湖南省岳阳县一中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷

这是一份湖南省岳阳县一中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷，共28页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知集合 A  {x  N |1  x  6}， B  {x | 4  x  0} ，则 A ∩ B  （）
2, 3, 4
3
2
2, 3
三角形的下列各线的交点是重心的是（）
A. 垂直平分线B. 中线C. 角平分线D. 垂线
下列不是同一集合的是（）
A  {x∣x  2n，n  N 且0  n  5}，B  2，4，6，8
A  {x∣x  1}，B  {y∣y  1}
A  x∣y  x 1，B   x，y ∣y  x 1
A  {x∣x  0，x  N}，B  {x∣x  0，x  Z}
已知 a ， b ， c  R ，则下列命题正确的是（）
若 ab  0 且 a  b ，则 1  1
ab
若0  a  1，则 a3  a
若 a  b  0 ，则 b  1  b
a  1a
若c  b  a 且ac  0 ，则cb2  ab2
等腰三角形的腰为 5，底为 6，则等腰三角形内切圆的半径为（）
325
B.
28
C. 4D. 2
如图， A 某公园的入口， B, C, D, E, F 是不同的出口，若小华从A 进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为（）
1
A B.
3
2C. 1D. 3
2
55
如图， V ABC 的三个顶点都在一圆上， 固定 A 将V ABC 依顺时针方向旋转， 旋转后的三角形为
△ABC ，且 B 会落在同一圆上，其中 AB 与 AC的夹角为 x ．若∠BAC  27∘，∠CBA  31∘ ，则 x 值 为多少？（）
A. 27B. 31C. 32D. 37
如图，抛物线 y  x2  2x  2 交 y 轴于点A ，交 x 轴正半轴于点C ，顶点为 B ．则下列说法中错误的是
（）
一元二次方程x2  2x  2  3  0 有两个相等的实数根
若点 M 2, y1 ，N 1, y2 ，P 2, y3  均在该抛物线上，则y1  y3  y2
在 y 轴上找一点 D ，使△ABD 面积为 1，则点 D 的坐标为0, 4
将该抛物线先向左平移 1 个单位长度，再沿 x 轴翻折，得到的新抛物线解析式是 y  x2  3
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法错误的是（）
两直线平行，同旁内角相等
对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
相等的弦，所对的圆周角相等
平行于同一条直线的两条直线互相平行
下列命题是真命题的是（）
在V ABC 中，∠A 是锐角是V ABC 为锐角三角形的充分不必要条件
在V ABC 中，∠A 是钝角是V ABC 为钝角三角形的充要条件
A  B 是 A  B  A 的充要条件
x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分也不必要条件
已知 x  0，y  0 ，且 x  2 y  1，下列结论中正确的是（）
xy 的最大值是 1
8
3 xy  3 y2 的最大值是 1
24
1  2 的最小值是 9D.
xy
x2  4 y2 的最小值是 1
2
三、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
分解因式 x2  2xy  3y2  ．
已知集合 A  x 1  x  3，B  x 0  x  4，则ðR  A  B  ．
如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，点 A, B, C, D 都在格点处， AB 与CD 相交于点 P ，则sin∠APC 的值为．
如图，在菱形 ABCD 中， AB  2,∠B  120∘ ，点O 是对角线 AC 的中点，以点O 为圆心， OA 长为半径作圆心角为60 的扇形OEF ，点 D 在扇形OEF 内，则图中阴影部分的面积为．
​
x2  1
x2
 2x  2 1  0 ，则 x3  1 ．
xx3
如图，已知点 P 是反比例函数 y  3  x  0 图象上一动点，点 A1,1 ，则V AOP 的面积的最小值为
x
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）先化简，再求值：
m2  2m 1 m2

