河北省衡水中学2024-2025学年高三下学期一模考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知向量，则在上的投影向量的长度为（ ）
2. 已知，其中为实数，则（ ）
3. 已知，则（ ）
4. 已知集合，则（ ）
5. 函数与函数的图象交点个数为（ ）
6. 近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（ ）
7. 已知是抛物线的焦点，是的准线，点是上一点且位于第一象限，直线的斜率为正数，且与圆相切，过点作的垂线，垂足为，则的面积为（ ）
8. 在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 关于 的展开式，下列说法中正确的是（ ）
10. 已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
11. 已知，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知一个正四棱台的上、下底面的边长分别为1和2，侧棱长为1，则该正四棱台的高为___________．
13. 如图，已知是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以为直径作圆，射线与圆交于点，则的取值范围为______.
14. 如图,一个粒子的起始位置为原点,在第一象限内于两正半轴上运动,第一秒运动到(0,1),而后它接着按图示在轴、轴的垂直方向来回运动,且每秒移动一个单位长度,如图所示,经过秒时移动的位置设为,那么经过2019秒时,这个粒子所处的位置的坐标是______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 在中，角、、所对的边分别为、、.从下面三个条件中选择两个，使得存在，并回答下列问题：①；②；③.
(1)求的值；
(2)当时，求的面积.
16. 如图1，在直角梯形中，，，，点是边的中点，将沿折起，使平面平面，连接，，，得到如图2所示的几何体.已知，且二面角的平面角的正切值为.
(1)求证：平面；
(2)计算线段的长度；
(3)求二面角的余弦值.
17. 焦点在x轴上的等轴双曲线E，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点A、B
(1)求双曲线E的方程；
(2)若，求直线AB的斜率；
(3)若点B关于原点的对称点C在第三象限，且，求直线AB斜率的取值范围．
18. 进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定满二进一，就是二进制；满十进一就是十进制；满十六进一，就是十六进制等.一般地，若是一个大于的整数，那么以为基数的进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式，其中，，，，且，，如，所以在三进制下可写为.
(1)将五进制数转化成三进制数.
(2)对于任意两个不同的位二进制数，，，记.
①若，求随机变量的分布列与数学期望；
②证明：.
19. 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下:如果函数满足如下条件：①在闭区间上的图象是连续的；②在开区间上可导，则在开区间上至少存在一个实数，使得成立，人们称此定理为“拉格朗日中值定理”.
(1)已知且，
（i）若恒成立，求实数的取值范围；
（ii）当时，求证：.
(2)已知函数有两个零点，记作，若，证明：
河北省衡水中学2024-2025学年高三下学期一模考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：平面向量、复数、三角函数与解三角形、集合与常用逻辑用语、函数与导数、数列、平面解析几何、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、算法与框图、竞赛知识点
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．10
D．20
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．204万元
B．220万元
C．304万元
D．320万元
A．
B．4
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．各项系数之和为1
B．第二项与第四项的二项式系数相等
C．常数项为60
D．有理项共有4项
A．
B．
C．
D．
A．的最小正周期为
B．在上是单调函数
C．的图象关于直线对称
D．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
4
适中
7
较难
4
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
数量积的坐标表示；求投影向量；坐标计算向量的模
2
0.94
复数的相等；复数加减法的代数运算
3
0.85
用和、差角的正弦公式化简、求值；二倍角的正切公式
4
0.65
交集的概念及运算；由指数函数的单调性解不等式；由对数函数的单调性解不等式
5
0.85
对数函数图象的应用；五点法画正弦（型）函数的图象；函数图象的应用
6
0.65
数列-产值增长
7
0.65
过圆外一点的圆的切线方程；直线与抛物线交点相关问题；根据抛物线方程求焦点或准线
8
0.4
多面体与球体内切外接问题；证明线面垂直
二、多选题
9
0.94
求二项展开式的第k项；求有理项或其系数；二项展开式各项的系数和
10
0.65
求曲线切线的斜率（倾斜角）
11
0.4
由导数求函数的最值（不含参）；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求正弦（型）函数的最小正周期
三、填空题
12
0.85
正棱台及其有关计算；柱、锥、台体的轴截面
13
0.65
定点到圆上点的最值（范围）；轨迹问题——圆；椭圆定义及辨析
14
0.4
累加法求数列通项；等差数列与等比数列综合应用
四、解答题
15
0.65
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；正弦定理边角互化的应用
16
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法；由二面角大小求线段长度或距离
17
0.4
求双曲线中三角形（四边形）的面积问题；双曲线向量共线比例问题；等轴双曲线
18
0.15
写出简单离散型随机变量分布列；不同进制数的互化；组合数的性质及应用；求离散型随机变量的均值
19
0.15
构造函数；函数新定义；利用导数求函数的单调区间（不含参）；利用导数证明不等式
序号
知识点
对应题号
1
平面向量
1
2
复数
2
3
三角函数与解三角形
3,5,11,15
4
集合与常用逻辑用语
4
5
函数与导数
4,5,10,11,19
6
数列
6,14
7
平面解析几何
7,13,17
8
空间向量与立体几何
8,12,16
9
计数原理与概率统计
9,18
10
算法与框图
18
11
竞赛知识点
19