初中数学苏科版（2024）八年级上册一次函数单元测试测试题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级上册一次函数单元测试测试题，共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第 5 章 一次函数 单元测试
一、单选题
1 ．一次函数y = kx + b 与x 轴相交于点P(5, 0) ，则关于x 的方程kx + b = 0 的解为( )
A ．x = 3 B ．x = 4 C ．x = 5 D ．无法求解
2 ．如图，一次函数y1 = x + 3 与y2 = ax + b 的图象相交于点P(1, 4)，则关于 x 的不等式 x + 3 ≥ ax + b 的解集是( )
A ．x ≥ 4 B ．x ≤ 4 C ．x ≥ 1 D ．x ≤ 1
3 ．直线y1 = kx (k ≠ 0) 与直线y2 = ax + 4(a ≠ 0) 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示， 则不等式kx < ax + 4 的解为( )
A ．x > -1 B ．x < -1 C ．x > 1 D ．x < 1
4．点P(m, n ) 在一次函数y= -x + 3 的图象上，且点P 在第一象限，则m 的取值范围是( )
A ．m < 0 B ．0 < m < 3 C ．0 ≤ m ≤ 3 D ．m > 3
5 ．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是( )
A ．y = 4x B ．y = 3x -1 C ． D ．y = 2x2
6 ．已知在平面直角坐标系中，直线y = kx - 3 （k 为常数，且k ≠ 0 ）与直线y = 2x + b （b 为 常数）关于y 轴对称，则k, b 的值依次为( )
A ．-3, -2 B ．2, -3 C ．-2, -3 D ．-2, 3
7 ．一次函数y = (k - 3)x ，若y 随x 的增大而增大，则k 的值可以是( )
A ．4 B ．3 C ．2 D ．0
8 ．在平面直角坐标系内，一次函数y = ax + b （a, b 为常数）的图象如图所示，那么下列说 法正确的是( )
A ．当x > 2 时，y < 0 B ．方程ax + b = 0 的解是x = -4
C ．当y > -4 时，x > 0 D ．不等式ax + b ≥ 0 的解集是x ≥ 0
9．如图，一次函数y = kx + 2 的图象分别与x 轴、y 轴交于 A ，B 两点，以OB 为斜边在y 轴 右侧作等腰直角三角形OBC ．若作△OBC 关于y 轴对称的△OBC¢ , 点C 的对应点C¢ 恰好落 在一次函数y = kx + 2 的图象上，则k 的值为( )
A ． 1 B ．2 C ．3 D ．4
10．元朝朱世杰的《算学启蒙》一书中，记载了一个驽马先行的问题，其中良马与劣马行走 路程s （单位：里）关于行走时间 t （单位：日）的函数图象如图所示，下列说法：①良马 的速度比劣马的速度快 80 里/日；②劣马比良马早出发 12 日；③点A 表示的实际意义是劣 马出发 32 日时，良马追上劣马．其中正确的是( )
A ．①②③ B ．①③ C ．②③ D ．①②
二、填空题
11 ．已知直线y= -3x + b 不经过第一象限，则实数 b 可以是 ．（填一个即可）
12．一辆轿车从A 地驶向B 地，设出发xh 后，这辆轿车离B 地路程为ykm ，已知y 与x 之间 的函数解析式为y = 350 - 70x ，则轿车从 A 地到达B 地所用时间是 h ．
13 ．如图，直线l1: y = -3x + b 与直线l2 : y = kx - 2 在同一平面直角坐标系中相交于点A(2,1) ， 则不等式-3x + b ≥ kx - 2 的解集是 ．
