初中数学沪科版（2024）九年级上册反比例函数课后复习题

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册反比例函数课后复习题，共49页。
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数。
【题型1 用反比例函数描述数量关系】
【例1】（23-24八年级·山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）
A．某人参加800m赛跑时，时间t与跑步平均速度v之间的关系
B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长y与x之间的关系
C．压强公式p=FS中，F一定时，压强p与受力面积S之间的关系
D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系
【变式1-1】（23-24八年级·河北保定·期末）建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方104m3，则土石方日运送量Vm3天与完成运送任务所需时间t（天）满足（ ）
A．反比例函数关系B．正比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
【变式1-2】（23-24八年级·河南洛阳·期中）如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=12aℎ．那么下列说法错误的是（ ）
A．当a为定长时，S是h的一次函数B．当h为定长时，S是a的一次函数
C．当S确定时，a是h的一次函数D．当S确定时，h是a的反比例函数
【变式1-3】（23-24八年级·安徽宣城·期末）已知y=y1+y2，若y1与x−1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=−5；当x=2时，y=1．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求当x=−2时，y的值．
【题型2 反比例函数的概念】
【例2】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的反比例函数y=(m−2)xm−1，则m= ．
【变式2-1】（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函效y=k−1x，则k不可以取下列的哪个值（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【变式2-2】（23-24八年级·全国·假期作业）下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．y=x3B．y=3xC．y=x−3D．y=−3x2
【变式2-3】（23-24·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量ykg与单价x（元/kg）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
（2）水池中蓄水90m3，现用放水管xm3/h的速度排水，经过yh排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
【题型3 反比例函数图象上点的坐标特征】
【例3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值．
（1）反比例函数的比例系数是 ．
（2）表中“▲”处的数为 ．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）点A(m,2)在反比例函数y=4x的图像上，则m的值为 ．
【变式3-2】（23-24·陕西咸阳·三模）已知点Ax1,y1，Bx2,y2都在反比例函数y=4x的图象上．若x1⋅x2=−2，则y1⋅y2的值为 ．
【变式3-3】（23-24八年级·江苏扬州·期末）已知反比例函数y=kx的图像经过点A2,−4，则B12,−16 这个函数图像上．（填“在”或“不在”）
知识点2：反比例函数的图象与性质
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【题型4 判断反比例函数图象】
【例4】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（ ）
A．y=3x2B．y=3xC．y=−3xD．y=3x
【变式4-1】（23-24八年级·江苏泰州·期末）当菱形的面积一定时，它的两条对角线的长分别为x、y．选取5组数对x,y，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4-2】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图是三个反比例函数y1=k1x，y2=k2x，y3=k3x在y轴右侧的图象，则k1，k2，k3的大小关系为 ．
【变式4-3】（23-24·云南·模拟预测）定义新运算：p⊕q=pq,(q>0)−pq,(q0与双曲线y=4x交于A，B两点，若A2，m，则点B的坐标为（ ）
A．2,2B．−2,−1C．−2,−2D．−1,−4
【变式5-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，点A3a,−a是反比例函数y=kx的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的解析式为 ．
