辽宁省协作体2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 设集合.若，则的取值范围是（ ）
2. 已知，则（ ）
3. 已知函数.则为（ ）
4. 已知数列为正数项的等比数列，是它的前项和，若，且，则（ ）
5. 若（i为虚数单位，），则的最大值是（ ）
6. 将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像．已知函数在上有两个零点，则的取值范围为（ ）
7. 我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（ ）
8. 在等边三角形中，D、E、F分别在边上，且．则三角形面积的最大值是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列说法中，正确的有（ ）
10. 已知平面单位向量满足．设，向量与的夹角为，则的取值可以是（ ）
11. 已知焦点为的抛物线与圆交于两点，且，点在抛物线上，且过两点分别作抛物线的切线交于点，则下列结论正确的有（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 二项式的展开式中的常数项为______．
13. 设函数．若在上恒成立，则实数的取值范围为______．
14. 我国古代《九章算术》中将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童，关于“刍童”的体积计算曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘，把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知刍童的外接球（球心在该刍童体内）半径为5，且，则该刍童的体积是______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知数列的前项和满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前项和.
16. 如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为.
(1)求证：；
(2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值.
17. 在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，面试满分为100分，现随机抽取了120名候选人的面试成绩分为五组，第一组[45，55），第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三组的频率成等差数列，第一组的频率等于第五组的频率．
(1)求a，b的值，并估计这120名候选人成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）；
(2)已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，请补全下面列联表．请问是否有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关？（结果精确到0.001）
附：
(3)滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取4人服务该场地，记男生被抽中的人数为，求的分布列及期望．
18. 已知函数为的导函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若的两个极值点分别为和，且.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：．
19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若经过点且倾斜角为）的直线与椭圆交于M，N两点（其中点在轴上方）如图①.将平面xOy沿轴折叠，使点折至的位置，且轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直，如图②.

（i）当直线的倾斜角为时，求折叠后图②中的长度；
（ii）是否存在直线，使得折叠后的周长与折叠前的周长之比是3:4？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
辽宁省协作体2024-2025学年高三下学期第二次模拟考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、数列、等式与不等式、复数、三角函数与解三角形、平面解析几何、计数原理与概率统计、平面向量、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．偶函数且为增函数
B．偶函数且为减函数
C．奇函数且为增函数
D．奇函数且为减函数
A．34
B．32
C．30
D．28
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数的绝对值越接近于1
B．一组数据删除一个数后，得到一组新数据：12，14，15，17，19，19，20，21.若这两组数据的中位数相等，则删除的数是18
C．已知随机变量服从正态分布，若，则
D．若一组样本数据的平均数是3，方差是2，则8可能在这组数据中
A．
B．
C．
D．
A．拋物线C的方程为：
B．若三点共线，则点横坐标为
C．若三点共线，且倾斜角为，则的面积是
D．若点，且三点共线，则的最小值是9
志愿者
性别
合计
男生
女生
想去冰上赛区
35
20
不想去冰上赛区
合计
60
60
0.050
0.010
0.001
3.941
6.635
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
5
适中
11
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
根据元素与集合的关系求参数
2
0.85
比较指数幂的大小；由幂函数的单调性比较大小
3
0.65
函数奇偶性的定义与判断；用导数判断或证明已知函数的单调性
4
0.65
等比数列通项公式的基本量计算；求等比数列前n项和；等比中项的应用
5
0.85
基本不等式求积的最大值；复数的相等；复数的除法运算
6
0.85
三角函数图象的综合应用；求图象变化前（后）的解析式
7
0.65
求点到直线的距离；轨迹问题——圆
8
0.65
正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；辅助角公式
二、多选题
9
0.65
相关系数的意义及辨析；指定区间的概率；计算几个数的中位数；计算几个数的平均数
10
0.65
数量积的运算律；向量夹角的计算；用定义求向量的数量积
11
0.4
基本不等式求和的最小值；抛物线中的三角形或四边形面积问题；抛物线中的定直线
三、填空题
12
0.85
求二项展开式的第k项
13
0.65
利用导数研究不等式恒成立问题；由导数求函数的最值（含参）
14
0.65
台体体积的有关计算；多面体与球体内切外接问题
四、解答题
15
0.85
裂项相消法求和；利用an与sn关系求通项或项；利用定义求等差数列通项公式
16
0.65
线面垂直证明线线垂直；线面角的向量求法；证明线面垂直
17
0.65
独立性检验解决实际问题；求离散型随机变量的均值；由频率分布直方图估计中位数；由频率分布直方图估计平均数
18
0.4
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数证明不等式；函数单调性、极值与最值的综合应用
19
0.65
求平面两点间的距离；根据韦达定理求参数；根据椭圆过的点求标准方程；根据离心率求椭圆的标准方程
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
2,3,13,18
3
数列
4,15
4
等式与不等式
5,11
5
复数
5
6
三角函数与解三角形
6,8
7
平面解析几何
7,11,19
8
计数原理与概率统计
9,12,17
9
平面向量
10
10
空间向量与立体几何
14,16