22

1 ，其中 m  cs60∘ ．
m 1
 m  m
（2）已知 x 
2 1，y 
2 1
，求 x2  xy  y2 的值
2 1
2 1
如图，在V ABC 中， BD 平分∠ABC ， BD 的垂直平分线分别交 AB，BD，BC 于点 E, F , G ，连接
DE, DG ．
求证：四边形 BGDE 是菱形；
若EDG  30, C  45, ED  6 ，求VDGC 的面积．
如图，一次函数 y   2 x  6 的图象与 x 轴， y 轴分别交于 F ， E 两点，与反比例函数 y  k 的图象交
3x
于点 Aa, 4, B b, 2, AD  x 轴于点 D, BC  x 轴于点C ，
求 a, b 的值及反比例函数的表达式．
9
若 P 为线段CD 上的一点，连接 PA，PB ，当 SVABP  2 时，求点 P 的坐标．
在 x 轴上是否存在点Q ，使得V ABQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
设 y  mx2  1 m x  m  2 ．
若不等式 y  2 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围；
解关于 x 的不等式 mx2  1 m x  m  2  m 1m  R ．
如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y  ax2  bx  c a  0 与 x 轴交于点 A6，0, B 2，0 ，与 y
轴交于点C ，且OB  OC ，连接 AC，BC ．
求该抛物线的解析式．
如图 2，已知在直线 AC 下方抛物线上有一动点 P，x 轴上有一动点 D ．过点 P 作 PQ ∥ y 轴交 x 轴
于点Q ，过点Q 作QN ⊥直线 BC 于点 N ．当 PQ 2QN 取得最大值时，求 PD  ND 的最大值．
10
如图 3，将原抛物线沿射线CA 方向平移个单位长度， M 是平移后新抛物线位于 x 轴上方的一
动点，且CAM  OCB  2OAC ，求出点 M 的横坐标．
县一中 2025 级新生学科素养测试数学试卷
时量：120 分钟分值：120 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【分析】先求出集合A ， B ，再根据交集的定义求解即可.
【详解】因为 A  {x  N |1  x  6}  {2, 3, 4, 5} ， B  {x | 4  x  0}  {x | x  4}，所以 A  B  2, 3 .
故选：D.
三角形的下列各线的交点是重心的是（）
A. 垂直平分线B. 中线C. 角平分线D. 垂线
【答案】B
【解析】
【分析】根据中线的定义即可求解.
【详解】三角形的重心是三角形三条边上中线的交点，故选：B
下列不是同一集合的是（）
A  {x∣x  2n，n  N 且0  n  5}，B  2，4，6，8
A  {x∣x  1}，B  {y∣y  1}
A  x∣y  x 1，B   x，y ∣y  x 1
A  {x∣x  0，x  N}，B  {x∣x  0，x  Z}
【答案】C
【解析】
【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断.
1. 已知集合
A. 2, 3, 4
A  {x  N |1  x  6}， B
B. 3
 {x | 4  x  0} ，则 A ∩ B  （
C. 2
）
D. 2, 3
【答案】D
【解析】
【详解】对于 A，由 n  N, 0  n  5 ，得 n  1, 2, 3, 4 ，∴ A  {x∣x  2n，n  N 且
0  n  5}  2，4，6，8  B ，故 A 不正确；
对于 B，Q A  {x∣x  1}  1, ，B  {y∣y  1}  1,  ，∴ A  B ，故 B 不正确；
对于 C，集合 A  x∣y  x 1 是数集， B   x，y ∣y  x 1是点集，∴ A  B ，故 C 正确；
对于 D， A  {x∣x  0, x  N}  1, 2, 3,, B  {x∣x  0, x  Z}  1, 2, 3,, ∴ A  B ，故 D 不正确.故选：C.
已知 a ， b ， c  R ，则下列命题正确的是（）
若 ab  0 且 a  b ，则 1  1
ab
若0  a  1，则 a3  a
