2024~2025学年黑龙江省绥化市绥棱县高三上学期12月月考数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年黑龙江省绥化市绥棱县高三上学期12月月考数学试卷【有解析】，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，是单位向量，且，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
4．已知双曲线，点在上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．的展开式中的系数为，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
6．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
8．设椭圆的弦与轴，轴分别交于，两点，，若直线的斜率，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．某种金属材料的长度随环境温度的改变而变化，某试验室从9时到16时每隔一个小时测得同一个金属材料的长度依次为3.62，3.61，3.65，3.62，3.63，3.63，3.62，3.64（单位：cm），则（ ）
A．该金属材料的长度的极差为0.04cm
B．该金属材料的长度的众数为3.63cm
C．该金属材料的长度的中位数为3.625cm
D．该金属材料的长度的第80百分位数为3.63cm
10．已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ）
A．B．为奇函数
C．在R上单调递减D．当时，
11．若数列前项和为，满足，其中、，则称是数列，则下面选项正确的是（ ）
A．若，则是数列B．若，则是数列
C．数列是等差数列D．数列是等比数列
三、填空题（本大题共3小题）
12．甲、乙、丙、丁4名老师分到3所不同的乡村学校支教，若每名老师只去一所学校，每所学校都有老师去，且甲不和别的老师去同一所学校，则不同的支教分派方案有 种．
13．已知，则 .
14．若不等式对恒成立，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知数列是由正数组成的等比数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和．
16．记的内角，，的对边分别为，，．已知，，．
(1)求的值；
(2)若点在边上，且，求．
17．如图，在四棱锥中，，E为AD的中点，．

(1)证明：平面 平面 ；
(2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．
18．在平面直角坐标系中，抛物线上一点A的横坐标为，且点A到焦点F的距离为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)点P在抛物线上，直线与直线交于Q点，过点F且平行于的直线交抛物线于两点，且，求λ的值．
19．已知，，若函数有两个零点m，n，且.
(1)a的取值范围；
(2)证明：当时，；
(3)证明：（注：是自然对数的底数）．
答案
1．【正确答案】B
【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故选B.
2．【正确答案】D
【详解】因为，所以．
故选：D.
3．【正确答案】C
【详解】设向量，的夹角为，，由，为单位向量，得，
由，得，解得，
所以.
故选：C
4．【正确答案】D
【详解】设点，则，即，
又两条渐近线方程为，即，故有，
所以．
故选:D.
5．【正确答案】A
【详解】
的展开式的通项公式为，所以．
令解得，
，令解得．
展开式中的系数为，可知，所以．
故选：A.
6．【正确答案】B
【详解】函数的定义域为，当时，，
当时，，故选项C错误，
当时，，当时，，
故选项A错误，
且，，
因为，所以，故选项D错误.
只有B中图象符合题意,
故选：B
7．【正确答案】C
【分析】先求出圆台的底面半径和高，再利用台体的体积公式求体积.
【详解】如图：
，，，，
根据圆台的侧面积公式：，
所以圆台的高：，
所以圆台的体积为.
故选C.
8．【正确答案】A
【详解】如图所示，设Ax1,y1，Bx2,y2，，，直线，

因为，所以，，
所以，，
即，，
所以，，
因为在椭圆上，所以，，两式相减得，即,
又因为，且，，
所以，即，所以，
故选：A.
9．【正确答案】AC
【详解】A选项，最小值为3.61cm，最大值为3.65cm，故极差为cm，A正确；
B选项，3.62cm出现了3次，出现次数最多，故众数为3.62cm，B错误；
C选项，将数据从小到大排序，3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65，
选取第4个和第5个的数的平均数作为中位数，即cm，C正确；
D选项，将数据从小到大排序，3.61，3.62，3.62，3.62，3.63，3.63，3.64，3.65，
，故选取第7个数作为第80百分位数，即3.64cm，D错误.
故选：AC.
10．【正确答案】ABD
【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确.
【详解】A选项，中，令得，，
又，故，
令中，令得，
令得，即，A正确；
B选项，中，令得，解得，
中，令得，
故为奇函数，B正确；
C选项，中，令，且，
故，即，
当时，，故，
即，故在R上单调递增，C错误；
D选项，，，
又，故，
又在R上单调递增，所以，D正确.
故选ABD.
11．【正确答案】BCD
【详解】若，则，等式两边同时取倒数可得，
所以，所以是数列，故A错误；
若，则，所以，所以，
所以是数列，故B正确；
已知数列，则有，
当时，，，
两式相减得，
又，所以，
即，
整理得，
又，所以，所以是等差数列，故选项C正确；
因为数列是数列，所以，
所以，．当时，（i），（ii），
（i）（ii）可得，
因为，所以，
所以，整理可得，
又，所以等比数列，故选项D正确．
故选：BCD.
12．【正确答案】
【详解】完成这件事，可分为3个步骤：
第1步，先从3所不同的乡村学校中选1所安排甲去，则有种方法；
第2步，将乙、丙、丁3位老师分成两组，3人中选2人1组，另1人自己1组，有种方法；
第3步，将两组老师分配到另外2所学校中去，有种方法，
故由分步计数原理，得不同的支教分派方案有种.
故答案为.
13．【正确答案】/
【详解】因为，
所以，则，故，
.
故答案为.
14．【正确答案】
【分析】先将不等式变形为，再把看成整体求解函数的值域，由不等式恒成立可得关于的不等关系，再利用不等关系表达所求式，并求其范围探究最值即可.
【详解】由，可得.
令，则在1,2上单调递增，所以，
由对恒成立，
所以，则，故，
当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为3.
故答案为.
15．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为，由，
得，∵是由正数组成的等比数列，则，，
则，解得或（舍），又，所以，
解得，所以
（2），
所以
16．【正确答案】(1)
(2)．
【详解】（1）如图，在中，因为，，，
所以．
（2）方法一 因为点在边上，且，
所以，，
又因为，
所以在中，由余弦定理得，可得．
方法二 ，
，
，
，即．
17．【正确答案】(1)证明见解析
(2)13
【详解】（1）证明：连接BD，

由已知，，，即，
且与是平面内的两条相交直线，
∴平面.
又平面，所以，
由于，E为AD的中点，且，
所以四边形为正方形，即，又可得为平行四边形，
所以，
，平面，
∴平面，又平面，
所以平面平面；
（2）

∵平面，∴为二面角的平面角，从而.
如图所示，在平面内，作， 以A为原点，分别以所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，
设，则，
∴，
设平面的法向量，
则，取，则，
设直线与平面所成角为，
则 ，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
18．【正确答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为点到焦点F的距离为2，
所以点到抛物线准线的距离为2，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为，
，解得，
抛物线的方程为．
（2）如图，易知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为y=kx−12，
联立y=kx−12y2=2x，消得k2x2−k2+2x+14k2=0，
设，
又，
∵，则直线OP的方程为，
联立y=kxy2=2x，消得，
令，则，
，故的值为．
19．【正确答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）（），所以，
由.
若，则在上恒成立，所以在上单调递增，
所以在不可能有两个零点.
若，由可得，所以在上单调递增，在上单调递减，且当时，；当时，.
所以函数在有两个零点，可转化为：，
∴．所以．
（2）证明：要证只需证，
只需证，即证，
故令，，只需证，
构造新函数，则，
函数在上单调递增，故，不等式得证.
（3）由函数有两个零点m，n，且知
∴
∴
∴
由（2）知
∴
∴
由（1）得，∴，∴