14 ．如图，一次函数y= -x +1 与正比例函数y= x 相交于点A ，与x 轴交于点B ，则 S△AOB = ．
15 ．在平面直角坐标系中，点E 是函数y = 3x + 2 的图象上的一点，将函数y = 3x + 2 的图象 向左平移 4 个单位长度，平移后，点E 的对应点为点F ，若点E ，F 关于y 轴对称，则点E 的坐标为 ．
三、解答题
16．如图，直线l1 在平面直角坐标系中与y 轴交于点 A，点B(-3, 3) 在直线l1 上，将点 B 先向 右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度得到点 C，点 C 也在直线l1 上．
(1)求点 C 的坐标和直线l1 的解析式．
(2)已知直线l2 : y = x + b 经过点 B，与 y 轴交于点 E，求 △ABE 的面积．
(3)结合图象直接写出当 x 为何值时，l1 表示的一次函数值大于l2 表示的一次函数值．
17 ．溶氧量（单位：mg/L ）指的是水中氧气的溶解量，溶氧量是水中生物在水中生存的重 要指标之一．某地区以某种水产养殖为主要产业，当地技术人员研究了溶氧量对该种水产品 生长情况的影响及溶氧量随时间变化的规律，结果如下：
①最适宜该种水产品生长的溶氧量为5mg/L ，长时间低于5mg/L 会影响生长速度，低于
3mg/L 将出现呼吸不顺畅的现象，溶氧量的警戒浓度为2.5mg/L ，低于该值就有可能导致水 产品死亡．
一般来说，水中的溶氧量每天至少需要 18 小时不低于5mg/L ，其它时间不低于3mg/L ．
@一天内水中的溶氧量会随时间的变化而变化，太阳下山后由于光合作用停止，溶氧量将 逐渐降低，在日出前达到一天中最低的溶氧量，日出后逐渐升高至饱和溶氧量，随后保持不 变．工作人员通过实验检测，收集该季节正常天气下，该地区若干个时刻 x（单位：时）对 应的溶氧量y（单位．mg/L ）的数据，结果如表．
不同时刻对应的溶氧量
(1)请估计在日出前水中的溶氧量y 与时刻 x 之间的函数关系式；
(2)该季节正常天气下，判断是否会出现溶氧量达到警戒浓度的现象？并说明理由；
(3)为保障该种水产品的生长速度，养殖户购入一款增氧设备，开启该设备后能够使水中的 溶氧量在原有变化规律的基础上每小时再匀速增加2.4mg/L 上升至饱和浓度，请估计该季节
时刻 x
（时）
0
1
2
3
7
10
13
16
17
18
溶氧量
y（mg / L）
6
5.5
5
4.5
3.6
5.4
7.2
9
9
9
正常天气下是否需要开启该设备，若需要开启，最迟几点开启？
18 ．一次函数y1 = kx + b (k ≠ 0) 和y2 =4x+m的图象交于点 C，如图所示，且 A(0, 4) ， B (2, 0) ．
(1)不等式kx + b > 4 的解集是______；
(2)若不等式kx + b > 4x + m 的解集是x < -1．
①求点 C 的坐标；
②写出不等式组4x + m > kx + b > 0 时 x 的取值范围．
19 ．“五一”假期，小明和父母开车到距家 180 千米的西乡旅游．出发前，汽车油箱内储油
36 升；行驶途中，小明发现油量随着里程均匀变化；当行驶 160 千米时，发现油箱余油量 为 20 升．
(1)求：
①汽车平均每千米的耗油量；
②行驶路程 x（千米）与剩余油量Q （升）的关系式；
(2)当x = 240 千米时，求剩余油量Q （升）的值；
(3)当油箱中剩余油量低于 4 升时，汽车将自动报警．若往返途中，都未加油．小明一家能 否在汽车报警前回到家？请说明理由．
20 ．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y = kx + 8k 交 x 轴负半轴于点 B，交 y 轴正 半轴于点 A，且OB = 2OA ．
(1)如图 1，求直线 AB 的解析式；