【变式5-3】（23-24八年级·江苏无锡·期末）如图，过原点的直线交反比例函数y=ax图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y=bxx>0的图象于A、B点，已知b−a=3，则图中阴影部分的面积为 ；且当S△APB=3时，b的值为 ．
【题型6 由反比例函数的图象求比例系数】
【例6】（23-24八年级·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 y=kxk≠0的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式6-1】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，反比例函数y=kx的图象经过平行四边形ABCD的顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为3,0，0,4，a,6，则k的值是 ．
【变式6-2】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，反比例函数y=kx的图象经过平行四边形ABCD的顶点C，D，若点A、点B、点C的坐标分别为3,0，0,4，a,6，则k的值是 ．
【变式6-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）如图，点A的坐标是−2，0，点B的坐标是0，6，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A′B′C′．若反比例函数y=kx的图像恰好经过A′B的中点D，则k= ．
知识点3：反比例函数比例系数k的几何意义
如图，在反比例函数上任取一点，过这一点分别作轴，轴
的垂线，与坐标轴围成的矩形的面积
【题型7 由比例系数求图形的面积】
【例7】（23-24八年级·浙江台州·期末）如图，正六边形ABCDEF的顶点A在y轴上，边BC与x轴重合．反比例函数y=3x的图象经过正六边形的中心G，则正六边形ABCDEF的面积等于 ．
【变式7-1】（23-24八年级·广东揭阳·期末）如图，A、B是反比例函数y=6x图象上两点，AC和BD都与坐标轴垂直，垂足分别为C，D，OD=1，OC=2，AC与BD交于点P，则△AOB的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【变式7-2】（23-24八年级·湖南邵阳·期末）如图，直线y=−x与反比例函数y=−6x的图象相交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C、D，连接AD,BC，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．4B．8C．12D．24
【变式7-3】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图， △OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形， ∠ACO=∠ADB=90∘ ，反比例函数 y=4x 在第一象限的图象经过点 B ，则 △OAC 与 △BAD 的面积之差为 ．
【题型8 由图形的面积求比例系数】
【例8】（23-24八年级·浙江宁波·期末）如图，点D是▱ABCD内一点，CD//x轴，BD//y轴，BD=2，∠ADB=135°，S△ABD=2，若反比例函数y=kx(x0，x>0的图象经过矩形对角线的交点E，若点A1,0，D0,2，则k的值为 ．
【变式8-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，BC∥x轴．AD与y轴交于点E，反比例函数 y＝kx（x＞0）的图象经过顶点 C、D．已知点C的横坐标为5，BE＝2DE，则k的值为 ．
【题型9 反比例函数图象中的规律探究】
【例9】（23-24·河北张家口·二模）如图，平面直角坐标系中，边长为1的正方形OAP1B的顶点A、B分别在x轴、y轴上，点P1在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为（ ）

A．(218,1218)B．(1218,218)C．(215,1215)D．(1215,215)
【变式9-1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如下表：(动力×动力臂=阻力×阻力臂)
请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近的是( )
A．300NB．180NC．150ND．120N
【变式9-2】（23-24·辽宁·一模）如图，点B11,33在直线l2:y=33x上，过点B1作A1B1⊥l1交直线l:y=3x于点A1，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，过C1的反比例函数为y=k1x；再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2,B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，过C2的反比例函数为y=k2x，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的kn= ．（用含n的代数式表示）

