2024~2025学年上海市浦东区高三上学期期中联考数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年上海市浦东区高三上学期期中联考数学试卷【有解析】，共58页。
2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．
1. 函数的定义域________.
【正确答案】
【分析】根据对数函数有意义的条件得到不等式求解.
【详解】要使函数有意义，则，即，
所以函数的定义域为，
故答案为:.
2. 设全集，集合，集合，则______．
【正确答案】.
【分析】
由已知得，结合全集即可求.
【详解】由题意有，，而，
∴，
故答案为.
本题考查了集合的基本运算，属于简单题.
3. 已知则______．
【正确答案】
【分析】利用分段函数的形式可求.
【详解】因为故，
故答案为.
4. 若点在幂函数的图象上，则该幂函数的表达式为_____.
【正确答案】
【分析】将的坐标代入幂函数的解析式易得结果.
【详解】将代入，得，解得.
所以该幂函数的表达式为.
故答案为.
5. 若角满足，且，则角属于第_______象限.
【正确答案】二
【分析】根据正弦值、正切值符号判断角所在的象限即可.
【详解】由且，根据各象限对应正弦、正切的函数值符号，知属于第二象限.
故二
6. 不等式的解集为____________．
【正确答案】
【分析】根据条件，利用分式不等式的解法即可求出结果.
详解】由，得到，
等价于，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为.
7. 已知，．则________．（用及表示）
【正确答案】##
【分析】利用对数的运算法则计算即可.
【详解】由可知，所以.
故
8. 已知集合，且，则实数的值为___________.
【正确答案】或0.
【分析】根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案.
【详解】若，则或
当时，，符合元素的互异性；
当时，，不符合元素的互异性，舍去
若，则或
当时，，符合元素的互异性；
当时，，不符合元素的互异性，舍去；
故或0.
关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题.
9. 展开式中的系数为______.
【正确答案】15
【分析】根据给定条件，利用二项式定理直接求出结果.
【详解】 展开式中令的项为，
所以 展开式中的系数为15.
故15
10. 将5个人排成一排，则甲和乙须排在一起的概率是________.（用数字作答）
【正确答案】##0.4
【分析】应用排列数求5个人排成一排、甲和乙须排在一起的排法数，应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】由题设，5个人排成一排有种，甲和乙须排在一起有种，
所以甲和乙须排在一起的概率是.
故
11. 若关于的一元二次方程有两个同号实根， 则实数的取值范围是____.
【正确答案】
【分析】根据一元二次方程根与系数关系列不等式组求参数范围.
【详解】由题设，即实数的取值范围是.
故
12. 下面有四个命题：
①若点为角的终边上一点，则；
②同时满足，的角有且只有一个；
③如果角满足，那么角是第二象限的角；
④满足条件的角的集合为.
其中真命题的序号为________.
【正确答案】④
【分析】①根据正弦函数定义求正弦值判断；②注意任意角定义即可判断；③直接判断角所在象限即可；④根据正切值及任意角定义求角即可判断.
【详解】①若点为角的终边上一点，（注意参数a的符号不确定），假命题；
②同时满足，，只要终边与相同的角都满足，假命题；
③如果角满足，那么角是第三象限的角，假命题；
④满足条件的角，，真命题.
故④
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
13. 下列函数中为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】对四个选项一一验证：
对于A：利用奇偶性的定义进行证明；
对于B：取特殊值否定结论；
对于C：取特殊值否定结论；
对于D：取特殊值否定结论.
【详解】对于A：的定义域为R.
因为，所以为偶函数.故A正确；
对于B：对于，，不满足，故不是偶函数.故B错误；
对于C：对于，，不满足，故不是偶函数.故C错误；
对于D：对于，，不满足，故不是偶函数.故D错误；
故选：A.
14. “”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
【正确答案】A
【分析】化简分式不等式，即可根据充分不必要条件的定义判断.
【详解】由可得，解得或，
“”可以推出“或”，“或”不能推出“”，例如，
故“”是“”的充分非必要条件，
故选：A
15. 已知陈述句是的充分非必要条件.若集合满足，满足，则与的关系为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据充要条件和集合包含关系可得.
【详解】因为是的充分非必要条件，所以成立时一定成立
所以x满足时，x一定满足，所以，
又成立时推不出成立，即x满足时x不一定满足，所以N不是M的子集.