若 a  b  0 ，则 b  1  b
a  1a
若c  b  a 且ac  0 ，则cb2  ab2
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质，逐项寻找反例即可求解.
【详解】对于选项 A，
当 a  0  b 时，满足 ab  0 且 a  b ，但是不满足 1  1 ，故选项 A 错误；
ab
对于选项 B，
0  a  1，所以a2
 1，所以 a(a2  1)  0 ，即 a3  a  0 ，即 a3  a ，故选项 B 正确；
对于选项 C，
当1  a  0 时， a(a 1)  0
若 b  1  b 成立则需a  (a 1) b 1  b a  (a 1)，所以 ab  a  ab  b ，所以 a  b 与 a  b  0 矛
a  1a
盾，
a 1a
故选项 C 错误；对于选项 D，
当b  0 时，若c  b  a 且ac  0 ，则cb2  ab2 不能得出cb2  ab2 ，故选项 D 错误.故选：B.
等腰三角形的腰为 5，底为 6，则等腰三角形内切圆的半径为（）
325
B.
28
C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质结合勾股定理，通过等面积法进行求解即可．
【详解】如图， AB  AC  5, BC  6 ， eO 为V ABC 的内切圆，与三边相切于点 D, E, F ，连接
OA, OB, OC ， AD ，
则点O 是V ABC 三条角平分线的交点， OF  AB, OD  BC, OE  AC ，
∴ AO  BC ， OD  OE  OF ，
∴ A, O, D 三点共线，
∴ BD  1 BC  3 ，
2
AB2  BD2
∴ AD 
∵ SV ABC =
 4 ，
SV AOB + SV AOC + SVCOB ，
∴ 1 BC  AD  1 AB  OF  1 BC  OD  1 AC  OE ，
2222
即 BC  AD   AB  BC  AC  OE ，
∴ 6  4  5  5  6 OE ，∴ OE  24  3 ，
162
即eO 的半径为 3 .
2
故选：A．
如图， A 某公园的入口， B, C, D, E, F 是不同的出口，若小华从A 进入公园，随机选择出口离开公园，则恰好从东面出口出来的概率为（）
1
B.
3
2C. 1D. 3
2
55
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据古典概型的概率公式即可求解.
【详解】由题意，一共有五个出口，其中东面有 D, E, F 三个出口，因为可以随机选择出口，即从每个出口出来的概率相等，
3
所以恰好从东面出口出来的概率为 .
5
故选：D
如图， V ABC 的三个顶点都在一圆上， 固定 A 将V ABC 依顺时针方向旋转， 旋转后的三角形为
△ABC ，且 B 会落在同一圆上，其中 AB 与 AC的夹角为 x ．若∠BAC  27∘，∠CBA  31∘ ，则 x 值 为多少？（）
A. 27B. 31C. 32D. 37
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆的性质，结合全等的性质，即可由三角形的内角和求解.
【详解】连接 BB,
由于△ABC 与V ABC 全等，所以 AB  AB ，又 ABBC 为圆的内接四边形，
故ABB  ABB  180  ACB  ABC  BAC  58∘ ，
因此在V ABB 中， ABB  ABB  x  CAB  180 ，即58  58  x  27  180 ，故 x  37 .
故选：D
如图，抛物线 y  x2  2x  2 交 y 轴于点A ，交 x 轴正半轴于点C ，顶点为 B ．则下列说法中错误的是
（）
一元二次方程x2  2x  2  3  0 有两个相等的实数根
若点 M 2, y1 ，N 1, y2 ，P 2, y3  均在该抛物线上，则 y1  y3  y2
在 y 轴上找一点 D ，使△ABD 面积为 1，则点 D 的坐标为0, 4
将该抛物线先向左平移 1 个单位长度，再沿 x 轴翻折，得到的新抛物线解析式是 y  x2  3
【答案】C
【解析】
1
2
【分析】解出方程的根即可判断 A；将横坐标代入解析式求出纵坐标，比较后即可判断 B；设点 D 0, a ，
则 SV ABD

