江西省宜春市2025届高三数学下学期二模试题含解析

这是一份江西省宜春市2025届高三数学下学期二模试题含解析，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求有意义时的范围，可得，求不等式的解集可得，根据交集的定义求结论.
【详解】由有意义可得，
所以，
不等式可化为，
所以不等式的解集为，
所以，
故选：A.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件，结合复数运算法则求，再根据共轭复数定义求.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：B.
3. 已知向量，若，则实数的值为（ ）
A. 4B. 或1C. D. 4或
【答案】B
【解析】
【分析】将平方化简得，然后利用数量积的坐标公式列式计算即可.
【详解】将两边平方，得，
由得，
即，解得或1.
故选：B.
4. 已知一组数据，，，，的分位数是，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的定义将条件转化为五个数中第二大的数是，再求解.
【详解】因为，
所以数据，，，，的分位数为五个数中第二大的数，
由已知数据，，，，中第二大的数是，所以.
故选：C.
5. 记的展开式中的系数为，常数项为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】先根据多项式乘法法则求出展开式中的系数和常数项，再根据、的表达式分析各选项．
【详解】将看作．
分别分析各项对系数的贡献：展开式中的系数为，的系数为，的系数为，常数项为．
对于 ．
中的系数为，常数项为．
要得到，有以下几种情况：
中取，中取，中取常数项，此时系数为．
中取，中取，中取，此时系数为．
中取，中取，中取，此时系数为．
将上述系数相加可得．
常数项是由、、中的常数项相乘得到，即．
对于A选项：若，即，解得．当时，，所以A选项错误．
对于B选项：若，即．
因为恒成立，所以，解得．当时，，所以B选项正确．
对于C选项：若，即，解得．当时，，所以C选项错误．
对于D选项：若，即．因为恒成立，所以，解得或．当时，，所以D选项错误．
故选：B．
6. 将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出将个球放到个不同盒子中，每个盒子至少放个球的总放法数，再求出编号为，，的球所放盒子各不相同的放法数，最后根据古典概型概率公式计算概率．
【详解】将个球分成组，有两种分法：1，1，3和2，2，1．
按1，1，3分组，共有种分法；
再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法．
根据分步乘法计数原理，此时共有种放法．
按2，2，1分组，共有种分法；再将分好的组全排列，放入个不同的盒子，有种放法．根据分步乘法计数原理，此时共有种放法．
由分类加法计数原理，总放法数为种．
先将编号为，，的球放入个不同的盒子，有种放法；
再将编号为，的球放入这个盒子，每个球都有种放法，根据分步乘法计数原理，共有种放法．
根据分步乘法计数原理，编号为，，的球所放盒子各不相同的放法数为种．
根据古典概型概率公式，可得所求概率．
故选：C．
7. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正、余弦定理和三角的恒等变换的化简计算即可求解.
【详解】由题意知，，
由余弦定理得，
由正弦定理得，
即，
.又，
所以，得，所以，
所以
故选：A
8. 若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不等式可化为，利用导数求函数，的单调性，由此可得恒成立，再利用导数求的最小值，由此可求结论.
【详解】不等式可化为，，又，
所以，故，
由已知不等式在上恒成立，
因为有意义，故，又，所以，
当时，不等式恒成立，
设，，
则，
因为，所以，
所以函数在上单调递增，
所以，故，
令，则，
令，可得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，
故，
所以，
所以的取值范围为
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数是偶函数B. 函数的图象关于直线对称
C. 的最小值为D. 在上单调递减
【答案】BD
【解析】
【分析】利用两角和差余弦公式化简，进而由三角函数的奇偶性可判断A，由三角函数的对称性可判断B，由三角函数的最值可判断C，由三角函数的单调性可判断D.
【详解】，
不是偶函数，故A错误；
令，则，当时，，
所以是函数的对称轴，故B正确；
，故C错误；
令，则，
当时，，故在上单调递减，故D正确.
故选：BD.
10. 如图所示立体图形为正八面体，其棱长为1，为线段上的动点（包括端点），则（ ）
A.
B.
C. 当时，直线与直线的夹角为
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据锥体的体积公式计算即可判断A；当三点共线时取到最小值，结合余弦定理计算即可判断B；建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线角即可判断C；利用空间向量数量积的坐标表示计算即可判断D.
