2026届高三数学一轮复习讲义（标准版）第十章10.1计数原理与排列组合（Word版附答案）

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课标要求 1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概念.3.能利用计数原理、排列组合解决简单的实际问题.
1.两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
2.排列与组合的概念
3.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示.
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有 的个数，用符号 表示.
4.排列数、组合数的公式及性质

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同.( )
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.( )
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( )
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.( )
2.从6名班委中选出2人分别担任正、副班长，一共有 种选法( )
A.11B.12C.30D.36
3.(多选)下列结论正确的是( )
A.3×4×5=A53B.C52+C53=C62
C.若C10x=C102x-2，则x=3D.C70+C72+C74+C76=64
4.由于用具简单，趣味性强，象棋成为流行极为广泛的棋艺活动.某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”吃掉“马”的最短路线中随机选择一条路线，则能顺带吃掉“炮”的可能路线有 条.
1.元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.
2.(1)排列数与组合数之间的联系为CnmAmm=Anm.
(2)排列数与组合数公式的两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数与组合数式子的变形与论证.
3.解有条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
4.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
题型一 计数原理
例1 (1)用3种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有 种不同的涂色方案( )
A.243B.32
C.48D.1 280
(2)如图，在某海岸P的附近有三个岛屿Q，R，S，计划建立三座独立大桥，将这四个地方连起来，每座桥直线连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有( )
A.24种B.20种
C.16种D.12种
思维升华 完成一件事的方法种数的计算步骤
(1)审清题意，弄清要完成的事件是怎样的.
(2)分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种.
(3)弄清在每一类或每一步中的方法种数.
(4)根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数.
跟踪训练1 (1)(2024·成都模拟)某高中运动会设有8个项目，甲、乙两名学生每人随机选取3个项目报名参加，则至少选中2个相同项目的报名方法有( )
A.420种B.840种
C.476种D.896种
(2)如图，某种雨伞架前后两排共8个孔，编号分别为1~8号.若甲、乙、丙、丁四名同学要放伞，每个孔最多放一把伞，则甲放在奇数孔，乙放在偶数孔，且丙、丁没有放在同一排的放法有( )
A.68种B.136种
C.272种D.544种
题型二 排列、组合问题
例2 (1)甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有( )
A.27种B.18种
C.36种D.48种
(2)某单位开展联欢活动，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖和鼓励奖共五种奖项.甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同.甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖项介于丁和戊之间”.根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是( )
A.15B.18
C.22D.26
思维升华 排列问题和组合问题的区分方法
(1)排列问题：若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
(2)组合问题：若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
跟踪训练2 (1)(2025·德阳模拟)甲、乙等6名数学竞赛国家集训队队员站成一排合影，若甲、乙两名同学中间恰有1人，则不同的站法数为( )
A.144B.192C.360D.480
(2)某学校开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分配成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则两个小组不同的分配方案有( )
A.20种B.40种C.60种D.80种
题型三 排列、组合的综合问题
命题点1 相邻、相间问题
例3 (多选)某产品的加工过程有甲、乙、丙、丁、戊5道不同的工序，现将5道工序按不同的顺序安排流程，则下列说法正确的是( )
A.如果甲工序不能放在第一道，共有96种加工顺序
B.如果甲、乙两道工序必须相邻，共有12种加工顺序
C.如果甲、丙两道工序必须不相邻，共有72种加工顺序
D.如果乙、丙两道工序必须乙在前，丙在后，共有40种加工顺序
命题点2 定序问题
例4 花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不同取法种数为 .
命题点3 分组、分配问题
例5 第41届全国青少年信息学奥林匹克竞赛于2024年7月16~22日在重庆市育才中学成功举办.在本次竞赛组织过程中，有甲、乙等5名新教师参加了接待、咨询、向导三个志愿者服务项目，每名新教师只参加一个服务项目，每个服务项目至少有一名新教师参加.若5名新教师中的甲、乙两人不参加同一个服务项目，则不同的安排方案有( )
A.108种B.114种
C.150种D.240种
思维升华 求解排列组合问题的6种主要方法
跟踪训练3 (1)8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，则所有可能的分组方案数量是( )
A.28B.2 520C.105D.128
(2)(多选)(2024·揭阳模拟)身高各不相同的六位同学A，B，C，D，E，F站成一排照相，则说法正确的是( )
A.A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法
B.A与C同学不相邻，共有A44A52种站法
C.A，C，D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有144种站法
D.A不在排头，B不在排尾，共有504种站法
递推数列在计数原理中的应用
在计数原理中，当计数的基数较大时，用枚举法会显得非常困难.如果问题带有明显的递推特征，把此类计数问题的基数从有限个且数目很少推广到n个，运用数列知识建立递推关系，经过推广就可以解决这类计数问题.