【变式9-3】（23-24八年级·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数y=4x的图象上有A2,m、B两点，连接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知BD=12AC，点F1是CD的中点，连接AF1、BF1，得到△AF1B；点F2是DF1的中点，连接AF2、BF2，得到△AF2B；……按照此规律继续进行下去，则△AFnB的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
【题型10 反比例函数图象中的存在性问题】
【例10】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y=kx(x>0)的图象经过点B．
(1)k的值为______．
(2)将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折，得到正方形MABC′，正方形NA′BC．设线段MC′，NA′分别与函数y=kx(x>0)的图象交于点E，F，连接OE，OF，EF．
①求△OEF的面积；
②在x轴上是否存在点P，使△PEF为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-1】（23-24八年级·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，BA⊥x轴于A，BC⊥y轴于C，BA=3，BC=5，有一反比例函数图象刚好过点B．
(1)分别求出过点B的反比例函数和过A，C两点的一次函数的表达式．
(2)动点P在射线CA（不包括C点）上，过点P作直线l⊥x轴，交反比例函数图象于点D．是否存在这样的点Q，使得以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-2】（23-24·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+2与反比例函数y=kx的图像交于A、B两点，其中点A的坐标为1，m．
(1)求反比例函数y=kx的函数表达式和点B的坐标．
(2)若A′是A点关于原点的对称点，连接AA′,BA′，求△A′AB的面积．
(3)连接OA，将线段OA绕点O顺时针旋转45°交反比例函数y=kx的图像于点C，D是x轴上一点，是否存在这样的点D，使得以O、C、D为顶点，OC为腰的等腰三角形？若存在，请写点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江温州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（k>0,k为常数，x>0）的图象经过矩形OABC的顶点B4,2，顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D为线段AC上的一个动点，点E在直线AO上一点，点F在反比例图象上．
(1)求反比例函数表达式．
(2)如图1，若点D为对角线AC的中点时，且四边形BDEF是平行四边形，求DE长．
(3)在坐标平面内，是否存在P点，使得四边形BDPF为正方形，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
答案讲解
知识点1：反比例函数的定义
一般的，形如的函数，叫做反比例函数。其中是自变量，是函数。
自变量的取值范围是不等于0的一切实数。
【题型1 用反比例函数描述数量关系】
【例1】（23-24八年级山东烟台·期末）下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（ ）
A．某人参加800m赛跑时，时间t与跑步平均速度v之间的关系
B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长y与x之间的关系
C．压强公式p=FS中，F一定时，压强p与受力面积S之间的关系
D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系
【答案】D
【详解】解：A、由题意得，vt=800，则时间t与跑步平均速度v之间的关系是反比例函数，不符合题意；
B、由题意得，xy=S长方形面积，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长y与x之间的关系是反比例函数，不符合题意；
C、由题意得，pS=F，则F一定时，压强p与受力面积S之间的关是反比例函数，不符合题意；
D、由题意得，S三角形=12l⋅ℎ（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意；
故选：D
【变式1-1】（23-24八年级·河北保定·期末）建设中的G107马头南至冀豫界段是我省“十四五”建设项目，其某段施工需运送土石方104m3，则土石方日运送量Vm3天与完成运送任务所需时间t（天）满足（ ）
A．反比例函数关系B．正比例函数关系
C．一次函数关系D．二次函数关系
【答案】A
【详解】解：由题意，得：V=104t，
∴V与t满足反比例函数关系．
故选：A．
【变式1-2】（23-24八年级·河南洛阳·期中）如果三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=12aℎ．那么下列说法错误的是（ ）
A．当a为定长时，S是h的一次函数B．当h为定长时，S是a的一次函数
C．当S确定时，a是h的一次函数D．当S确定时，h是a的反比例函数
【答案】C
