数学九年级上册一元二次方程的解法一课一练

这是一份数学九年级上册一元二次方程的解法一课一练，共39页。
（分层专项练习）
本专题分夯实基础和拓展培优两部分，其中夯实基础满分 72 分，拓展培优满分
48 分，合计 120 分；完成时间40--60 分钟．
第一卷【夯实基础】
一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）本大题中每个小题所给四个答案中有且只 有一个正确答案．
（24-25 八年级下·安徽蚌埠·期中）
1 ．用求根公式解一元二次方程3x2 - 2x = 1时，a ，b ，c 的值是( )
A ．a = 3, b = -1, c = -2 B ．a = 3, b = -2, c = 1
C ．a = 3, b = -2, c = -1 D ．a = 3, b = 2, c = 1 （24-25 九年级上·湖南株洲·期末）
2．在用求根公式 求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了a、b、c ，
得到 则她求解的一元二次方程是( )
A ．2x2 + 3x -1 = 0 B ．2x2 - 3x - 1 = 0
C ．-2x2 - 3x +1 = 0 D ．3x2 - 2x - 1 = 0 （24-25 九年级下·河北廊坊·期中）
3．点P(1- m,3m) 在第四象限，点 P 到 x 轴的距离为d1 ，到y 轴的距离为d2 ，若 m ，d1 ，d2 满足md1 + 4d2 = 4 ，则常数 m 的值为( )
A ．-6 B ．-3 C ． D ．0
（24-25 八年级下·浙江金华·阶段练习）
4 ．已知实数a 满足 则 的值为 ( )
A ．-2 B ．4 C ．-2 或 4 D ．2
（2025·河南平顶山·模拟预测）
5 ．已知关于x 的一元二次方程x2 + mx + n = 0 ，其中 m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则 方程的根的情况是( )
A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根
C ．无实数根 D ．无法确定 （2025河南省中招考试数学押题卷（一））
6 ．若关于x 的一元二次方程x2 + 2(m -1)x -1+ m2 = 0 有两个相等的实数根，则m 的值为 ( )
A ．0 B ．1 C ．2 D ．0.5
（23-24 八年级下·浙江杭州·阶段练习）
7 ．已知关于x 的方程a (x - m)x = x - m有两个相等的实数根，若M = a 2- 2am ，
则M 与N 的关系正确的是 ( )
A ．M + N = 2 B ．M + N = -2
C ．2M + N = 0 D ．M + N = 0
（22-23 九年级上·江苏宿迁·阶段练习）
8 ．已知：如图，该图形是中心对称图形， 四边形ABCD 是正方形，点E 、F 在正方形内 部且AE 丄 EF ，AB = 10 ，AE = EF + 5 ，则 EF 为( )
A ．2 B ． ·、 C ．3 D ．
二、填空题(每小题 3 分，共 18 分)
（23-24 九年级上·四川南充·期中）
9 ．方程t 2 = t 的解是 ．
（24-25 八年级下·安徽宣城·期中）
10 ．若(m2 + n2 -1)(m2 + n2 + 2) = 4 ，则 m2 + n2 = ．
（2025 年浙江省宁波市九年级下学期强基计划数学测试试卷）
11 ．已知 a ，b 满足 已知3 * x = 4 ，x 为正数，则x = ． （2025·安徽蚌埠·三模）
12 ．等腰三角形有一条边为 4，若另外两条边长 a ，b 是关于 x 的一元二次方程 x2 - 6x + 2 + m = 0 的两个实数根，则 m 的值为 ．
（2025·广东广州·二模）
13 ．若关于 x 的一元二次方程x2 + 2x + m = 0有实数根，则代数式、 + m 化简的结
果是 ．
（23-24 九年级上·四川成都·期末）
14 ．定义：我们把形如 的数成为“无限连分数” ．如果 a 是一个无理数， 那么 a 就可以展成无限连分数，例如 如果 则x = ．
三、解答题（4 题共计 30 分）
（24-25 八年级下·浙江杭州·阶段练习）
15 ．解方程：
(1) 2x2 - 5x +1 = 0
(2) (x -1)2 - 2(x -1) = 0
（2025·广东清远·二模）
