2024~2025学年江苏省淮安市高三上学期12月阶段数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年江苏省淮安市高三上学期12月阶段数学试卷【有解析】，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．1C．D．
2．已知集合，若，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知数列满足：，则（ ）
A．B．C．2D．3
4．若一个球的体积和表面积数值相等，则该球的半径的数值为（ ）
A．2B．3C．4D．
5．已知随机事件满足，则（ ）
A．B．C．D．
6．“函数的图象关于点对称”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知是圆的直径，是圆上两点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．在同一平面直角坐标系中，函数y=fx及其导函数y=f'x的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点0,1，则（ ）

A．函数的最小值为1
B．函数的最小值为1
C．函数的最小值为1
D．函数的最小值为1
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知数据满足：，若去掉后组成一组新数据，则（ ）
A．若，则原数据的第80百分位数为15
B．新数据与原数据相比，中位数不变
C．新数据与原数据相比，平均数不变
D．新数据与原数据相比，方差变小
10．“黄金双曲线”是指离心率为“黄金分割比”的倒数的双曲线（将线段一分为二，较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值称为“黄金分割比”）.若黄金双曲线的左右两顶点分别为，虚轴上下两端点分别为，，左右焦点分别为为双曲线任意一条不过原点且不平行于坐标轴的弦，为的中点.设双曲线的离心率为，则（ ）
A．
B．
C．直线与双曲线的一条渐近线垂直
D．直线与双曲线的左支有两个不同的交点
11．如图，在正四面体中，已知，为棱的中点. 现将等腰直角三角形绕其斜边旋转一周（假设可以穿过正四面体内部），则在旋转过程中，下列结论正确的是（ ）
A．三角形绕斜边旋转一周形成的旋转体体积为
B．四点共面
C．点到的最近距离为
D．异面直线与所成角的范围为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则 .
13．2024年7月14日13时，2024年巴黎奥运会火炬开始在巴黎传递，其中某段火炬传递活动由包含甲、乙、丙在内的5名火炬手分四棒完成，若甲传递第一棒，最后一棒由2名火炬手共同完成，且乙、丙不共同传递火炬，则不同的火炬传递方案种数为 ．
14．如图，对于曲线G所在平面内的点O，若存在以O为顶点的角α，使得对于曲线G上的任意两个不同的点A，B，恒有成立，则称角α为曲线G的相对于点O的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点O的“确界角”.已知曲线C：（其中是自然对数的底数），O为坐标原点，曲线C的相对于点O的“确界角”为，则 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知的内角的对边分别为，且，
(1)求的大小；
(2)若，求的面积．
16．玻璃杯成箱出售，共2箱，每箱20只.假设各箱含有只残次品的概率分别为和一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃
(1)记随机变量表示2箱玻璃杯中残次品的总数，求的分布列和期望；
(2)求顾客买下该箱玻璃杯的概率.
17．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是等边三角形，平面平面为棱上一点，为棱的中点，四棱锥的体积为.
(1)求的长；
(2)是否存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
18．在平面直角坐标系中，若点满足都是整数，则称点为格点.
(1)指出椭圆上的所有格点；
(2)设是抛物线上的两个不同的格点，且线段的长度是正整数.求直线的斜率的所有可能值；
(3)设且项的数列满足：点是函数的图象上的格点.则是否存在正整数，使得数列为常数列；若存在，请求出正整数的取值范围；若不存在，请说明理由.
19．已知的子集和定义域同为的函数，．若对任意，，当时，总有，则称是的一个“关联函数”．
(1)求的所有关联函数；
(2)若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围；
(3)对定义在R上的函数，证明：“对任意x∈R成立”的充分必要条件是“存在函数，使得对任意正整数，都是的一个关联函数”．
答案
1．【正确答案】C
【详解】由题意得，，
∴.
故选：C.
2．【正确答案】B
【详解】由题意可得，解得．
故选：B.
3．【正确答案】A
【详解】由可得，即；
又，可得，
所以数列是周期为2的周期数列，因此.
故选：A
4．【正确答案】B
【详解】由题意，所以.
故选：B
5．【正确答案】B
【详解】因为，
即，解得.
故选：B
6．【正确答案】B
【详解】当函数的图象关于点对称时，，解得，不能得到.
当时，，
由得，，函数的对称中心为，
令得对称中心为.
综上得，“函数的图象关于点对称”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
7．【正确答案】D
【详解】设弦MN的中点为，由，得，
由为MN的中点，得，设向量与的夹角为，
，又，
所以的最小值为.
故选：D
8．【正确答案】D
【详解】由图可知，两个函数图象都在轴上方，则，函数单调递增，
因此实线为的图象，虚线为的图象，，
对于A，，在上单调递增，无最小值，A错误；
对于B，，由图知，当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得最大值，B错误；
对于C，，由图知，
函数在上单调递增，无最小值，C错误；
对于D，，，
由图知，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此当时，函数取得最小值，D正确.