a  2 1  1，求解即可判断 C；将抛物线方程写成顶点式，再写出平移之后的解析式，再沿 x
轴翻折，即可判断 D.
【详解】选项 A，整理方程得 x 12  0 ，解得 x  1 ，即原方程有两个相等的实数根，故 A 正确；选项 B，分别将点 M 2, y1 ，N 1, y2 ，P 2, y3  的横坐标代入解析式，
得 y  22  2 2  2  6, y  12  2 1 2  3, y  22  2  2  2  2 ，
123
所以 y1  y3  y2 ，故 B 正确；
选项 C，当 x  1 时， y  3 ，即点 B 1, 3 ，当 x  0 时， y  2 ，即 A0, 2 ，
1
2
设点 D 0, a ，则 SV ABD a  2 1  1，解得 a  0 或 4，即 D 的坐标为0, 0 或0, 4 ，故 C 错误；
选项 D，因 y  x2  2x  2   x 12  3 ，将该抛物线先向左平移 1 个单位长度得 y  x2  3 ，再沿 x 轴翻折得 y  x2  3 ，故 D 正确.
故选：C.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
下列说法错误的是（）
两直线平行，同旁内角相等
对角线相等且互相垂直的四边形是矩形
相等的弦，所对的圆周角相等
平行于同一条直线的两条直线互相平行
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据图形相关理论逐项分析判断即可.
【详解】两直线平行，同旁内角互补，故 A 说法错误；
当对角相等但不平分时不一定是矩形，如下图，满足对角线相等且互相垂直但图形是等腰梯形，
只有对角线相等且互相平分的平行四边形才是矩形，故 B 说法错误；在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，故 C 说法错误；
平行于同一条直线的两条直线互相平行，故 D 说法正确.故选：ABC.
下列命题是真命题的是（）
在V ABC 中，∠A 是锐角是V ABC 为锐角三角形的充分不必要条件
在V ABC 中，∠A 是钝角是V ABC 为钝角三角形的充要条件
A  B 是 A  B  A 的充要条件
x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分也不必要条件
【答案】CD
【解析】
【分析】对于选项 A,B：结合三角形的性质即可判断；对于选项 C：利用集合间的关系与运算即可判断；对于选项 D:根据有理数的运算性质即可判断.
【详解】对于选项 A：在V ABC 中，∠A 是锐角，则∠B 可能为锐角，直角或钝角，故无法得出V ABC
一定为锐角三角形；
若V ABC 为锐角三角形，根据锐角三角形的定义可知V ABC 的三个内角均为锐角的三角形，所以∠A 是锐角是V ABC 为锐角三角形的必要不充分条件，故选项 A 错误；
对于选项 B：当∠A 是钝角时，则V ABC 为钝角三角形；当V ABC 为钝角三角形不一定能推出∠A 是钝角，
所以∠A 是钝角是V ABC 为钝角三角形的充分不必要条件，故选项 B 错误；
2
对于选项 C：根据交集的性质易知 A  B 是 A ∩ B  A 的充要条件，故选项 C 正确；对于选项 D:当 x  2, y 时，此时 xy  2 2 Q ；
2
当 xy  2 Q ，此时满足的解可以为 x 2, y ，
所以 x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分也不必要条件，故选项 D 正确.故选：CD.
已知 x  0，y  0 ，且 x  2 y  1，下列结论中正确的是（）
xy 的最大值是 1
8
3 xy  3 y2 的最大值是 1
24
1  2 的最小值是 9D.
xy
x2  4 y2 的最小值是 1
2
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据均值不等式可判断 A，由二次函数可判断 B，由“1”的变形及均值不等式判断 C，式子变形后由 A 结论判断 D.
【详解】对 A，因为 x  2 y  1  2 2xy ， xy  1 ，当且仅当 x  2 y  1 时等号成立；故 A 正确；
82
对 B，因为 x  1 2 y  0 ，所以 0  y  1 ，则 3 xy  3 y2   9 y2  3 y ，当 y  1 时 y 1 ，故 B
错误；
22442
3max4
2x 2 y
yx
对 C， 1  2  ( 1  2 )(x  2 y)  5  2x  2 y  5  2 9 ，当且仅当 2x  2 y ，即 x  y  1 时
xyxyyxyx3
取“=”，故 C 正确；
对 D， x2  4 y2   x  2 y 2  4xy  1 4xy ，由 A 知(xy)
故 D 正确.
max
 1 ，所以(x2  4 y2 ) 8
min
 1 4  1  1 ，
82
故选：ACD.
三、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
分解因式 x2  2xy  3y2  ．
【答案】 x  3y  x  y 
【解析】
【分析】利用 x2  2xy  3y2  x2  3xy  xy  3y2 ，再提公因式即可.
【详解】 x2  2xy  3y2  x2  3xy  xy  3y2  x  x  3y   y  x  3y    x  3y  x  y  .
故答案为：  x  3y  x  y  .
已知集合 A  x 1  x  3，B  x 0  x  4，则ðR  A  B  ．
【答案】, 0∪3, 
【解析】
【分析】先根据集合的运算求出 A  B ，再根据补集的定义即可求解.
【详解】由已知集合 A  x 1  x  3，B  x 0  x  4，所以 A  B  0, 3 ，所以ðR  A  B  ∞, 03, ∞ .
故答案为： ∞, 03, ∞ .
如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，点 A, B, C, D 都在格点处， AB 与CD 相交于点 P ，则sin∠APC 的值为．
【答案】 5 ## 15
55
【解析】
【分析】在点C 正下方一个的格点记为 E ，连接 BE, AE ,由勾股定理逆定理可以证明AEB  90 ，利用三角函数的定义即可计算.
【详解】在点C 正下方一个的格点记为 E ,连接 BE, AE ,
结合题意易得： BE / /CD ，所以APC  ABE ,
22 12
22  42
5
设每个小正方形的边长为 1,
32  42
则 AB 
 5, AE