16 ．已知关于x 的方程x2 + 2x - 2 + k = 0有两个不相等的实数根．
(1)求k 的取值范围；
(2)化简分式 并求出其取值范围． （2025·湖南岳阳·一模）
17 ．定义：若关于x 的一元二次方程ax2 + bx + c = 0 （a ≠ 0 ）的两个实数根分别为 x1 ，x2 （x1 < x2 ），分别以 x1 ，x2 为横坐标和纵坐标得到点M(x1, x2 ) ，则称点 M 为该一元二次方 程的衍生点．
(1)直接写出方程x2 + 2x = 0的衍生点M 的坐标为______；
(2)已知关于x 的方程x2 - 2(m +1)x + m2 + 2m = 0 ．
①求证：不论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根； @求该方程衍生点M 的坐标；
（24-25 九年级上·福建龙岩·阶段练习）
18 ．【材料】请你先认真阅读材料并解决下面问题．
已知关于x 、y 的方程(x + y)2 - 2(x + y) - 8 = 0 ，求x + y 的值．
解：设t = x + y ，则方程变形为：t2 - 2t - 8 = 0
:(t - 4)(t + 2) = 0
:t1 = 4 ，t2 = -2
\l "bkmark1" 即x + y = 4 或x + y = -2
\l "bkmark2" (1)【引申】已知 (m2 + n2 -1) = 9 ，则 m2 + n2 = ．
(2)【拓展】已知 (x2 + x)(x2 + x -1) = 2 ，求 x2 + x 的值．
第二卷【拓展培优】
四、选择题(每小题 3 分，共 12 分)
（24-25 八年级下·重庆·期中）
19 ．若正数x 满足x2 + 3x = 1，则 x2 - 的值为( )
A ．3 B ．3 C ．-3 D ．-3
（2025 八年级下·全国·专题练习）
20 ．已知关于 x 的方程x2-mx + a＝0 的根的判别式的值为 1，若P = 2 + 8a ， ， 则 P ，Q 的数量关系是( )
A ．P - Q = 1.5 B ．P - Q = -1.5 C ．2P + Q = 0 D ．P + 2Q = 0
（2025·安徽合肥·一模）
21 ．已知xy = x + y = k ≠ 0 ，下列结论不正确的是( )
B ．(x -1)2 + (y -1)2 ≥ 2
C ．若x ，y 同号，则k ≥ 4 D ．若x ，y 异号，则-4 ≤ k < 0
（2025·江苏南通·一模）
22 ．已知x2 = 3y + t, y2 = 3x + t ，且 x ≠ y （ t 是常数），则称点M(x, y) 是“关联点” ．若反比
例函数 的图象上总存在两个关联点，则m 的取值范围是( )
A ．m < 1 B ．
C ． D ． 或m < 1
五、填空题(每小题 3 分，共 12 分)
（22-23 八年级上·上海静安·期中）
23 ．如果一元二次方程的两根相差 1，那么该方程成为“差 1 方程” ．例如x2 + x = 0 是“差 1 方程” ．若关于 x 的方程ax2 + bx +1 = 0 (a ，b 是常数，a > 0 )是“差 1 方程”设t = 10a - b2 ，t 的 最大值为 ．
（22-23 九年级下·江苏泰州·阶段练习）
24 ．如图，平面直角坐标系中，点 D 在直线x =3 上，点 E 为 x 轴上任意一点，点
F (6, 2)，若 △DEF 为正三角形时，则点 D 的坐标为 ．
（2025·江苏无锡·二模）
25．整体思想在解决数学问题中有重要作用．例如，为将 表示成分数的形式，可设x = ， 得100x = ，将 拆分为13 + x ，解出x ，即得 的分数形式为 ；现有一 个无限连分数 … ，它的每一个分母都与原数完全一样，可求出此数的值
为 ．
（2025·安徽合肥·二模）
26 ．如图，一次函数y = x + k +1(k > 0) 的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ．与反比例
函数 的图象在第一象限内交于点C ，过点C 作CE 丄 x 轴，CD 丄 y 轴．垂足分别为 点E ，D ．当矩形ODCE 的面积是 △OAB 的面积的 2 倍时，k 的值为 ．
六、解答题(12×2=24 分)
（2025·陕西汉中·模拟预测）
27 ．解方程 （2025 九年级下·全国·学业考试）
28 ．已知a + b = 4 ．
求 的最小值．