(2)如图 2，点 F 在第一象限的直线AB 上，过点 F 作CF 丄 y 轴，垂足为 C，过点 F 作EF 丄 x 轴，垂足为E，点D 在线段OE 上（不与点 O，E 重合），连接BC ，CD ，DF ，且上CDF = 2上OCD ， 点 F 的横坐标为 m ， △BCD 的面积为 s，求 s 与 m 的函数关系式；
(3)如图3，在（2）的条件下，点 G 在BC 上，BG = CG ，连接DG ，交 AB 于点 H．若
2上HDB + 上CBD = 90° , 过点 B 作BM 垂直于直线DF ，垂足为 M，连接HM ，求直线HM 的解析式．
1 ．C
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系．一次函数图象与 x 轴交点的 横坐标等于对应方程的解，据此即可解答．
【详解】解：Q 一次函数y = kx + b 的图象与x 轴交于点P(5, 0) ，
:关于x 的方程kx + b = 0 的解为x = 5 ， 故选：C．
2 ．C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，两条直线相交或平行问题，根据两函数图 象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式x + 3 ≥ ax + b 的解集． 【详解】解：一次函数y1 = x + 3 与y2 = ax + b 的图象相交于点P(1，4)，
由题意知：当x ≥ 1时，一次函数y1 = x + 3 的图象在y2 = ax + b 的图象的上方，
:关于x 的不等式x + 3 ≥ ax + b 的解集是x ≥ 1， 故选：C．
3 ．A
【分析】本题考查一次函数的交点问题，利用两条直线交点求不等式的解集，熟练掌握以上 知识是解题的关键．
根据题意利用数形结合求出不等式的解集即可．
【详解】解：由函数图象可知，当 x > -1 时，y1 = kx (k ≠ 0) 的图象在y2 = ax + 4(a ≠ 0) 图象 的下方，
:不等式kx < ax + 4 的解为x > -1 ， 故答案为：A．
4 ．B
【分析】本题考查一次函数的图象上的点，求不等式组的解集，根据一次函数图象和第一象 限点的坐标特征确定 m 的取值范围即可．
【详解】解：∵点P(m, n ) 在直线y = -x + 3 上， : n = -m + 3 ，
∵点P(m, n ) 在第一象限，
: 0 < m < 3 ；
故选 B．
5 ．A
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义， 根据正比例函数的定义，形如y = kx （k 为常 数且k ≠ 0 ）的函数是正比例函数，逐一分析选项即可判断．
【详解】解： A ．y = 4x ，符合y = kx 的形式，其中k = 4 ，是正比例函数，故 A 符合题意；
B ．y = 3x -1 ，含常数项 -1，属于一次函数而非正比例函数，故 B 不符合题意；
C ． ，x 位于分母，次数为-1，不符合x 一次项的要求，故 C 不符合题意；
D ．y = 2x2 ，x 的次数为 2，属于二次函数，不符合正比例函数的定义，故 D 不符合题意． 故选：A．
6 ．C
【分析】两条直线关于 y 轴对称，则它们的对应点关于 y 轴对称，点(x, y) 关于y 轴对称的 点的坐标为(-x, y) ，利用对称性求出直线 y = kx - 3 关于 y 轴对称的直线的解析式，与直线 y = 2x + b 比较后建立方程求解。
【详解】直线 y = kx - 3 关于y 轴对称的直线的解析式为：y = k(-x) - 3= -kx - 3 ，
:直线y = kx - 3 （k 为常数，且k ≠ 0 ）与直线 y = 2x + b （b 为常数）关于y 轴对称，
:-k = 2 ，b = -3 ， 即k = -2 ，b = -3 ， 故选：C.