【详解】解：三角形底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S=12aℎ，
A．当a为定长时，S是h的一次函数，正确，不符合题意；
B．当h为定长时，S是a的一次函数，正确，不符合题意；
C．当S确定时，a是h的反比例函数，原说法错误，符合题意；
D．当S确定时，h是a的反比例函数，正确，不符合题意．
故选：C．
【变式1-3】（23-24八年级·安徽宣城·期末）已知y=y1+y2，若y1与x−1成正比例，y2与x+1成反比例，当x=0时，y=−5；当x=2时，y=1．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)求当x=−2时，y的值．
【详解】（1）解：设y1=k1x−1，y2=k2x+1，
则y=k1x−1+k2x+1
∵当x=0时，y=−5；当x=2时，y=1．
∴ −k1+k2=−5k1+k23=1
解得：k1=2k2=−3
∴ y=2x−1−3x+1
（2）当x=−2时，y=2×−3−3−1=−6+3=−3．
【题型2 反比例函数的概念】
【例2】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）已知关于x的反比例函数y=(m−2)xm−1，则m= ．
【答案】0
【详解】解：∵y=(m−2)xm−1是反比例函数，
∴m−2≠0，m−1=−1，
∴m=0，
故答案为：0
【变式2-1】（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）已知反比例函效y=k−1x，则k不可以取下列的哪个值（ ）
A．−1B．0C．1D．2
【答案】C
【详解】解：∵y=k−1x，
∴k−1≠0，即k≠1，
故选：C．
【变式2-2】（23-24八年级·全国·假期作业）下列函数中是反比例函数的是（ ）
A．y=x3B．y=3xC．y=x−3D．y=−3x2
【答案】B
【详解】解：A、y=x3是正比例函数，故A不合题意；
B、y=3x是反比例函数，故B符合题意；
C、y=x−3是一次函数，不是反比例函数，故C不合题意；
D、y=−3x2不是反比例函数，故D不合题意；
故选：B．
【变式2-3】（23-24·江苏盐城·模拟预测）（1）学校食堂用1200元购买大米，写出所购买的大米质量ykg与单价x（元/kg）之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
（2）水池中蓄水90m3，现用放水管xm3/h的速度排水，经过yh排空．写出y与x之间的函数表达式，y是x的反比例函数吗？
【详解】解：（1）由题意得：xy=1200，
∴y=1200x，
∴y是x的反比例函数；
（2）由题意，得y=90x，
∴y是x的反比例函数．
【题型3 反比例函数图象上点的坐标特征】
【例3】（23-24·河北石家庄·模拟预测）已知y是x的反比例函数，如表给出了x与y的一些值．
（1）反比例函数的比例系数是 ．
（2）表中“▲”处的数为 ．
【详解】设反比例函数解析式为y=kx
将x=−2，y=3代入y=kx得，k=−2×3=−6
∴反比例函数的比例系数是−6；
（2）∵k=−6
∴y=−6x
当x=4时，y=−64=−32，
∴中“▲”处的数为−32．
故答案为：−6，−32．
【变式3-1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）点A(m,2)在反比例函数y=4x的图像上，则m的值为 ．
【答案】2
【详解】解：把A(m,2)代入y=4x得：2m=4，
解得m=2，
故答案为：2．
【变式3-2】（23-24·陕西咸阳·三模）已知点Ax1,y1，Bx2,y2都在反比例函数y=4x的图象上．若x1⋅x2=−2，则y1⋅y2的值为 ．
【答案】−8
【详解】解：∵点Ax1,y1，Bx2,y2都在反比例函数y=4x的图象上，
∴x1y1=4，x2y2=4，
∴x1y1x2y2=16，
且x1⋅x2=−2，
∴y1⋅y2=−8．
故答案为：−8．
【变式3-3】（23-24八年级·江苏扬州·期末）已知反比例函数y=kx的图像经过点A2,−4，则B12,−16 这个函数图像上．（填“在”或“不在”）
【答案】在
【详解】解：∵反比例函数y=kx的图像经过点A2,−4，
∴k=2×−4=−8，
∴反比例函数的解析式为y=−8x，
当x=12时，y=−812=−16，则点B在反比例函数的图像上，
故答案为：在．
知识点2：反比例函数的图象与性质
1、图象：由两条曲线组成（双曲线）
2、性质：
【题型3 由反比例函数解析式判断其性质】
【题型4 判断反比例函数图象】
【例4】（23-24八年级·湖南岳阳·期末）如图所示，该函数表达式可能是（ ）
A．y=3x2B．y=3xC．y=−3xD．y=3x
【答案】C
【详解】解：由图象可知，反比例函数k0，2k>0，
∴图象分布在第一象限，y的值随x的增大而减小，
∴描点正确的是C，
故选：C．
【变式4-2】（23-24八年级·河南南阳·阶段练习）如图是三个反比例函数y1=k1x，y2=k2x，y3=k3x在y轴右侧的图象，则k1，k2，k3的大小关系为 ．
【答案】k1>k2>k3/k3y2，
∴k1>k2，
∴k1>k2>k3,
故答案为：k1>k2>k3．
【变式4-3】（23-24·云南·模拟预测）定义新运算：p⊕q=pq,(q>0)−pq,(q0−2xx0时，图象在第一象限；当x0与双曲线y=4x交于A，B两点，若A2，m，则点B的坐标为（ ）
A．2,2B．−2,−1C．−2,−2D．−1,−4
【答案】C
【详解】解：∵直线y=kxk>0与双曲线y=4x交于A，B两点，
∴点A和点B关于原点对称，