(2)若xy = 6, bx + ay = 9, x + y = 11 - 2ab ，求a, b, x, y 的值．
1 ．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，把原方程化为形如ax2 + bx + c = 0 （其中 a 、b 、c 是常数，a ≠ 0 ）的形式即可得到答案．
【详解】解：Q 3x2 - 2x = 1，
: 3x2 - 2x -1 = 0 ，
则a = 3 ，b = -2 ，c = -1， 故选：C．
2 ．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握 求根公式中字母所表示的意义．
根据求根公式 可找出 a ，b ，c 的值，从而可求解．
【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为 : a = 2，b = -3，c = -1，
:该一元二次方程为2x2 - 3x - 1 = 0 ， 故选：B．
3 ．C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，解一元二次方程等，熟练掌握各知识 点是解题的关键．
> 0
0
ì1- m
l3m 0
0
: í
l3m 0 时，方程有两个不相等的实数根；当b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等 的实数根；当b2 - 4ac < 0 时，方程没有实数根．
由数轴得：m > 0 ，n < 0 ，先计算根的判别式即可． 【详解】解：由数轴得：m > 0 ，n < 0 ，
:-4n > 0 ．
:Δ = m2 - 4n > 0 ．
:该方程有两个不相等的实数根． 故选：B．
6 ．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式 Δ = b2 - 4ac 来判断即 可，当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根，当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根，当 Δ < 0 时，方程没有实数根．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x2 + 2(m -1)x -1+ m2 = 0 有两个相等的实数根， : Δ = 2 (m -1)2 - 4× (m2 -1) = 0 ，
解得：m = 1，
故选：B
7 ．A
【分析】本题考查了根的判别式．方程化为一般式为ax2 - (am + 1)x + m = 0 ，根据根的判别式 的意义得到 Δ = (am + 1)2 - 4am = 0 ，所以 ，于是可计算出M = a2 - 2 ，N = 4 - a2 ，然后消 去a2 得到M 与N 的关系．
【详解】解：方程化为一般式为ax2 - (am + 1)x + m = 0 ， 根据题意得 Δ = (am + 1)2 - 4am = 0 ，
: (am -1)2 = 0 ， : am -1 = 0 ， 即 ，
:M + N = 2 ．
故选：A．
8 ．A
【分析】正方形ABCD 是中心对称图形可得AB = AC = 10 ， ， 再根 据已知条件AE 丄 EF 得知 △上AEO 为直角三角形，由勾股定理求出OA = 5 ，然后设
EF = 2x ，OE = x ，根据已知条件 AE = EF + 5 列出式子求解即可．
【详解】
如图，连接AC 交EF 于O
Q 正方形ABCD 是中心对称图形，
, , Q AE 丄 EF ，
:△上AEO 为直角三角形，
Q在Rt△上AEO 中，由勾股定理得
设EF = 2x ，则 OE = x ，AE = EF + 5 = 2x + 5 ， 在Rt△上AEO 中，Q OE2 + AE2 = AO2
解得x1 = 1 ，x2 = -5 （不合题意，舍去）， :EF = 1 × 2 = 2 ，
故选：A
【点睛】解题的关键是掌握正方形的性质、中心对称图形的性质、勾股定理解三角形和一元 二次方程的求解．
9 ．t1 = 0, t2 = 1
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为 0，然后把方程左 边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元 二次方程的解．