典例 (1)有A1，A2，…，A6共六个人，他们的座位分别为B1，B2，…，B6，现在求每一个人坐一个座位，且都不坐自己座位，则共有 种不同的坐法( )
A.9B.16
C.44D.265
(2)如图，一个环形的大会场被分成了n个区域，现有k种不同颜色的服装提供给n个区域的观众，要求同一区域的观众着装颜色相同，且相邻区域的观众着装颜色不同.当k＝5，n＝6时，共有 种不同的着装方法.
答案精析
落实主干知识
1.(1) m+n (2)m×n
2.一定的顺序
3.(1)不同排列 Anm (2)不同组合 Cnm
4.n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n！(n-m)！ n！m！(n-m)！ 1 n！ Cnm+Cnm-1
自主诊断
1.(1)× (2)× (3)× (4)√
2.C 3.AD 4.6
探究核心题型
例1 (1)C [从左到右依次涂色，第一个圆环可以涂3种颜色，第二、三、四、五个圆环各可以涂2种颜色，共有3×2×2×2×2=48(种)不同的涂色方案.]
(2)D [可分为两类：
第一类：从一个地方出发向其他三个地方各建一座桥，共有4种不同的连接方式；
第二类：一个地方最多建两座桥，其中建桥连接方式：P-S-R-Q和Q-R-S-P属于相同的建桥方法，所以共有12×A44=12(种)不同的连接方式，其中交叉建桥方法，例如P-R-S-Q，P-R-Q-S，R-P-S-Q，R-P-Q-S不符合题意，共有4种，
所以第二类建桥方法共有12-4=8(种)不同的连接方式.
综上可得，不同的连接方式有4+8=12(种).]
跟踪训练1 (1)D [由题意可知，可以分两种情况：
第一种情况：所选取的3个项目中恰有2个相同项目，
第一步，在8个项目中选取2个，共有C82=28(种)，
第二步，甲在剩下的6个项目中选取1个，共有C61=6(种)，
第三步，乙在剩下的5个项目中选取1个，共有C51=5(种)，
由分步乘法计算原理可知，共有28×6×5=840(种)；
第二种情况：所选取的3个项目全部相同，
则有C83=56(种)；
由分类加法计数原理可知，满足要求的报名方法一共有840+56=896(种).]
(2)C [根据题意，分2种情况讨论：
①甲乙放在同一排，
有C21C21C21C21C41A22=128(种)放法，
②甲乙不放在同一排，
有C21C21C21C31C31A22=144(种)放法，
则有128+144=272(种)不同的放法.]
例2 (1)A [当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有C31C32=9(种)；当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有C32C42=18(种)，则甲、乙总的选法有9+18=27(种).]
(2)D [甲是特等奖，不考虑丙的奖项有A44种；甲不是特等奖，不考虑丙的奖项有C31C31A33种；而丙奖项在丁和戊之间的情况占13，所以5人的奖项的所有可能的种数是13(A44+C31C31A33)=26.]
跟踪训练2 (1)B [根据题意，分2步进行分析：
①在其他4人中，选出1人，安排在甲、乙中间，有C41A22=8(种)情况；
②将3人看成一个整体，与其余3人全排列，有A44=24(种)排法.
则有8×24=192(种)不同的站法.]
(2)C [由题意可知两名男生必须分开在两组，则有1女1男为一组，余下的人为一组；
2女1男为一组，余下的人为一组；
3女1男为一组，余下的人为一组；
4女1男为一组，余下的人为一组；
所以两个小组不同的分配方法有C21(C51+C52+C53+C54)=60(种).]