【详解】A：由题意知，该正八面体由两个正四棱锥组成，
易知正四棱锥的高为，
所以该正四棱锥的体积为，
所以该正八面体的体积为，故A错误；
B：将展开铺成一个平面，如图，
当三点共线时，取到最小值，
此时在中，，
由余弦定理得，
即，故B正确；
C：建立如图空间直角坐标系，
则，
设，，
得，则，
所以，
由，得，
解得，即点与点重合，
此时.
设直线与的夹角为，则，
解得，故C正确；
D：由选项C知，，
所以，
由，知，即，故D错误.
故选：BC
11. 已知函数，对任意，均有，且，为的导函数，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意，合理赋值判断函数和的奇偶性和周期性，结合选项计算即可求解.
【详解】，
令，得，解得；
令，则，又，
所以，得，
对于任意的都成立，所以为奇函数，故B错误；
令，得①，
把换成，得②，
又为奇函数，所以，又，
所以①②得，故D正确；
令，得，
所以，又，
所以，则，
所以函数的周期为4，得，故A正确；
，等式两边同时对求导，
得，
令，得，即③，
由，得，所以为偶函数，
由，得，
所以，所以函数的周期为4.
令，由③得，
同理可得，
所以，故C正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在处的切线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义计算即可求解.
【详解】由题意得，
所以，又，
该切线方程为，即.
故答案为：
13. 若，，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件，利用余弦的和差角公式得到，再利用的范围及的性质，即可求解.
【详解】因为，
所以，则，
整理得到，
又因为，当时，，不合题意，
当时，，则，
所以，，
由，得到，解得，
故答案为：.
14. 已知椭圆的左右焦点分别为，，且该椭圆与抛物线相交于不同的两点，，且四边形的外接圆直径为，若，则该椭圆的离心率的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用椭圆与抛物线的对称性分析得四边形的外接圆就是的外接圆，再利用正弦定理求得，再利用椭圆中焦点三角形的性质得到的取值范围，从而得到关于a,b,c的齐次不等式，解之即可得解.
【详解】如图，由椭圆与抛物线的对称性知点关于y轴对称，
四边形是等腰梯形，易知四边形的外接圆就是的外接圆，
设四边形的外接圆半径为.
在中，由正弦定理知，
记椭圆的上顶点为，坐标原点为，
易知，又，则，，
，即为锐角，
，
又
又，，则，
所以，
所以，则，即，
则椭圆的离心率的取值范围是.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：
①求出，代入公式；
②只需要根据已知条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e（e的取值范围）．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记数列的前项和为，其中，，对任意的，有.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）由条件可得当时，与原式相减化简可得，由原式取可求，结合等差数列定义，可求结论；
（2）当时，由关系结合等差数列求和公式可求，验证否满足所得关系，由此可求结论.
【小问1详解】
因为，
所以当，时，，
两式相减可得，，
所以，
所以数列从第二项起是公差为的等差数列，
在中取可得，
因，所以，，
所以，
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
所以，
当时，，
所以.
16. 为了让广大游客全方位领略宜春的冬趣之乐，在海拔1600米的明月山冰雪体验中心，游客们在这里滑雪、戏雪，享受刺激的冰雪运动，感受冬日别样的欢乐与激情。为提升服务品质，明月山冰雪体验中心随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示：
（1）是否有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关？
（2）冰雪体验中心招募初学者进行滑雪培训，对4个基本滑雪动作（站姿、滑行、转弯、刹车）进行指导.根据统计，每位初学者对站姿、滑行、转弯、刹车这4个动作达到熟练的概率分别为，，，，且4个基本滑雪动作是否达到熟练相互独立.若这4个基本滑雪动作至少3个达到熟练，则可称为滑雪入门.
（i）求初学者滑雪入门的概率；
（ii）现有一旅行团到宜春明月山冰雪体验中心游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为初学者，每个人滑雪条件相当，令为滑雪入门的人数，求，并求这30人中多少人滑雪入门的概率最大.
附：，其中.
【答案】（1）有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关.
（2）（i）；（ii）人
【解析】
【分析】（1）根据独立性检验的计算公式，求得，结合附表，即可得到结论；
所以有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关.