【详解】解：t 2 = t ，
则t2 - t = 0 ， : t (t -1) = 0 ，
: t = 0 或t -1 = 0 ， 解得：t1 = 0, t2 = 1，
故答案为：t1 = 0, t2 = 1．
10 ．2
【分析】本题考查利用换元法解一元二次方程，解题关键是要根据方程的特点灵活选用合适 的方法．设m2 + n2 = x ，把原方程变形并求得x 的值，结合m2 + n2 是非负数，即可得出答案．
【详解】解：设 m2 + n2 = x ，则原方程为(x -1)(x + 2) = 4 ， 整理得x2 + x - 6 = 0 ，
: (x - 2)(x + 3) = 0 ， 解得x1 = 2, x2 = -3 ，
: m2 + n2 是非负数， : m2 + n2 = 2 ．
故答案为：2．
11 ．
【分析】本题考查了解一元二次方程，二次根式的性质，根据题意得到方程，再将方程转换 为一元二次方程即可解答，熟练计算是解题的关键．
【详解】解：由题意得 整理得 = 9 - x ，
两边平方得3x = (9 - x)2 ， 整理得x2 - 21x + 81 = 0 ，
解得 当x1 = 21+ 3 时，9 - x < 0 ，故舍去，
2
故答案为： ．
12 ．6 或 7##7 或 6
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，三角形的三边关系，一元二次方 程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
当 4 为腰长时，将x = 4 代入原方程，求出m ，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角 形；当 4 为底边长时，关于 x 的一元二次方程x2 - 6x + 2 + m = 0 有两个相等的实数根，根据
Δ = 0 求出m ，再解一元二次方程，并检验是否能构成三角形．
【详解】解：当 4 为腰长时，将x = 4 代入原方程，得42 - 6× 4 + 2 + m = 0 ， : m = 6 ，
原方程为x2 - 6x + 8 = 0 ， 解得 x1 = 2, x2 = 4 ，
又:2 + 4 = 6 > 4 ，
:边长为 2 ，4 ，4 的三条边能组成等腰三角形；
当 4 为底边长时，关于 x 的一元二次方程x2 - 6x + 2 + m = 0 有两个相等的实数根， :Δ = (-6)2 - 4× 1 × (2 + m) = 0 ，
解得m = 7 ，
:原方程为 x2 - 6x + 9 = 0 ， 解得a = b = 3 ，
又:3 + 3 = 6 > 4 ，
:边长为 3 ，3 ，4 的三条边能组成等腰三角形， 综上所述，m 的值为 6 或 7
故答案为：6 或 7．
13 ．1
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程 根的判别式及二次根式的性质是解题的关键；由题意易得m ≤1 ，然后根据二次根式的性质 进行化简即可．
【详解】解：:关于 x 的一元二次方程x2 + 2x + m = 0有实数根，
: Δ = 4 - 4m ≥ 0 ， : m ≤ 1 ，
故答案为：1．
【分析】根据题意，得 整理得x2 - x -1 = 0 ，解方程即可．
1+ …
本题考查了新定义问题，正确转化成分式方程，一元二次方程是是解题的关键．
1+
【详解】根据题意，得
1+ …
整理得x2 - x -1 = 0 ，
解得
经检验 是原方程的根， 故答案为 或
(2) x1 = 1 ，x2 = 3
【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵ 2x2 - 5x +1 = 0 ，
: Δ = (-5)2 - 4× 2 × 1 = 17 > 0 ，
（2）解：∵ (x -1)2 - 2(x -1) = 0 ，
:(x -1)(x -1- 2) = 0 ，即 (x -1)(x - 3) = 0 ， : x -1 = 0 或x - 3 = 0 ，
: x1 = 1 ，x2 = 3 ．
16 ．(1) k < 3
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，分式化简，不等式的性质，正确掌握相关性质 内容是解题的关键．