7 ．A
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数图象的性质．根据一次函数 的增减性，由k 大于零得出 k 的取值范围，再结合选项确定答案．
【详解】一次函数y = (k - 3)x 中，函数值y 随x 的增大而增大的条件是k - 3 > 0 ， 解得k > 3，
选项中只有4 满足k > 3， 故选：A．
8 ．C
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质及一次函数与一元一次 方程，利用数形结合求解是解答此题的关键．根据函数的图象直接进行解答即可．
【详解】解：由函数 y = ax + b 的图象可知，
A、当 x > 2 时，y > 0 ，原说法错误，不符合题意；
B、方程ax + b = 0 的解是x = 2 ，原说法错误，不符合题意；
C、当 y > -4 时，x > 0 ，正确，符合题意；
D、不等式ax + b ≥ 0 的解集是x ≥ 2 ，原说法错误，不符合题意． 故选：C．
9 ．A
【分析】由等腰直角三角形的性质得出 上OBC = 上BOC = 45° , OC = BC ，由等腰直角三角 形求出点C 的坐标，根据折叠的性质得出C¢ 的坐标，代入直线y = kx + 2 求出k 即可．
【详解】解：过点 C 作CD 丄 OB 于 D，如图，
Q △OBC 是等腰直角三角形，
: Ð OBC = Ð BOC = 45° , OC = BC ，
∵ CD 丄 OB ，
: OD = BD ，
Q 直线y = kx + 2 ，当 x = 0 时，y = 2 ，
:B(0, 2) ，
: OB = 2 ，
: OD = CD = 1，
: C(1,1) ，
∵△OBC 关于y 轴对称的△OBC¢ , : C ¢(-1,1) ，
把点C ¢(-1,1) 代入直线y = kx + 2 得：-k + 2 = 1， 解得：k = 1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求一次函数的解析式，等腰直角三角形 的性质，关于x 轴、y 轴对称的点的坐标特征，求得点C 的坐标是解题的关键．
10 ．C
【分析】本题考查函数的图象，理解题意，看懂图象，从图象上获取准确信息是解答的关 键．从图象中找到两马的起始时间可判断①；根据图象的交点可判断②；求出两马的速度 可判断③,进而可得答案．
【详解】解：①良马的速度为4800 ÷ (32 -12) = 240 （里/日）， 劣马的速度为4800 ÷ 32 = 150 （里/日），
240 - 150 = 90 （里/日），
:良马的速度比劣马的速度快 90 里/日，原结论错误，不符合题意， ②由图象知，劣马比良马早出发 12 日，正确，符合题意；
③两图象的交点A 坐标为(32, 4800) ，则点 A 表示的实际意义是劣马出发 32 日时，良马追 上劣马，正确，符合题意．
故正确的是②③ .
故选：C．
11 ．0（答案不唯一）
【分析】直线 y= -3x + b 不经过第一象限，则b ≤ 0 ，选择一个数即可．
本题考查了图象的分布条件，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：直线 y= -3x + b 不经过第一象限，则b ≤ 0 ， 故答案为：0（答案不唯一）．
12 ．5
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，根据题意将y = 0 代入解析式，直接求解即 可．
【详解】解：根据题意得：当 y = 0 时，350 - 70x = 0 时， 解得：x = 5 ，
故答案为：5 ．
13 ．x ≤ 2
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，依据题意得，不等式-3x + b ≥ kx - 2 的解
集为函数y= -3x + b 的图象在函数y = kx - 2 的图象上方时对应的自变量的取值范围，然后结 合图象分析即可判断得解．
【详解】解：由题意得，不等式 -3x + b ≥ kx - 2 的解集为函数y= -3x + b 的图象在函数 y = kx - 2 的图象上方时对应的自变量的取值范围，
又∵直线l1: y = -3x + b 与直线l2 : y = kx - 2 在同一平面直角坐标系中相交于点A(2,1) ， :结合图象可得，x ≤ 2 ．
故答案为：x ≤ 2 ．
