2024~2025学年江苏省扬州市高三上学期12月联合调研考试数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年江苏省扬州市高三上学期12月联合调研考试数学试卷【有解析】，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量是单位向量，若，则（ ）
A．0B．1C．D．2
4．等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．C．D．
5．设正三棱锥的一个侧面三角形面积是底面面积的两倍，则其侧面与底面所成的二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知、是轴上两定点，、是轴上两动点，则直线与的交点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．若函数在内存在两个零点且和为，则正数的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
8．在平面直角坐标系中，若两点连线的斜率为1，则下列各式一定为正数的是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．如图，在四棱柱中，M是线段上的动点（不包括两个端点），则下列三棱锥的体积为定值的是（ ）
A．三棱锥B．三棱锥
C．三棱锥D．三棱锥
10．有一组样本数据1，2，3，5，7，8，9，a，下列说法正确的是（ ）
A．若该组数据的平均数为a，则B．若该组数据的中位数为a，则
C．当时，该组数据的极差为8D．当时，该组数据的方差最小
11．已知三次函数，则（ ）
A．函数一定有两个极值点B．当时，
C．当时，的极小值为0D．在区间上的值域为
三、填空题（本大题共3小题）
12．展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
13．若α和β都为锐角，，则 ．
14．从集合中选取s个数，从集合中选取t个数．若这个数的和不小于，则的最小值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在直三棱柱中，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
16．已知的三个内角所对边分别为，是边上一点，．
(1)证明：；
(2)若，且，求的面积．
17．甲、乙两人参加学校组织的航空航天知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题．答题者若答对则得1分，答错则对方得1分．当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜．已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为．
(1)记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望；
(2)求甲在这次竞赛中获胜的概率．
18．已知双曲线的离心率为，左顶点为A，右焦点为F，且．
(1)求C的方程；
(2)过点F的直线与C交于D，E两点，直线与直线分别交于点G，H．
①若的面积是的面积的6倍，求直线的方程；
②证明：直线被以为直径的圆截得的弦长小于20．
19．在平面直角坐标系中，沿着平行于轴的方向，按照一定的比例对图形的每个点到轴的有向距离进行放缩得到的平面图形，即将点映射到点的操作（为固定的参数），这种变换在数学上称为水平错切．设是定义在上的函数，记，则称是的“错切函数”．
(1)设函数的“错切函数”为，
①求的最小值；
②若与的值域相同，求正数的取值范围．
(2)已知是上的增函数，是的“错切函数”，证明：是的零点当且仅当是的零点．
答案
1．【正确答案】A
【详解】,
故，
故选：A.
2．【正确答案】C
【详解】根据题意，，
则.
故选：C
3．【正确答案】C
【详解】因为单位向量，所以，
又因为，
所以，
则，
所以.
故选：C.
4．【正确答案】A
【详解】因为等差数列的前项和为，，
则，则，
设等差数列的公差为，则，
所以，，
因此，.
故选：A.
5．【正确答案】D
【详解】如图在正三棱锥中，设为底面的中心，连接,则平面.
过作交于点,连接，
则,又，且,所以平面，
则,所以为侧面和底面所成二面角的平面角，
在正三角形中，为中心，，
由条件有，可得，
在直角三角形中，.
故选：D
6．【正确答案】B
【详解】设点，由题意可知，，，即①，
，即②，
①②得，整理可得，即，其中，
所以，点的轨迹方程为.
故选：B.
7．【正确答案】C
【详解】令，则，故，
由题设有，故且，
设两个零点为，
则，故，其中，
故，故，
故选：C.
8．【正确答案】D
【详解】根据题意，，即，也就是，
设，即，
则，
所以时，，即函数单调递减，
所以x∈0,+∞时，，即函数单调递增，
为函数的极小值点，且，
则点为函数与直线的交点，不防设，
则，则，A错误；
设，
则，
则函数在R上单调递增，且，
所以当时，，则，
即，即，
又，所以，则，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：D
9．【正确答案】BC
【详解】因为几何体中仅为动点，
故当三棱锥的体积为定值时，应平行于另外三点所确定的平面，
由四棱柱的性质可得 ，而平面，平面，
故平面，同理平面即平面，
由四棱柱可得平面，平面，
故AD错误，BC正确，
故选：BC
10．【正确答案】ABD
【详解】解：因为样本数据1，2，3，5，7，8，9，a，
A.若该组数据的平均数为a，则 ，解得，故正确；
B. 当时，若该组数据的中位数为，不符合题意；
当时，若该组数据的中位数为，不符合题意；当时，若该组数据的中位数为，符合题意；
当时，若该组数据的中位数为，不符合题意；
当时，若该组数据的中位数为，不符合题意，综上：，故正确；
C.当时，该组数据的极差为故错误；
D.该组数据的平均数为由A知，当时，该组数据的平均数为5，
则其方差
所以要使方差最小，则取得最小值，所以，故D正确.
故选：ABD
11．【正确答案】BCD
【详解】对于A，当时，，该函数在上为增函数，无极值点，故A 错误；
对于B，，
而，故，故，所以，
故B正确；
对于C，，
若，则，此时当或时，f'x>0，
当时，f'x0，故在处取极小值；
故C正确；
对于D，当，时，
则当或时，f'x