（1）结合关于x 的方程x2 + 2x - 2 + k = 0有两个不相等的实数根，得出 Δ = 22 - 4× 1 × (-2 + k) > 0 ，进行化简计算，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，结合（1）的结论进行作答即可．
【详解】（1）解： Q 关于x 的方程x2 + 2x - 2 + k = 0有两个不等的实数根，
:Δ = 22 - 4× 1 × (-2 + k) = 4 + 8 - 4k > 0 ， 解得k < 3 ．
解：原式 由（1）得k < 3 ．
:k - 3 < 0 ，
17 ．(1)(-2, 0)
(2)①见解析；②(m, m + 2)
【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式，解题关键是理解题意并正确计算．
（1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出 M 点坐标．
（2）①利用根的判别式即可证明；
②先运用因式分解法整理得(x - m)(x - m - 2) = 0 ，再根据衍生点的定义即可写出M 点坐标，
即可作答．
【详解】（1）解：: x2 + 2x = 0 ， : x (x + 2) = 0 ，
:两个根为x1 = -2, x2 = 0 ，
根据题意衍生点的定义x1, x2 为横坐标和纵坐标得到点M(x1, x2 ) (x1 < x2 ) 得x2 + 2x = 0 的衍 生点为(-2, 0) ．
故答案为：(-2, 0) ．
（2）解：①证明：: x2 - 2(m +1)x + m2 + 2m = 0
: Δ = b2 - 4ac
= -2(m +1)2 - 4(m2 + 2m)
= 4 (m +1)2 - 4(m2 + 2m)
= 4 (m2 + 2m +1)- 4(m2 + 2m)
= 4 > 0 ，
:不论 m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
② x2 - 2(m +1)x + m2 + 2m = x2 - 2(m +1)x + m(m + 2) = 0 ， : (x - m)(x - m - 2) = 0 ，
解得：x1 = m, x2 = m + 2 ，
:方程x2 - 2(m +1)x + m2 + 2m = 0 的衍生点 M 为(m, m + 2) ；
18 ．(1)10
(2) x2 + x = 2 或x2 +x = -1
【分析】本题考查了换元法解一元一次方程与一元二次方程；
（1）设 m2 + n2 = t 进而解一元一次方程，即可求解；
（2）设 x2 + x = t ，得出 t (t -1) = 2 ，解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：设 m2 + n2 = t : t -1 = 9 ，
: t = 10
故答案为：10；
（2）设 x2 + x = t : t (t -1) = 2
: t2 - t - 2 = 0
: (t - 2)(t +1) = 0
解得：t = 2 或t = -1
即x2 + x = 2 或x2 +x = -1
19 ．C
【分析】本题考查了代数式的变形求值， 解一元二次方程，分式的运算等知识，根据公式法 求出 再将x2 - 变形为(-3)(2x + 3) ，最后将 代入即可求解，掌 握相关知识是解题的关键．
【详解】解：x2 + 3x = 1， : x2 + 3x - 1 = 0 ，
:Δ = 32 - 4× 1 × (-1) = 13 ， 解得： : x 是正数，
:正数x 满足x2 + 3x = 1，
故选：C．
20 ．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根的判别式 为 Δ = b2 - 4ac ．
先利用根的判别式的意义得到 Δ = (-m)2 - 4a = 1，则m2 = 1+ 4a ，所以 然后计算 P - Q ，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：:关于 x 的方程x2-mx + a＝0 的根的判别式的值为 1，
: Δ = (-m)2 - 4a = 1， : m2 = 1+ 4a ，
: P = 2 + 8a ，
即P - Q = -1.5 ．
故选：B．
21 ．D