【分析】本题考查了一次函数与正比例函数，由y= -x +1 可得，当y = 0 时，x = 1 ，求出 OB = 1 ，联立 解得 即 然后通过S△AOB = × OB × yA 即可求 解，解题的关键掌握一次函数与正比例函数性质．
【详解】解：由 y = -x +1 可得，当y = 0 时，x = 1 ，
: B (1, 0)， : OB = 1，
联立 解得： ，
故答案为： ．
15 ．(2,8)
【分析】设E(m, 3m + 2) ，则F(m - 4, 3m + 2) ，根据点 E ，F 关于y 轴对称，得到 m + m - 4 = 0 ，解答即可．
本题考查了一次函数的平移，轴对称，熟练掌握平移性质，对称特点是解题的关键．
【详解】解：根据题意，设E(m, 3m + 2) ，则F(m - 4, 3m + 2) ， ∵点E ，F 关于y 轴对称，
: m + m - 4 = 0 ， 解得m = 2 ．
故E(2,8)．
故答案为：(2,8)．
16 ．(1)(-2，1) ，y = -2x - 3 (2)13.5
(3) x < -3
【分析】本题考查一次函数的图象和性质，求一次函数的解析式，一次函数与几何综合，掌 握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据平移与坐标的关系求出点 C 的坐标，再用待定系数法求解析式；
（2）先求l2 的解析式，再求点A 和E 的坐标，最后求 △ABE 的面积；
（3）根据一次函数的图象及性质求解即可．
【详解】（1）由平移法则得：C 点坐标为(-3 +1, 3 - 2) ，即(-2，1) ，
设直线l1 的解析式为y = kx + c ， 则 解得 ， :直线l1 的解析式为y = -2x - 3 ；
（2）把 B 点坐标代入y= x + b 得， 3 = -3 + b ，解得：b = 6 ，
: y = x + 6 ，
当 x = 0 时， y = 6 ，
:点 E 的坐标为（0，6），
当x = 0 时，y = -2x - 3 = -3 ， :点 A 坐标为（0，- 3），
: AE = 6 + 3 = 9 ，
: △ABE 的面积为
（3）观察图象可得：当 x < -3 时，l1 表示的一次函数值大于l2 表示的一次函数值．
17 ． 为日出前时刻)
(2)不会出现溶氧量达到警戒浓度的现象，理由见详解
(3)需要；最迟 7 时开启
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据表格得到日出前和日出后的表达式是解 题的关键．
（1）先根据日出前水中的溶氧量 y 随着 x 的数据变化得出y 关于 x 符合一次函数的特点， 然后利用待定系数法求出日出前y 与时刻 x 之间的函数关系式．
（2）计算出最低含氧量与警戒浓度2.5mg/L 比较即可得出答案．
（3）同理求出则y = 0.6x - 0.6 （x 为日出后时刻），再根据题意令y = 5 时，解得 根 据一次函数的性质可知 时，含氧量不低于5mg / L ，同理令 为日出前 时刻）的y = 5 ，解得 x =2 ，可知从 9 时到凌晨2 点，含氧量不低于5mg / L ；然后根据水 中的溶氧量每天至少需要 18 小时不低于5mg/L ，再进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：根据太阳下山后由于光合作用停止，溶氧量将逐渐降低，在日出前达到一 天中最低的溶氧量，日出后逐渐升高至饱和溶氧量，随后保持不变，可知，表格中0 ≤ x ≤ 3 属于日出前时间，观察表格，可知，每过一个小时，其含氧量降低0.5 ，在日出前水中的溶 氧量y 随着 x 的变化而均匀的变化，符合一次函数的特点，
故设y = kx + b ，
把点(0, 6) ，(2, 5) 代入y = kx + b 得：
解得：
则 为日出前时刻）
（2）解：不会出现溶氧量达到警戒浓度的现象，理由如下：
由 可知 为日出前时刻）， 代入
x = 7 时 根据表格，可知x = 7 时，含氧量为3.6，故可知， 6 点开始 日出，那么最低溶氧量为x =6 时的3mg/L ，高于警戒浓度为2.5mg/L ，且日出后逐渐升高并 保持饱和溶氧量，故所有时刻溶氧量均不低于3mg/L ．
（3）解：由（2）可知，表格中7 ≤ x ≤ 16 时，属于日出后的时间，观察表格，可知，每过 3 小时，含氧量增加1.8mg ，符合一次函数特点，故设日出后水中的溶氧量y 与时刻 x 之间的 函数关系式为：y = k1x + b1 ，
把点(10, 5.4) ，(13, 7.2) 代入y = k1x + b1 得：
解得：