把A2，m代入到y=4x中得：m=42=2，
∴A2，2，
∴B−2，−2，
故选C．
【变式5-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，点A3a,−a是反比例函数y=kx的图象与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为4π，则反比例函数的解析式为 ．
【答案】y=−43x
【详解】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：14πr2=4π，
解得：r=4．
∵点A3a,−a是反比例函y=kx的图象与⊙O的一个交点．
∴−3a2=k且−3a2+−a2=r，
∴a2=4．
∴k=−3×4=−43，
则反比例函数的解析式是：y=−43x．
故答案为：y=−43x．
【变式5-3】（23-24八年级·江苏无锡·期末）如图，过原点的直线交反比例函数y=ax图象于P、Q点，过点Р分别作x轴，y轴的垂线，交反比例函数y=bxx>0的图象于A、B点，已知b−a=3，则图中阴影部分的面积为 ；且当S△APB=3时，b的值为 ．
【答案】 6 92
【详解】
连接PQ，OA，OB，延长BP交x轴于点C，
设点C对应的数为m，m＞0.则P（m，am），B（m，bm）
∴OC=m，PC=am，BC=bm
∴S△POC=12OC×PC＝12a，S△BOC＝12ＯＣ×ＢＣ＝12b
∴S△BOP＝S△BOC－S△COP＝12b－12a＝32
∵P、Q关于原点成中心对称，
∴OP=OQ
∴S△BPO＝S△BQO
∴S△BPQ＝2S△BOP＝3
同理可得：S△APQ＝2S△AOP＝3
所以S阴影＝S△POP+S△POA=3+3=6
设点C（m，0）m＞0．
则P（m，am），A（m，bm），B（bma，am），
∴AP＝bm−am=3m，BP=bma−m=b−ama=3ma，
∵S△APB＝3，
∴12AP·BP=12×3m×3ma=3，
∴a＝32，
∵b−a＝3，∴b＝92，
故答案为：6，92．
【题型6 由反比例函数的图象求比例系数】
【例6】（23-24八年级·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 y=kxk≠0的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点A2,2，
∴k−1×−2=2，
∴20)的图象上，过P1A的中点B1作矩形B1AA1P2，使顶点P2落在反比例函数的图象上，再过P2A1的中点B2作矩形B2A1A2P3，使顶点P3落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形B18A17A18P19时，落在反比例函数图象上的顶点P19的坐标为（ ）

A．(218,1218)B．(1218,218)C．(215,1215)D．(1215,215)
【答案】A
【详解】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=kx（x＞0）的图象上，
∴P1（1，1），
∴k=1，
∴在反比例函数的解析式为：y=1x，
∵B1是P1A的中点，
∴P2A1=AB1=12，
∴OA1=2，
∴P2（2，12），
同理，P3（22，122），
…
∴Pn（2n-1，12n−1）．
当n=19时，则有
P19的坐标为：（218，1218）
故选：A．
【变式9-1】（23-24·湖北武汉·模拟预测）某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如下表：(动力×动力臂=阻力×阻力臂)
请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力最接近的是( )
A．300NB．180NC．150ND．120N
【答案】C
【详解】解：由表格可知动力臂与动力成反比的关系，
设L=KF，
将0.5,600代入L=KF得：600=K0.5，
解得：K=300，
∴L=300F，
把L=2代入得：2=300F，
解得：F=150，
故选：C．
【变式9-2】（23-24·辽宁·一模）如图，点B11,33在直线l2:y=33x上，过点B1作A1B1⊥l1交直线l:y=3x于点A1，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，过C1的反比例函数为y=k1x；再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2,B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，过C2的反比例函数为y=k2x，…，按此规律进行下去，则第n个反比例函数的kn= ．（用含n的代数式表示）

【答案】233×94n−1或233×322n−2
【详解】解：直线l2:y=33x 与x轴夹角为30°，
直线l1:y=3x与x轴夹角为60°，
∴l1 与l2的夹角30°，
∵A1B1⊥l1，
∴∠OB1A1=60°,
∵等边三角形A1B1C1，
∴B1C1⊥x轴，
∵B1(1,33),
∴OB1=233,
∴B1C1=33,
∴C1(1,233),
∴k1=233,
∴OB2=233+32=3,
∴A2B2=32,
∴B2的横坐标32,
B2的纵坐标32,
∴C2(32,3),
∴k2=332,
以此得到OBn=(32)n−1×233, Cn的横坐标(32)n−1,
Cn的纵坐标(32)n−1×233,
∴kn=(32)n−1×(32)n−1×233=233×(32)2n−2,

故答案为 233×(32)2n−2.