故选：D
9．【正确答案】BCD
【详解】对于A，当时，数据按从小到大顺序排列：，
由，得该组数据的第80百分位数是，A错误；
对于B，由，得原数据组为
，原中位数与现在的中位数均为，中位数不变，B正确；
对于C，原平均数为，去掉后的平均数为，平均数不变，C正确；
对于D，原方差为，
去掉后的方差为，方差变小，D正确.
故选：BCD
10．【正确答案】AC
【详解】对于A，设线段长度为1，较大部分为，则较小部分为，
由题黄金分割比为，且
若为黄金双曲线，
则离心率为，即A正确；
对于B，设，其中，
又在双曲线线上，所以，
两式相减可得，
即，可得，
所以，可得B错误；
对于C，易知，所以，
易知双曲线的一条渐近线斜率为，
则，
因此直线与双曲线的一条渐近线垂直，即C正确；
对于D，由离心率为可得，解得，
可得一条渐近线的斜率为，
而直线的斜率，
根据渐近线性质可知直线与双曲线的左右两支各有一个交点，即D错误.
故选：AC
11．【正确答案】BCD
【详解】对于A：因为，所以等腰直角三角形的直角边为2，斜边的高为1；
旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥组合体，其圆锥的底面半径为1，高为1；
所以几何体的体积为，A错误；
对于B: 在正四面体中，各个侧面都是等边三角形，又因为为棱的中点，
所以，又相交于点，又都在平面内，
所以平面，又，与平面有一个公共点，
所以在平面内，所以四点共面，故B正确；
对于C: 在图1中，令为的中点，为的中点，则点在以为圆心，1为半径的圆上运动，
由图可知当三点共线，且当运动到的位置时，到的距离最小，
在中，，所以，C正确
对于D:由B、C可知，在圆锥的底面内，如图1，由圆锥轴截面中，，
由线面角的概念可知，与圆锥底面中的直线所成最小角就是，最大角一定为
由此可知异面直线与所成角的范围为，正确
故选:BCD
12．【正确答案】9
【详解】设等差数列的公差为，
由可得，
化简得，因，解得.
故9.
13．【正确答案】10
【详解】最后一棒可以是除甲、乙、丙之外的2人，也可以是从乙、丙中选1人，从除甲、乙、丙之外的2人中选1人组成，所以最后一棒的安排方案有：种；
安排最后一棒后，剩余两人安排在中间两棒，方案有：种，
由分步计数乘法原理，不同的传递方案种数为：种.
故10
14．【正确答案】
【详解】当时，过原点作的切线，
设切点，，，
则切线方程为，
又切线过点，所以，所以.
设，则，故为增函数，且，
所以，
当时，过原点作的切线，
设切点B，，
则切线为，又切线过点
所以，又，，
因为，所以两切线垂直，所以.
故
15．【正确答案】【小题1】 【小题2】
【详解】（1），可得
又
（2）由正弦定理得，，
由余弦定理，,可得，，
联立方程组整理得，，所以或（舍）．
16．【正确答案】(1)分布列见解析，期望为0.6
(2)
【详解】（1）因为事件表示“箱中恰好有只残次品”，
则.
的取值为，
则，，
，，
，
可得分布列如下：
所以，
（2）设事件表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，用表示一箱玻璃杯中残次品的个数；
易知，
所以
.
即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为.
17．【正确答案】(1)2；
(2)存在，为上靠近点的三等分点.
【详解】（1）在等边三角形中，由为的中点，得，
又平面平面，平面平面平面，
则平面，即是四棱锥的高，
设，则，矩形的面积，
于是，解得，
所以长为2.
（2）在平面内过点作，由（1）知直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，
则，
设平面的法向量为，则，令，得，
显然平面的一个法向量为，
，而，解得，
所以存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，为上靠近点的三等分点.
18．【正确答案】(1)
(2)0
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）根据题意，椭圆，
当x=0时，不满足；
当x=1时，，不满足；
当时，，则点2,1和为椭圆上的格点，
由椭圆的对称性可得格点.
（2）设且，
则为正整数，记为，
所以，
由于都是整数，所以与都是完全平方数，
故只能有，
因此，即直线的斜率为0.
（3）设存在正实数，使得数列为常数列，
记，则为整数.
由题意得，，即，
所以，且，为的因数，
所以正整数只可能使得，
经检验得，当时，不是正整数，
所以不存在正整数，使得数列为常数列.
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）设是的关联函数.
对于任意，当时，.
因为，所以，
设，则，
令，，那么.
所以的关联函数为.
（2）因为是其自身的一个关联函数.
对任意，当时，.
设，（），则.
展开得.
对求导，.
因为在上单调递增，所以在上恒成立.
即在上恒成立，设，.
令，得.
在上递减，在上递增，.
所以.
（3）充分性：
假设存在函数，使得对任意正整数，都是的一个关联函数.
当时，.
对于任意，取，，当（足够大时）.
有，当时，，即.
必要性：
若，定义.
对于任意正整数，对于任意，当时.
.
因为，所以.
故命题得证.0
1
2
3
4