则y = 0.6x - 0.6 （ 6 < x ≤ 16 ）
由（1）可知，日出前每过一个小时，其含氧量降低0.5，从表格中可知， x = 0 时，含氧量 为 6 ，x = 18 时，含氧量为 9，从x =18 到x =0 ，有 6 小时，含氧量下降了3 ，刚刚好符合每 过一个小时，其含氧量降低0.5 ，那么可知，日出前的时间为18 点到早上 6 点，日出后的时 间为早上 6 点到下午 18 点，
根据题意令y = 5 时，代入y = 0.6x - 0.6 ，解得
∵ 0.6 > 0 ，即y 随x 的增大而增大， 时，含氧量不低于5mg / L ，
由 得 为日出前时刻）
令y = 5 ，解得 x = 2 ，
,即y 随x 的增大而减小， : x < 2 时，含氧量不低于5mg / L ， :在时刻2 ~ 9是低于5mg/L 的，
∵水中的溶氧量每天至少需要 18 小时不低于5mg/L ， 即低于5mg / L 的时间不超过 6 小时，
:需要开启， ∵ 2 + 6 = 8 点
此时 8 点的含氧量为y = 0.6 × 8 - 0.6 = 4.2 如果是 8 点开始开启该设备，
∵开启该设备后能够使水中的溶氧量在原有变化规律的基础上每小时再匀速增加2.4mg/L 上 升至饱和浓度，
:每分钟增加2.4 ÷60 = 0.04mg / L
即 8 点 20 分才能达到5mg/L ， 因此最迟 7 时开启．
18 ．(1) x < 0
(2)①(-1, 6) ；② -1< x < 2
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、求一次函数解析式等知识点，掌握数 形结合思想是解题的关键．
（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式 kx + b > 4 的解集即可；
（2）①由题意可以求得 k、b 的值，根据kx + b > 4x + m的解集是x < -1，可知点 C 的横坐 标是x = -1 ，进而确定点 C 的坐标；
②根据点 B 、C 的横坐标，并结合函数图象即可求解．
【详解】（1）解：不等式kx + b > 4 表示函数y1 = kx + b 函数值大于 4，所对应 x 的取值范围， 所以不等式kx + b > 4 的解集是x < 0 ．
故答案为x < 0 ．
（2）解：①∵点A(0, 4) ，B (2, 0) 在一次函数y1 = kx + b 的图象上，
则 解得 ， :一次函数y1 = -2x + 4 ．
∵ kx + b > 4x + m 的解集是x < -1， :点 C 的横坐标是x = -1 ，
当x = -1 时，y1 = -2× (-1) + 4 = 6， :点 C 的坐标为(-1, 6) ．
②∵ B (2, 0) ，C (-1, 6) ，
:根据函数图象可得：4x + m > kx + b > 0 时，-1< x < 2 ．
19 ．(1)①汽车平均每千米的耗油量为0.1 升；②Q = 36 - 0.1x
(2)12 升
(3)不能，见解析
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的行程问题，正确掌握相关性质内容是 解题的关键．
（1）①理解题意，进行列式(36 - 20) ÷ 160 = 16 ÷ 160 = 0.1 ，得汽车平均每千米的耗油量为0.1 升，
②结合汽车油箱内储油36 升，得行驶路程 x（千米）与剩余油量Q （升）的关系式；
（2）把 x = 240 代入Q = 36 - 0.1x ，得Q = 36 - 0.1x = 12 ，即可作答．
（3）把Q = 4 代入Q = 36 - 0.1x ，得 x =320 ，因为320 < 360 ，故小明一家不能在汽车报警 前回到家．
【详解】（1）解：①∵小明发现油量随着里程均匀变化；当行驶 160 千米时，发现油箱余油 量为 20 升．
: (36 - 20) ÷ 160 = 16 ÷ 160 = 0.1 （升）
即汽车平均每千米的耗油量为0.1 升；
②依题意，汽车平均每千米的耗油量为0.1 升；
:行驶路程 x（千米）与剩余油量Q （升）的关系式为Q = 36 - 0.1x ；
（2）解：依题意，把 x = 240 代入Q = 36 - 0.1x ，
得Q = 36 - 0.1x = 36 - 0.1 × 240 = 12 ， :剩余油量Q( 升)的值为 12 升；
（3）解：不能，理由如下：
依题意，把Q = 4 代入Q = 36 - 0.1x ，
得4 = 36 - 0.1x ， 解得x = 320 ，