【分析】本题主要考查了等式的性质、非负数的性质、不等式的性质、根的判别式等知识点， 灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
根据等式的性质、非负数的性质、不等式的性质、根的判别式逐项判断即可．
【详解】解：A ．: xy = x + y ，: 即 ，故 A 选项正确，不符合题意；
xy xy x y
B ．: (x -1)2 + (y -1)2 = x2 - 2x +1+ y2 - 2y +1 = x2 + y2 - 2(x + y) + 2 = (x - y )2 + 2 ≥ 2 ，故 B 选项正确，不符合题意；
C ． 当x ，y 同号，则k = xy > 0 ，由不等式的性质可得 即 解得： k ≥ 4 ，，故 C 选项正确，不符合题意；
D ． 当x ，y 异号，则k = xy < 0 ， : xy = x + y = k ，
即x2 - kx + k = 0 ，
由题意可得：x2 - kx + k = 0 存在根，
: Δ = k2 - 4k ≥ 0 ，解得：k ≤ 0 或k ≥ 4 ， : k = xy < 0 ，
: k < 0 ，而不是 -4 ≤ k < 0 ，故 D 选项错误，符合题意．
故选 D．
22 ．D
【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点， 根据题意建立参数方程成为解题的关键．
由x2 = 3y + t, y2 = 3x + t 以及相应字母的取值范围可得x + y = -3 ，然后根据题意得到关于 x
的方程，再结合x ≠ 0 m -1 ≠ 0 求出 m 的取值范围即可． 【详解】解：∵ x2 = 3y + t, y2 = 3x + t ，
: x2 - y2 = (3y - 3x) + (t - t ) ，即 (x + y)(x - y ) = -3(x - y ) ， ∵ x ≠ y ，
: x + y = -3 ，即 y = -3 - x
∵反比例函数 的图象上总存在两个关联点，
,即x2 + 3x + (m -1) = 0 且x ≠ 0, m -1 ≠ 0 有两个不相等实数根， : Δ = 32 - 4(m -1) > 0 ，解得： ，
当m -1 = 0 ，即 m = 1时，方程可化为x2 + 3x = 0 ，解得 x = -3 或 0，但 x ≠ 0 无意义，仅有 x = -3 ，不符合题意．
综上，m 的取值范围是 或m < 1．
故选 D．
23 ．9
【分析】根据新定义得方程的大根与小根的差为 1，列出a 与b 的关系式，再由t = 10a - b2 ， 得t 与a 的关系，从而得出最后结果．
【详解】解：由题可得： Δ = b2 - 4a × 1 = b2 - 4a ≥ 0
:解方程得
Q 关于x 的方程ax2 + bx +1 = 0(a 、b 是常数，a > 0) 是“差 1 方程”，
:b2 = a2 + 4a ，
Qt = 10a - b2 ，
:t = 6a - a2 = -(a - 3)2 + 9 ， Q(a - 3) ≥ 0 ，
: a = 3 时，t 的最大值为 9． 故答案为：9
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理
解“差 1 方程”的定义．
24 ．(3, -5)或(3, )
【分析】分别过三角形的三个点作垂线，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】解：过点 F 作FM 丄 直线x = 3 ，垂足为 M，过点 F 作FN 丄 x 轴，垂足为 N，直线x = 3 与 x 轴交点为 K，
由题意得：设 D 点坐标为D(3, m) ，E 点坐标为E(n, 0) ，F (6, 2)
: K (3, 0) ，M (3, 2) ，N (6, 0)，
: DK = m ，KE = n - 3 ，NE = n - 6 ，FN = 2 ，MF = 3 ，DM = 2 - m ， 若 △DEF 为等边三角形，则DF = DE = EF ，
: ，
即32 + (2 - m)2 = m2 + (n - 3)2 = (2)2 + (n - 6)2 ；
解得：m = 或m = -5 ，
故答案为：(3, -5)或(3, )．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，涉及到勾股定理，灵活运用所学知识是解题关键．
25 ． ； 1 + ．