5, BE

 2，
2
所以 AB AE 2  BE 2 ,即AEB  90 ，
AE
AB
在直角V AEB 中， sin ABE 5 ，
5
所以sin APC  sin ABE 5 .
5
故答案为： 5
5
如图，在菱形 ABCD 中， AB  2,∠B  120∘ ，点O 是对角线 AC 的中点，以点O 为圆心， OA 长为
半径作圆心角为60 的扇形OEF ，点 D 在扇形OEF 内，则图中阴影部分的面积为．
【答案】 π 3
24
【解析】
1
【分析】通过添加辅助线，利用全等知识证明VMOD VNOD1 ，进而得到 S四边形MOND  SV DOD , 再利用扇形的面积公式即可求解.
【详解】如图：连接OD ,因为在菱形 ABCD 中， AB  2,∠B  120∘ ，点O 是对角线 AC 的中点，
所以 AD  CD 
AB  2 ,∠ADC  ∠B  120∘ ， OD  AC, MDO  CDO  1 ADC  60 ,
3
2
所以 OA 
AD sin 60 ，所以 OE
 OF
 OA 3.
1
2
在CD 上取点 D ，使得 DD  OD ，连接OD ，则 OD CD  1,
1111
所以VDOD1 为等边三角形，
所以DOD1  ODD1  60  MDO , OD1
设OF 交 AD 于点 M , OE 交CD 于点 N ,
 OD ，
因为MOD  DON  60  NOD1  DON ,
1
所以MOD  NOD1 ，所以VMOD VNOD1 ，所以 S四边形MOND  SV DOD ,
60π 3 2
所以 S S
 S 1 1
3  π 3 .
阴影扇形EOF
V DOD1
3602224
故答案为： π 3 .
24
16.
x2  1
x2
 2x  2 1  0 ，则 x3  1 ．
xx3
【答案】18
【解析】
2
【分析】将已知等式通过配方转化为 x  1   2  x  1   3  0 ，求得 x  1  3 ，将 x3  1 分解因式
x x 

xx3

结合配方再代入即可.
【详解】由 x2  1
x2
 2x  2 1  0 ，则 x2  1
xx2
 2  2x  2  3  0
x
1 21 
11
得 x    2  x    3  0 ，∴  x  x 1 x  x  3  0 ，
x x 

∴ x  1  1 或 x  1  3 ，当 x  1  1 时， x2  x 1  0 ，
xxx
此时  3  0 ，故 x  1  1 舍去；∴ x  1  3 ，
xx
由立方和公式得 x3  1   x  1  x2 1 1 
x3x x2 


1  
1 2
2
xx
  x    x  
 
故答案为： 18 .
 3  3 3

 3  18 .
如图，已知点 P 是反比例函数 y  3  x  0 图象上一动点，点 A1,1 ，则V AOP 的面积的最小值为
x
．
3
【答案】
【解析】
【分析】设 P  a, 3 , a  0 ，结合反比例函数的几何性质，用 a 表示出V AOP 的面积，再用基本不等式求
a 

最小值即可.
【详解】如图：
过点A 作 x 轴的垂线 AH ，垂足为 H ，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 F .
结合题意可设点 P  a, 3 , a  0 ，
a 

则 F a, 0 ， H 1, 0 .
所以 S
 1 1 3 a 1  1  4  a  3  ， S 1 ， S 3 .
梯形AHFP2 a 
2 a 
V AOH2
V POF2
所以 S

a  3
a
3
 1  4  a  3   1  3  1  a  3   1  2，
V AOP2 
a 222 
a 2

当且仅当a  3 即 a 
a
3 时取等号.
3
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）先化简，再求值：
m2  2m 1 m2

22

1 ，其中 m  cs60∘ ．
m 1
 m  m
（2）已知 x 
2 1，y 
2 1
，求 x2  xy  y2 的值
2 1
2 1
11235
【答案】（ ） 2 ，（ ）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式以及平方差公式，结合提取公因式，即可化简，代入即可求解，
（2）利用分母有理化化简 x, y ，即可由完全平方公式变形求解.
m2  2m 1 m2m 12mm 1 m m 1
【详解】（1）21 2  1 m ，
m2 1m  mm 1m 1m  mm 1m

将 m  cs60∘  1 代入可得1 m  1 1  1 ，
（2）
2
1 
2
2
2
1
1
22
2
2
1
12
2
2
2
2
x ==1  3  2 2，y  1  3  2,
2
2
2
2
2
1 11

1
1
2
2
故 x  y  3  2 3  2 6, xy  3  2 2 3  2 2   1 ，
则 x2  xy  y2   x  y 2  xy  36 1  35
如图，在V ABC 中， BD 平分∠ABC ， BD 的垂直平分线分别交 AB，BD，BC 于点 E, F , G ，连接
DE, DG ．
求证：四边形 BGDE 是菱形；
若EDG  30, C  45, ED  6 ，求VDGC 的面积．
 