则往返途中，180 × 2 = 360 （千米） ， ∵ 320 < 360 ，
:小明一家不能在汽车报警前回到家．
20 ．
【分析】本题考查待定系数法求解析式， 矩形的判定与性质，直角三角形的性质，平行四边 形的判定与性质及等面积法求边长，熟练掌握待定系数法求解析式矩形的判定与性质是解题 的关键，
（1）根据直线y = kx + 8k ，整理后得y = k (x + 8) ，再因直线与直角坐标系交点 A、B，令y = 0 时，x = -8 ，即可得到B(-8, 0) ，从而推出 A(0，4)，最后利用待定系数法求得函数解析式；
（2）作DQ 丄 CF 交 CF 于点 Q，易证四边形CODQ 是矩形，设 上OCD = a ， 由三角形内角关系可求得CD = DF ．由于DQ 丄 CF ，从而可求得 推出
进而求得S△BCD = m2 + 3m +16 ．
（3）设上HDB = b ，由题可求得上BCO = 2上HDB = 2 b ，取BF 中点 k，连接EK 、GK ，由 于 G 是BC 的中点，可得到GK Ⅱ CF ， ，从而易证四边形GKED 是平行四边形， 再由四边形COEF 是矩形，则在Rt△EFB 中 K 是BF 中点，则 从而证 得BH = HD ．作HN 丄 BO ，则 截取OP = OA = 4 ，连接 BP ，则
CO 丄 BO ，可得 BA = BP ，设CA= n ，可得到 BC = CP = n + 8 ，利用勾股定理求得 n = 2 ， 从而得到OC = EF = 6 ，再根据 故 ，则m = 4 ，所以F(4，6)，进而 推出 在Rt△FDE 中，由勾股定理求出FD = 2 再利用等面积法
1 1
S△BFD = 2 DB . EF = 2 DF . BM ，BM = 3 ，DM = ·、 ，作 MR 丄 BD ，再人利用等面积
法S△BMD = DB .MR = DM . BM ，求得MR = 3 ，BR = 9 ，即可得到M(1, -3) ．设 yHM = mx + n ，利用待定系数法即可得到过直线 HM 的解析式．
【详解】（1）解：直线 y = kx + 8k 与直角坐标系交点A、B， 整理得：y = k (x + 8)
当y = 0 时，x = -8 ，
: B (-8, 0) ， : OB = 2OA ， : OA = 4 ，
: A(0，4)，
设yAB = kx + b ，分别代入 A(0，4) ，B (-8, 0) ，
: í ,
l0 + b = 4
ì-8x + b = 0
: íìïb ïlk
= 4
1 ， =
2
（2）解：作DQ 丄 CF 交 CF 于点 Q，
: CF 丄 y 轴，CO 丄 OE ，DQ 丄 CF ， :四边形CODQ 是矩形，
设上 : 上CDF = 2上OCD = 2a ，
: 上DCF = 90° - 上OCD = 90° - a ，上CFD = 180° - 上CDF = 上DCF = 90° - a ， : 上DCF = 上CFD ，
: CD = DF ．
又:DQ 丄 CF ，
（3）解：设上HDB = b，
: 2上HDB + 上CBD = 90° , 上BCO + 上CBD = 90° , :上BCO = 2上HDB = 2 b ，
取BF 中点 k，连接 EK 、GK ， :G 是BC 的中点，
: GK Ⅱ ,
Ⅱ DE ， :四边形GKED 是平行四边形，
: GD ⅡKE ，
:上GDB = 上KEB = b， :四边形COEF 是矩形， : 上FEB = 90° ,
:在Rt△EFB 中 K 是BF 中点，
: GD ⅡKE ，
:上KBE = 上KEB = b = 上HDB ， : BH = HD ．
作HN 丄 BO ，则
截取OP = OA = 4 ，连接 BP ，则 CO 丄 BO ， : BA = BP ，
:上BAO = 上BPO = 90° - b ，上BCO = 2 b ，上CBP = 90° - b= 上BPO ， 设CA = n ，
: BC = CP = n + 8 ，
: OB2 + OC2 = BC2 ，则 (n + 8)2 = 82 + (n + 4)2 : n = 2 ，
: OC = EF = 6 ，
则m = 4 ， : F (4，6) ，OD = DE = 2 ，
: N (-3, 0) ，
在Rt△FDE 中，由勾股定理可得
: BM = 3 ，
作MR 丄 BD ，S△
: OR = BR - BO = 1， : M (1, -3) ．
设yHM = mx + n ，过M (1, -3) ，H(-3,) ，
: ，