KQ＝1，
∵D（3，5），CD⊥x轴，
∵C（3，0），
∴C'（﹣4，0），
∴C'D＝，
∴CQ+KQ+KD的最小值为+1，
设直线C'D的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+，
∴K（﹣1，），
∴Q（0，）；
【变式2】（2025•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．
（1）直接写出A，B，C三点的坐标；
（2）求CP+PQ+QB的最小值；
【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；
（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：
∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，
∴四边形CC'QP是平行四边形，
∴CP＝C'Q，
∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，
∵B，Q，C'共线，
∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，
∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，
∴C'（0，3），
∵B（4，0），
∴BC'＝＝5，
∴BC'+PQ＝5+1＝6，
∴CP+PQ+BQ最小值为6
【考点3两条线段差最大值问题】
【典例3】（2024秋•椒江区校级月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点T为对称轴直线x＝2上一点，则TC﹣TB的最大值为多少？
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3）＝ax2+bx+3，
解得a＝1，
故抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3①；
（2）点B关于函数对称轴的对称点为点A，连接CA交函数对称轴于点T，则点T为所求点，
则TC﹣TB＝TC﹣TA＝AC为最大，
故TC﹣TB的最大值为AC＝＝，
故答案为；
【变式1】（2024•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．
（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），
∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，
∴点P在直线x＝上，
∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，
此时点P为直线AC与直线x＝的交点，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴P（，﹣5）