【答案】（1）证明见解析
93 1
（2）.
2
【解析】
【分析】（1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证 ÐEDB = ÐDBG = ÐABD = ÐGDB ，可得
BE ∥ DG ， DE∥GB ，由菱形的判定可证结论；
过点 D 作 DH  BC ，由菱形的性质可得 DG  DE  6 ， DE ∥ BC ，由直角三角形的性质可得
3
CH  DH  3 ， HG  3DH  3，求得CG 的长即可求得VDGC 的面积．
【小问 1 详解】
Q BD 平分∠ABC ，
ABD  DBG ，
Q EG 垂直平分 BD ，
 DG  BG ， DE  EB ，
\ ÐDBG = ÐGDB ， ABD  EDB ，
\ ÐEDB = ÐDBG = ÐABD = ÐGDB ，
 BE / / DG ， DE∥GB ，
四边形 BGDE 是平行四边形，又 DE  EB ，
四边形 BGDE 是菱形；
【小问 2 详解】
如图，过点 D 作 DH  BC ，
四边形 BGDE 是菱形，
 DG  DE  6 ， DE ∥ BC
\ ÐDGC = ÐEDG = 30° ，
又 DH  BC ，
 DH  3 ， HG 
3DH  3，
3
QC  45 ， DH  BC ，
\ ÐCDH = ÐC = 45° ，
\ CH = DH = 3 ，
\ CG = CH + HG = 3+ 3 3 ．
\ S=
1 CG ×DH =
1 ( + 3 3)
( 3 + )
3 =.
V DGC
222
如图，一次函数 y   2 x  6 的图象与 x 轴， y 轴分别交于 F ， E 两点，与反比例函数 y  k 的图象交
3x
于点 Aa, 4, B b, 2, AD  x 轴于点 D, BC  x 轴于点C ，
求 a, b 的值及反比例函数的表达式．
9
若 P 为线段CD 上的一点，连接 PA，PB ，当 SVABP  2 时，求点 P 的坐标．
在 x 轴上是否存在点Q ，使得V ABQ 为等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） a  3, b  6, y  12 ;
x
（2）  9 ,0  ;
 2

存在， Q  5 , 0 或Q 3, 0 .
 2

【解析】
【分析】（1）利用 Aa, 4, B b, 2 在一次函数 y   2 x  6 图象上，求出 a  3, b  6 ，再将 A3, 4 代入
3
反比例函数 y  k 中即可；
x
设点 P m, 0, 3  m  6 ，记梯形 ABCD 的面积为S ，利用 S
量关系，求出m 即可；
V ABP
 S  S
V ADP
 SV BCP
 9 建立等
2
假设在 x 轴上存在点Q n, 0 ，要使V ABQ 为等腰三角形，则 QA  QB , QA  AB 或
QB  AB ,再分类讨论即可.
【小问 1 详解】
由题意可得： Aa, 4, B b, 2 在一次函数 y   2 x  6 图象上，
3
4   2 a  6

所以
2  

3
2 b  6
3
，解得a  3 ，所以 A3, 4, B 6, 2 ，

b  6
将点 A3, 4 代入反比例函数 y  k ，可得4  k ，即 k  12 ，
x3
所以反比例函数的解析式为 y  12 .
x
【小问 2 详解】
因为 A3, 4, B 6, 2, AD  x 轴于点 D, BC  x 轴于点C ，
所以 D 3, 0, C 6, 0, AD  4, BC  2, CD  3 ,
因为 P 为线段CD 上的一点，所以可设点 P m, 0, 3  m  6 ，所以 DP  m  3, CP  6  m ，
9
记梯形 ABCD 的面积为S ，则 SVABP  S  SVADP  SVBCP  2 ，
1
2
1
2
 AD  BC  CD9
所以 SV ABP 

2
AD  DP 
BC  CP  ,
2
4  2 3119
所以 SVABP   4 m  3   2  6  m  ，
2222
化简得： m  9 ，所以点 P 的坐标为 9 , 0  .
2 2

【小问 3 详解】
假设在 x 轴上存在点Q n, 0 ，
因为 A3, 4, B 6, 2 ，所以 AB 

x  x y  y

2

21

2
21
6  32  2  42
13
.
因为 A3, 4, B 6, 2, AD  x 轴于点 D, BC  x 轴于点C ，
所以△QAD,△QBC 为直角三角形，且 QD  3  n , QC  6  n ，
22
由勾股定理可得： QA  QD  AD 2  3  n 2  42 ,
QB 2  QC 2  BC 2  6  n 2  22 ，
要使V ABQ 为等腰三角形，则 QA  QB , QA 
①当 QA  QB 时，即 QA 2  QB 2 ，
即 3  n 2  42  6  n 2  22 ，解得 n  5 ,
2
AB 或 QB 
AB ,
所以当 QA  QB 时，在 x 轴上存在点Q  5 , 0  ，使得V ABQ 为等腰三角形；
 2