（2）设事件分别表示初学者对站姿、滑行、转弯、刹车达到熟练，滑雪初学者荣获“滑雪入门”为事件，根据独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可解；
（ii）根据题意，得到随机变量，求得，设有人荣获“滑雪入门”称号的概率最大，列出不等式组，求得的值，即可得到答案.
【小问1详解】
解：由题设中的列联表中的数据，
可得，
所以有99.5%的把握认为游客是否喜欢冰雪运动与性别有关.
【小问2详解】
解：（i）设事件分别表示初学者对站姿、滑行、转弯、刹车达到熟练，
滑雪初学者荣获“滑雪入门”为事件，
所以
.
（ii）因为初学者是相互独立的，随机变量为滑雪入门的人数，则，
可得，，
设有人荣获“滑雪入门”称号的概率最大，
则，解得，
因为，所以，所以人荣获“滑雪入门”的概率最大.
17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点，分别为和的中点．
（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见详解；
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，通过证明平面，再由线面垂直的性质定理即可得到结果.
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求线面角的公式即可得到结果.
【小问1详解】
取的中点，连接,
由，易知为等腰直角三角形，
此时，又，所以.
因为,所以，
由，即，所以，
此时，,有四点共面，,
所以平面，又平面，所以.
【小问2详解】
由且,所以平面.
由，得为等边三角形，
以为原点，所在直线分别为轴，轴，过且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
,
设平面的法向量
由,即，取，，
又，设直线与平面所成角为，
则,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知函数（且），其中.
（1）当时，求的最小值；
（2）判断函数图象是否有对称中心？若有，请求出对称中心；若无，请说明理由；
（3）当时，任意，都有，求实数的取值集合.
【答案】（1）当时，函数的最小值为，
（2）当时，函数的图象没有对称中心，
函数的图象有对称中心，对称中心为，
（3）
【解析】
【分析】（1）由条件，利用基本不等式求函数的最小值；
（2）设点为函数的对称中心，可得恒成立，化简可得，，分，两种情况求，可得结论；
（3）条件可转化为在上恒成立，令，证明，函数在上单调递减，分，，，四种情况，研究函数的单调性，由此确定的取值集合.
【小问1详解】
当时，，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取最小值；
【小问2详解】
设点为函数的对称中心，则恒成立，
所以恒成立，
即恒成立，
所以恒成立，
则，，，
即，，
当时，无解，此时函数的图象没有对称中心，
当时，，此时函数的图象对称中心为；
【小问3详解】
当时，，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，则，
而，
设，则
所以函数在上单调递减，即函数在上单调递减，
①当时，故，
因为，故，
所以，则函数在上单调递减，
故此时当时，，舍去；
②当时，，解得；
(i)当时，，
所以，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减；
所以时，取极大值，则
所以满足条件，
(ii)当时，，
当时，，则在上单调递减；
当时，，舍去;
(iii)当时，，
当时，，则在上单调递增；
当时，，舍去；
综上，.
19. 已知椭圆，在椭圆上取（且）个点，这些点的坐标分别为，，其中，连接.
（1）若直线的斜率为，求椭圆的离心率；
（2）证明的面积为定值，并求多边形的面积（用表示）；
（3）若，，线段的中点为，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析，面积为
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出的坐标，根据斜率求出即可求得离心率；
（2）表示出直线的方程，求出原点O到直线的距离，代入面积公式即可得证；再计算出，由i的一般性即可得到多边形的面积；
（3）由题意表示出H的坐标，计算发现点H的轨迹为椭圆，再利用向量法求出、，结合即可得证.
【小问1详解】
，，则直线的斜率为，
所以椭圆的离心率.
【小问2详解】
直线的方程为
化简得：；
所以原点到直线的距离；
而；
所以为定值.
同理可得：
，
所以多边形的面积为.
【小问3详解】
设，所以，
所以，即，
所以点的轨迹为一个椭圆，且，是该椭圆的焦点，
设，，，则，
则点，的坐标可化为，，
所以，，
又因为，；
所以；
；
因为，所以.
男性游客
女性游客
合计
喜欢冰雪运动
55
35
90
不喜欢冰雪运动
45
65
110
合计
100
100
200
0.050
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10.828