安徽省淮南第四中学2024-2025学年高三下学期第一次调研考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 若集合，则（ ）
2. 若，则（ ）
3. 已知等差数列的前项和为，若，且，则（ ）
4. 空间中，已知两条直线，其方向向量分别为，则“”是“与所成角为”的（ ）
5. 某科技公司使用新开发的人像识别模型对5个人像进行识别，每个人像识别成功的概率均为p，且每次是否成功相互独立，设X为这5个人像中识别成功的个数，若，且全部识别成功的概率大于全部识别失败的概率，则p=（ ）
6. 函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
7. 若正整数a，b满足等式，且，则（ ）
8. 已知正方体的棱长为2，点为的中点，若点E，A，C，都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 一组样本数据．其中，，，求得其经验回归方程为：，残差为．对样本数据进行处理：，得到新的数据，求得其经验回归方程为：，其残差为，、分布如图所示，且，，则（ ）
10. 已知函数，则（ ）
11. 已知抛物线与围成的封闭曲线如图所示，设的上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 二项式的展开式中含项的系数为______．
13. 已知椭圆的左顶点为A，上，下顶点分别为B，C，右焦点为F，直线与交于点P，若，则________．（S表示面积）
14. 已知正三棱台的上、下底面边长分别为1和2，且体积不大于，若该棱台的外接球球心位于棱台内部（不含表面），则外接球表面积的取值范围是__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知，，函数．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，若，，且的面积为，求．
16. 为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测验得到了如表数据：
(1)依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．
(2)据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，且将频率视为概率、现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例依次抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自丙校的概率．
附：临界值表：
17. 已知抛物线的焦点为，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，设线段的中点分别为，证明：直线过定点．
18. 设函数.
(1)当时，证明：；
(2)若在上为增函数，求a的取值范围；
(3)证明：.
19. 如图，正四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面α与底面ABCD平行且与四棱锥的四条侧棱（不含端点）分别交于点E，F，G，H，四棱台与四棱锥的棱长和相等（“棱长和”指多面体的所有棱长之和）．
(1)若E是棱PA的中点，求四棱台的体积；
(2)求平面PAD与平面PBC的夹角的余弦值；
(3)已知四棱柱Ω的底面是边长为m的正方形，侧棱长为n，且侧棱与底面所在平面所成的角为，若平面α任意上下平移时，总存在正数m，n，使得四棱柱Ω与四棱台有相同的体积，也有相同的棱长和，求的取值范围．
安徽省淮南第四中学2024-2025学年高三下学期第一次调研考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、复数、数列、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、平面解析几何、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．72
B．108
C．120
D．144
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
A．0.8
B．0.6
C．0.4
D．0.2
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．2022
D．2023
A．
B．
C．
D．
A．样本正相关
B．
C．
D．处理后的决定系数变小
A．的图象关于点对称
B．在区间上单调递增
C．在区间上的极值点个数为4
D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到
A．恒关于点中心对称
B．若，则与的准线之间的距离为
C．若上一点的横坐标，则
D．若，且对于任意给定的常数，上任意一点均满足为定值，则的取值范围是
学校
数学成绩
合计
不优秀
优秀
甲校
30
10
40
乙校
20
20
40
合计
50
30
80
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
6
适中
8
较难
4
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；由对数函数的单调性解不等式
2
0.65
共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
3
0.85
利用等差数列的性质计算；求等差数列前n项和
4
0.85
判断命题的充分不必要条件；异面直线夹角的向量求法
5
0.85
二项分布的方差
6
0.85
由对数（型）的单调性求参数；根据函数的单调性求参数值；对数型复合函数的单调性
7
0.65
整除和余数问题；二项展开式的应用
8
0.4
多面体与球体内切外接问题；证明线面垂直；余弦定理解三角形；球的表面积的有关计算
二、多选题
9
0.85
用方差、标准差说明数据的波动程度；根据样本中心点求参数
10
0.65
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求sinx型三角函数的单调性；求图象变化前（后）的解析式；函数极值点的辨析
11
0.4
抛物线定义的理解；抛物线上的点到定点的距离及最值；抛物线的对称性的应用
三、填空题
12
0.94
求指定项的系数
13
0.65
椭圆中三角形（四边形）的面积
14
0.65
球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题；台体体积的有关计算
四、解答题
15
0.65
余弦定理解三角形；求sinx型三角函数的单调性；三角形面积公式及其应用；数量积的坐标表示
16
0.65
卡方的计算；利用全概率公式求概率；计算条件概率
17
0.65
抛物线的焦半径公式；抛物线中的直线过定点问题；直线与抛物线交点相关问题
18
0.4
利用导数证明不等式；裂项相消法求和；由函数在区间上的单调性求参数；利用导数研究不等式恒成立问题
19
0.4
锥体体积的有关计算；求二面角；由导数求函数的最值（不含参）
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,4
2
函数与导数
1,6,10,18,19
3
复数
2
4
数列
3,18
5
空间向量与立体几何
4,8,14,19
6
计数原理与概率统计
5,7,9,12,16
7
三角函数与解三角形
8,10,15
8
平面解析几何
11,13,17
9
平面向量
15