2
②当 QA  AB 时，即 QA 2  AB ,
所以 3  n 2  42  13 ，此时 3  n 2  3 ，无解，所以这种情况不存在；
2
③当 QB  AB 时，即 QB 2  AB ，
所以 6  n 2  22  13 ，解得： n = 9 或 n  3 ，
当 n = 9 时，对于一次函数 y   2 x  6 ，令 y  0 ，则 x  9 ，
3
即Q 9, 0 与 F 9, 0 重合，不能构成三角形，所以 n = 9 舍去，
所以当 QB  AB 时，在 x 轴上存在点Q 3, 0 ，使得V ABQ 为等腰三角形.
设 y  mx2  1 m x  m  2 ．
若不等式 y  2 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围；
解关于 x 的不等式 mx2  1 m x  m  2  m 1m  R ．
【答案】（1） m  1 ；
3
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由题设 mx2  1 m x  m  0 对一切实数 x 恒成立，讨论参数 m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可.
讨论 m  0 、 m  0 ，结合一元二次不等式的解法求解集.
【小问 1 详解】
由题设 mx2  1 m x  m  2  2 ，即 mx2  1 m x  m  0 对一切实数 x 恒成立，当 m  0 时， mx2  1 m x  m  x  0 不恒成立；
m  01

当 m  0 时，只需Δ  1 m2  4m2  0 ，可得 m  3 ；
综上， m  1 .
3
【小问 2 详解】
当 m  0 时， mx2  1 m x  m  2  m 1 ，即 x  2  1 ，可得 x  1；解集为(,1) ；
当 m  0 时， mx2  1 m x 1  m(x  1 )(x 1)  0 ，
m
若 m  0 ，则(x  1 )(x 1)  0 ，
m
若 1  1，即1  m  0 时，可得 x   1 或 x  1，解集为(,1) ∪ ( 1 , ) ；
m
若 1
m
mm
 1 ，即 m  1时，可得 x  1 ，解集为(,1)  (1, ) ；
若 1  1，即 m  1时，可得 x  1 或 x   1 ，解集为(,  1 ) ∪ (1, ) ；
mmm
若 m  0 ，则(x  1 )(x 1)  0 ，可得 1  x  1，解集为( 1 ,1) .
mmm
如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y  ax2  bx  c a  0 与 x 轴交于点 A6，0, B 2，0 ，与 y
轴交于点C ，且OB  OC ，连接 AC，BC ．
求该抛物线的解析式．
如图 2，已知在直线 AC 下方抛物线上有一动点 P，x 轴上有一动点 D ．过点 P 作 PQ ∥ y 轴交 x 轴
于点Q ，过点Q 作QN ⊥直线 BC 于点 N ．当 PQ 2QN 取得最大值时，求 PD  ND 的最大值．
10
如图 3，将原抛物线沿射线CA 方向平移个单位长度， M 是平移后新抛物线位于 x 轴上方的一
动点，且CAM  OCB  2OAC ，求出点 M 的横坐标．
【答案】（1） y  1 x2  2 x  2
63
（2） 7 13
6
58
1
【解析】
【分析】（1）根据OB  OC 得C 0, 2 ，设抛物线解析式为 y  a  x  6 x  2 ，将点C 代入抛物线方程即可求解；
过点 N 作 NH  x 轴于点 H ，易证VBOC 是等腰直角三角形，进而证明VBNQ,VHNQ 都是等腰直
122
角 三 角 形 ， 求 出2NQ  2HQ ， 设 P  p, 6 p  3 p  2 0  p  6 ， 则 Q  p, 0 ， 求 出
PQ 

2QN   1  p  52  49 ，利用二次函数性质即可求出点 P, Q, H 的坐标，求出直线 BC 解析式为
66
 22 
y  x  2 ，得到 N  3 ,  7  ，连接 NP 并延长交 x 轴于点 D¢，当 D 和 D¢重合时， ND  PD 有最大

