2024~2025学年江苏省南京市高三上学期12月月考数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年江苏省南京市高三上学期12月月考数学试卷【有解析】，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设全集，集合，则集合中的元素的个数为（ ）
A．3B．4C．8D．16
2．复数z满足（i为虚数单位），则的值为（ ）
A．B．5C．D．
3．在矩形ABCD中，，E为BC的中点，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．定义：对于数列，若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列．设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（ ）
A．B．
C．D．
6．若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．B．C．D．
7．若在长方体中，．则四面体与四面体公共部分的体积为（ ）
A．B．C．D．1
8．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知复数，下列结论正确的是
A．“”是“为纯虚数”的充分不必要条件
B．“”是“为纯虚数”的必要不充分条件
C．“”是“为实数”的充要条件
D．“”是“为实数”的充分不必要条件
10．已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离为4
B．若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大
C．为定值
D．存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点
11．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，下面对于定义在R上的函数，满足，有，则下面判断一定正确的是（ ）
A．是的一个周期B．是奇函数
C．是偶函数D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知集合，，且的非空子集的个数为3，则整数b的一个可能取值为 ．
13．若曲线与曲线存在公切线，则a的最大值 ．
14．已知函数，，，且在上单调，则的值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在直三棱柱中，，，点、分别为棱、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与直线的夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
16．在锐角中，内角的对边分别为，且.
(1)求角A的大小；
(2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．
17．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)求的零点个数.
(3)在区间上有两个零点，求的范围?
18．已知椭圆（）的长轴为，短轴长为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线l：与椭圆交于不同两点；
①若，求直线的方程．
②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线.
19．在数列中，若满足：对于，都有，则称数列为“类差数列”.
(1)设为等差数列的前项和，已知，若数列是“类差数列”，且恒成立，求的最大值；
(2)已知等比数列是“类差数列”，且，数列不是“类差数列”，设，若数列是“类差数列”：
①求数列的通项公式；
②证明：数列中任意三项都不构成等差数列.
答案
1．【正确答案】B
【详解】因为，，所以或，
又因为，
所以，共4个元素，
故选：B
2．【正确答案】D
【详解】方法一：由题意：，
所以，所以.
故选：D
方法二：根据复数模的性质，得.
故选：D
3．【正确答案】A
【详解】由题意可知：，，，
且，
则，
，
所以向量在向量上的投影向量是.
故选：A.
4．【正确答案】C
【详解】由，
可得：，
即，又，
结合平方差公式可得.
故选：C
5．【正确答案】D
【详解】对于选项A：因为为等差数列，则，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故A错误；
对于选项B：因为，
则，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故B错误；
对于选项C：当为偶数时，，
可知对任意，当时，，
不满足有界数列的定义，故C错误；
对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列，
则，
可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确；
故选：D.
6．【正确答案】A
【详解】由条件可知，，，
且，两式相加得，
即，得，
点是直线和的交点，所以，
所以点满足直线，即直线方程为，
，与直线垂直的直线方程的斜率为，
所以中垂线方程为，整理为.
故选：A
7．【正确答案】C
【详解】如图：
取与的交点为，取中点，连接，交于点，
则三棱锥即为四面体与四面体的公共部分.
因为.
又，所以，所以.
过作于点，
因为平面，平面，所以.
因为，平面，所以平面.
所以为到平面的距离，其值为，
点为的中点，所以点到平面的距离为.
所以.
故选：C
8．【正确答案】B
【详解】因为，，则，，
可得，即，，即，
由可得，则，
构造函数，其中，，
由f′x>0，可得，由f′x