例3 AC [如果甲工序不能放在第一道，则甲有4种安排方式，根据分步乘法计数原理，共有C41A44=4×4×3×2×1=96(种)加工顺序，故A正确；
甲、乙两道工序相邻，将甲和乙捆绑为一道工序，和剩余3道工序放在一起排序，则共有A22A44=2×4×3×2×1=48(种)加工顺序，故B错误；
如果甲、丙两道工序不能相邻，则先安排剩余3道工序，在形成的4个空中，安排甲、丙，故共有A33A42=3×2×1×4×3=72(种)加工顺序，故C正确；
现将5道不同的工序全排列，再除以乙、丙两道工序的全排列，故共有A55A22=5×4×3×2×12×1=60(种)加工顺序，故D错误.]
例4 90
解析 由题意，取下6盏不同的花灯，
先对6盏不同的花灯进行全排列，共有A66种方法，
因为每次只取一盏花灯，而且只能从下往上取，
所以必须除去不符合题意的排列顺序，即先取上方的顺序，故不同取法种数为A66A22A22A22=90.
例5 B [5名新教师按3∶1∶1分组有C53种方法，按2∶2∶1分组有C52C32A22种分法，因此5名新教师的安排方案有C53+C52C32A22A33种，当甲、乙在同一组时，甲、乙可视为1个人，即相当于4名新教师的安排方案，有C42A33种，所以所求不同的安排方案有C53+C52C32A22A33-C42A33=25×6-6×6=114(种).]
跟踪训练3 (1)C [由题意8名同学以2人为一组分为学习小组完成学习任务，则所有可能的分组方案数量是C82C62C42C22A44=28×15×624=105.]
(2)ABD [将A，C，D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有A66A33=120(种)站法，故A正确；
先排B，D，E，F，共有A44种站法，A与C同学插空站，有A52种站法，故共有A44A52种站法，故B正确；
将A，C，D三位同学捆绑在一起，且A只能在C与D的中间，有2种站法，捆绑后有A44种站法，故共有2×A44=48(种)站法，故C错误；
当A在排尾，B随意站时，则有A55=120(种)站法；当A不在排头也不在排尾时，有A41种站法，B有A41种站法，剩下的同学随意站有A44种站法，共有A41A41A44=384(种)站法，故A不在排头，B不在排尾，共有120+384=504(种)站法，故D正确.]
微拓展
典例 (1)D [记n个人坐位子且自己不坐自己的座位的方法数构成一个数列{an}，易得a2=1，a3=2，
当n≥4时，首先，让A1选位，A1不选B1，则共有n-1种坐法，不妨设A1选了Bk(k≠1)，然后再让Ak选位，
①当Ak选B1时，则余下n-2个人和n-2个座位，共有an-2种坐法；
②当Ak不选B1时，则余下n-1个人都有一个不能选的座位，则共有an-1种坐法，
所以an=(n-1)(an-2+an-1)，
所以a4=3(a2+a3)=9，
a5=4(a3+a4)=44，
a6=5(a4+a5)=265.]
(2)4 100
解析 设提供k种颜色来给排成环形的n个区域涂色且相邻区域不同色，记方法数为fk(n)，
若先考虑给n个排成一行的区域涂色且相邻区域不同色，则方法数应为k·(k-1)n-1，
①若区域1和区域n不同色，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时满足条件；
②若区域1和区域n同色，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时不满足条件，此方法数需从k·(k-1)n-1种方法中减掉.
所以fk(n)=k·(k-1)n-1-fk(n-1)，
易得f5(3)=A53=60，
所以f5(4)=5×(5-1)3-f5(3)=260，
所以f5(5)=5×(5-1)4-f5(4)=1 020，
所以f5(6)=5×(5-1)5-f5(5)=4 100.
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照 排成一列
组合
作为一组
公
式
(1)Anm= = (n，m∈N*，且m≤n).
(2)Cnm=AnmAmm= (n，m∈N*，且m≤n).
性
质
(1)0！= ；Ann= .
(2)Cn0=1；Cnm=Cnn-m；Cn+1m= .
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题
除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法
正难则反、等价转化