值为 NP 的长，然后利用两点距离公式求解即可；
根据函数图象的平移变换可得 y  1 x2  5 x  5 ，分点 M 在 x 轴上方且位于 y 轴左侧，点 M 在 x 轴
632
下方且位于 y 轴右侧，两种情况讨论求解即可.
【小问 1 详解】
因为 A6，0, B 2，0 ， OB  OC ，所以OB  OC  2 ，所以C 0, 2 ，
设抛物线解析式为 y  a  x  6 x  2 ，将点C 0, 2 代入抛物线方程得2  a 0  60  2 ，解得
a  1 ，所以抛物线的解析式为 y  1  x  6 x  2  1 x2  2 x  2 ；
6
【小问 2 详解】
663
过点 N 作 NH  x 轴于点 H ，因为OB  OC ， BOC  90∘ ，所以VBOC 是等腰直角三角形，所以OBC  45∘ ，
因为QN  BC ，即QNB  90∘ ，所以BQN  45∘ ，所以VBNQ 是等腰直角三角形，
因为 NH  BQ ，所以 BH  QH  1 BQ ， NHQ  90∘ ，所以VHNQ 是等腰直角三角形，
2
122
所以 NQ 2HQ ，即 2NQ  2HQ ，设 P  p, 6 p  3 p  2 0  p  6 ，则Q  p, 0 ，

所以 BQ  p  2, PQ   1 p2  2 p  2 ，所以 HQ 
63
p  2 ，即2HQ  p  2 ，
2
所以 PQ 
2QN   1 p2  2 p  2  p  2   1  p  52  49 ，
6366
因为 1  0 ，所以当 p  5 时， PQ 
6
49
2QN 取有最大值为 6 ，
1221
227
7 

此时 p
6
 p  2   5
36
 3  5  2   6 ，即 P  5,  6  ，所以Q 5, 0 ，
所以 BQ  5  2  7, OQ  5 ，所以 HQ  7 ，所以OH  OQ  HQ  3 ，即 H  3 , 0  ，
22 2

所以 N 点的横坐标为 3 ，设直线 BC 解析式为 y  kx  2 ，将点 B 的坐标代入得0  2k  2 ，
2
解得 k  1 ，所以直线 BC 解析式为y  x  2 ，所以 y   3  2   7 ，即 N  3 ,  7  ，
22

N22 
连接 NP 并延长交 x 轴于点 D¢，因为 ND  PD  PN ，
所以当 D 和 D¢重合时， ND  PD 有最大值为 NP 的长，即 PD  ND 的最大值为 NP 的长，
3 2
 5  2     6  2 
7
7 2



7 13
7 13
因为 PN 

6
，所以 PD  ND 的最大值为；
6
【小问 3 详解】
10
将原抛物线沿射线CA 方向平移
个单位长度，即以抛物线向右平移 3 个单位长度，
向上平移 1 个单位长度，
则平移后的抛物线解析式为 y  1  x  32  2  x  3  2 1  1 x2  5 x  5 ，
63632
因为OBC  45∘ ， CAM  OCB  2OAC ，所以CAM  45∘  2OAC ，若点 M 在 x 轴上方，则该点位于 y 轴左侧时，如图
设 E 0, 2 ，过点 E 作 EG  AM 于点G ，过点G 作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为 K , L ，则 AO 垂直平分CE ，即 AE  AC ，所以△AEC 是等腰三角形，所以OAC  OAE ，
所以EAM  45∘ ，所以V AGE 是等腰直角三角形，即 AG  EG ，
因为KGL  90∘  KGE  EGL ， EGA  90∘  KGE  AGK ，
GLE  GKA

所以EGL  AGK ，在VEGL 和V AGK 中， EGL  AGK ，

EG  AG
所以VEGL ≌V AGK ，
所以 AK  EL, GK  LG ，因为LOA  OKG  GLO  90∘ ，所以四边形 LOKG 是正方形，
所以GK  LG  OK ，因为 AE 
62  22
10
 2
，所以 EG  AG 
2 AE  2，
5
2
因为GAK  45∘ ，所以 AK  GK ，设OK  KG  t ，则 AK  6  t ，
在Rt△AKG 中，由勾股定理得： AG2  AK 2  GK 2 ，所以20  t 2  6  t 2 ，
解得t  4 或t  2 ，当t  2 时， AK  4  GK  2 ，舍去，所以t  4 ， G 4, 4 ，
设直线 AG 解析式为 y  mx  n ，将点 A, G 的坐标代入得0  6m  n ，解得m  2 ，


4  4m  nn  12
所以直线 AG 解析式为 y  2x 12 ，令2x 12  1 x2  5 x  5 ，即 x2  2x  57  0 ，
632
58
58
解得 x  1或 x  1 0 （舍去），所以点 M 的横坐标为1 58 .