故选：A
16. 对于函数：①；②；③；有如下两个命题：命题：是偶函数；命题：在上是单调递减函数，在上是单调递增函数.能使命题、均为真所有函数的序号是（ ）
A. ①②B. ①③C. ②D. ③
【正确答案】C
【分析】根据常见函数奇偶性的定义，结合单调性的判断，对函数进行逐一分析，即可容易判断.
【详解】①是非奇非偶函数，
在上是减函数，在上是增函数，与题意不符；
②是偶函数，
对称轴为，在上减，在上增，符合，
③是偶函数，
但在上不是减函数，在上不是增函数，不符，
故选：C.
本题考查函数奇偶性和单调性的判断和求解，属综合基础题.
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. （1）设、为实数，比较与的值的大小；
（2）已知，求曲线在点处的切线方程．
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）应用作差法比较大小；
（2）利用导数几何意义求切线方程.
【详解】（1），
当且仅当时等号成立，
所以；
（2），则，
因此，曲线在点处的切线斜率为，
于是，所求切线方程为，即.
18. 已知函数的最小正周期为.
（1）求与单调递增区间；
（2）在中，若，求的取值范围.
【正确答案】（1），；（2）
【分析】
（1）根据函数的最小正周期为，可求，并写出函数式进而求的单调递增区间；
（2）由（1）结论，求角，根据三角形内角和的性质可知角B、C的关系，进而求B的范围，即可求的取值范围.
【详解】（1）因为的最小正周期为，即
∴，令
解得
∴的单调递增区间是
（2）在中，若，
由（1）得，，所以
因为 所以，即

因为，所以；
所以
所以的取值范围
关键点点睛：
（1）由最小正周期求参数，利用整体代入法求的单调递增区间；
（2）应用三角形内角和性质可得内角B、C的关系，进而用其中一角表示另一角并确定角的范围，进而求函数值的范围.
19. 已知A、B、C为的三个内角，a、b、c是其三条边，﹒
（1）若，求b、c；
（2）若，求c．
【正确答案】（1）1，；
（2）﹒
【分析】(1)由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．
(2)根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得、的值，进而根据正弦定理可得的值．
【小问1详解】
∵，由正弦定理得，
又，可得，
由于，可得．
【小问2详解】
∵，0＜C＜π，
∴，C＞＞A，
.
∵，
∴，
又，
可解得或(舍)，
由正弦定理，可得．
20. 已知函数.
（1）判断函数的奇偶性（不需要说明理由）；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围；
（3）若在上的值域是()，求a的取值范围.
【正确答案】（1）非奇非偶；
（2）；
（3）.
【分析】（1）根据函数定义域是否关于原点对称即可判断；
（2）问题化为在上恒成立，求右侧最大值，即可得参数范围；
（3）根据函数单调性，将问题化为方程有两个不相等的正根，结合判别式求参数范围.
【小问1详解】
由于，即定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数；
【小问2详解】
∵在上恒成立，且，
∴在上恒成立，
令（当且仅当时取等号），则.
故a的取值范围是.
【小问3详解】
函数在定义域上是增函数.
所以，即，
故方程有两个不相等的正根，注意到，
故只需要且，则.
21. 已知函数，其中，．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（3）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
【正确答案】（1）在内是增函数，在，内是减函数．（2）（3）
【分析】（1）先求得导函数,代入的值,根据零点及自变量、、的变化情况即可求得单调区间．
（2）根据极值点的，即可判断出成立，进而利用判别式求得的取值范围．
（3）根据条件，可知，从而判断出在上的最大值，进而可得关于的不等式组，
根据的范围即可求得的取值范围．
【详解】（1）先求得导函数为
当时，．令，解得，
当变化时，，的变化情况如下表：
所以在内是增函数，在，内是减函数．
（2）
显然不是方程的根．
为使仅在处有极值，必须成立
即有．
解不等式，得．
这时，在单减，单增，是唯一极值．
因此满足条件的的取值范围是．
（3）
由条件，可知
从而恒成立．
上，当时，；当时，
因此函数在上的最大值是与两者中的较大者．
为使对任意的，不等式在上恒成立，当且仅当
即在上恒成立
所以，因此满足条件的的取值范围是0
－
0
+
0
－
↘
极小值
↗
极大值
↘