【分析】本题考查一元一次方程和一元二次方程的应用，根据题目的整体思想运用的方法通 过设未知数建立方程是解题的关键．本题第一空参考示例中的方法，通过设未知数并建立方 程来求解；第二空利用整体思想，将连分数设为变量，通过方程求解其值．
【详解】解：设 x = ，由题意可得：
100x = 13 + x ，解得： ，
. . 13 即0.13的分数形式为 99 ；
设
根据题意，分母中的无限连分数与原式完全相同，因此分母即为y ，
于是方程可表示为 解得 或y = 1 - （舍去），
即此数的值为1+ ．
故答案为： ；1 + ．
【分析】分别求出矩形ODCE 与 △OAB 的面积，再根据“矩形ODCE 的面积是 △OAB 的面积 的 2 倍”列出方程求解即可．
【详解】解：∵一次函数y = x + k +1(k > 0) 的图象与x 轴和y 轴分别交于点A 和点B ， :取x = 0 ，则 y = k +1；取 y = 0 ，则 x + k +1 = 0 ，解得：x = -k - 1 ．
:点A 的坐标为(-k -1, 0) ，点 B 的坐标为(0, k +1) ， ∵ k > 0 ，
: OA = k +1 ，OB = k +1，
∵点C 是反比例函数 的图象在第一象限内一点， :矩形ODCE 的面积为OD . OE = k + 2 ，
当矩形ODCE 的面积是 △OAB 的面积的 2 倍时
解得： 或 ．
故答案为
【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，矩形的性质，求三角形的面积，一元二次方 程的解法等知识点，解题的关键是利用矩形与三角形的面积关系列出方程求解．
27 ．x = -2 或x = -5 或x = -7
【分析】本题考查解分式方程， 解一元二次方程，将等式左边展开后，进行因式分解，将方 程去分母，转化为整式方程，再次利用因式分解将方程转化为两个因式的积为 0 的形式，再 进行求解，最后进行检验即可．
解
(x + 6)2 (x + 2) = x + 2
(x + 6)2 (x + 2) - (x + 2) = 0
:(x + 2) = 0 或(x + 6)2 -1 = 0 ， : x = -2 或(x + 6)2 = 1，
: x = -2 或x + 6 = ±1，
: x = -2 或x = -5 或x = -7 ；
经检验x = -2 或x = -5 或x = -7是原方程的解．
:原方程的解为：x = -2 或x = -5 或x = -7 ．
(2) a = 3 ，b = 1 ，x = 3 ，y = 2 或a = 1 ，b = 3 ，x = 2 ，y = 3
【分析】本题主要考查分式的混合运算， 配方法求最小值，掌握分式的混合运算法则，配方 法的运用是解题的关键．
（1）根据题意得到 b = 4 - a ，则原式化简得 由配方法求最值的计算方法即 可求解；
（2）根据题意得到b = 4 - a ，则x + y = 11- 2ab = 2(a - 2)2 + 3 ，bx + ay = 4x - ax + ay = 9 ，所 以-ax + ay = 9 - 4x ，由(2 - a )(x -y ) = -4(a - 2)2 + 3 得到x -y = 4 (a - 2) - - ，令a - 2 = t ， 根据xy = 6 ，得到 由此即可求解．
【详解】（1）解： Qa + b = 4 ， :b = 4 - a ，
1 1
: + ，
a b + 1
a + b +1
= a (b +1)
Q - (çè a - 2 + ≤ ,
（2）解：Qa + b = 4 ， :b = 4 - a ，
:x + y = 11 - 2ab = 11 - 2a (4 - a ) = 2a2 - 8a + 11 = 2(a - 2)2 + 3 ， bx + ay = (4 - a )x + ay = 4x - ax + ay = 9 ，
:-ax + ay = 9 - 4x ，
:(2 - a )(x - y )
= 2x - 2y - ax + ay
= 2x - 2y + 9 - 4x
= -2(x + y) + 9
= -2(2a2 - 8a +11) + 9
= -4a2 +16a -13
= -4(a - 2)2 + 3 ，
Q xy = 6 ，
2 = 4xy = 24 ，即
整理得
解得t = ±1，
: a = 3 ，b = 1 ，x = 3 ，y = 2 或a = 1 ，b = 3 ，x = 2 ，y = 3 ．