【变式9-3】（23-24八年级·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数y=4x的图象上有A2,m、B两点，连接AB，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知BD=12AC，点F1是CD的中点，连接AF1、BF1，得到△AF1B；点F2是DF1的中点，连接AF2、BF2，得到△AF2B；……按照此规律继续进行下去，则△AFnB的面积为 ．（用含正整数n的式子表示）
【答案】2n+12n
【详解】解：∵A2,m在反比例函数y=4x的图象上，
∴m=42=2，
∴A2,2，
∵AC⊥x轴，
∴AC=2，OC=2
∴BD=12AC=1，
∵BD⊥x轴，
∴点B的纵坐标为1，
在y=4x中，当y=4x=1时，x=4，
∴B4，1，
∴OD=4，
∴CD=2，
∴S四边形ACDB=AC+BD2⋅CD=3，
∵点F1是CD的中点，
∴CF1=DF1=12CD=1，
∴S△ACF1=12AC⋅CF1=12×1×2=1，S△BDF1=12BD⋅DF1=12×1×1=12，
∵点F2是DF1的中点，
∴DF2=12DF1=14CD=12，
∴CF2=CD−DF2=34CD=32，
∴S△ACF2=12AC⋅CF2=32，S△BDF2=12BD⋅DF2=14，
∵F3为CF2的中点，
∴DF3=12DF2=18CD=14，
∴CF3=CD−DF3=74，
∴S△ACF3=12AC⋅CF3=74，S△BDF3=12BD⋅DF3=18，
……，
以此类推可知，S△ACFn=2n−12n−1，S△DCFn=12n，
∴S△AFnB=S四边形ACDB−S△ACFn−S△BDFn=3−2n−12n−1−12n=3⋅2n−2⋅2n+2−12n=2n+12n，
故答案为：2n+12n．
【题型10 反比例函数图象中的存在性问题】
【例10】（23-24八年级·河南周口·期末）如图，四边形OABC是面积为4的正方形，函数y=kx(x>0)的图象经过点B．
(1)k的值为______．
(2)将正方形OABC分别沿直线AB，BC翻折，得到正方形MABC′，正方形NA′BC．设线段MC′，NA′分别与函数y=kx(x>0)的图象交于点E，F，连接OE，OF，EF．
①求△OEF的面积；
②在x轴上是否存在点P，使△PEF为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵四边形OABC是面积为4的正方形，
∴OA=AB=4，则B2,2,
将B2,2代入y=kx(x>0)中，得k=2×2=4；
（2）解：①根据翻折性质，得ON=OM=4，
∴点E的横坐标为4，点F的纵坐标为4，
∵点E、F在函数y=kx(x>0)的图象上，
∴当x=4时，y=1，当y=4，x=1，
∴E4,1，F1,4，
过F作FH⊥x轴于H，则S△FOH=S△EOM，
∴S△OEF=S梯形FHME=12×4+1×4−1=152；
②存在．设Px,0，
∴PE2=x−42+0−12=x2−8x+17，
PF2=x−12+0−42=x2−2x+17，
EF2=4−12+1−42=18，
∵△PEF为直角三角形，
∴分三种情况：
若∠PEF=90°，则PE2+EF2=PF2，
∴x2−8x+17+18=x2−2x+17，解得x=3，
∴P3,0；
若∠EPF=90°，则PE2+PF2=EF2，
∴x2−8x+17+x2−2x+17=18，即x2−5x+8=0，
∵x−522=−740，
∴m=55−52，
∴Q(55−10,3)，
综上所述，若以点B，D，P，Q为顶点的四边形为菱形，则Q点的坐标为5,−274或(5,−2728)或(55−10,3)．
【变式10-2】（23-24·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+2与反比例函数y=kx的图像交于A、B两点，其中点A的坐标为1，m．
(1)求反比例函数y=kx的函数表达式和点B的坐标．
(2)若A′是A点关于原点的对称点，连接AA′,BA′，求△A′AB的面积．
(3)连接OA，将线段OA绕点O顺时针旋转45°交反比例函数y=kx的图像于点C，D是x轴上一点，是否存在这样的点D，使得以O、C、D为顶点，OC为腰的等腰三角形？若存在，请写点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵点1，m在一次函数y=x+2的图像上，
∴m=1+2=3，
∴A1，3，
∴反比例函数解析式为y=3x
联立方程组得：y=x+2y=3x，解得y=1y=3或y=−3y=−1．
∴B−3，−1．
（2）解：如图1，连接BO，延长AO交反比例函数图像于点A′，直线AB交x轴于点E，
∵A′是A点关于原点的对称点，
∴A′−1，−3，
在直线y=x+2中，当y=0时，x=−2，
∴E−2，0，即OC=2，
∴S△AOB=S△AOE+S△BOE=12×2×3+12×2×1=4，
根据反比例函数的图像关于原点成中心对称图形，
∴OA=OA′，
∴S△A'AB=2S△AOB=2×4=8．
（3）解：如图：存在这样的点D，点D位置有三处：
∵A1，3，
∴OA=12+32=10，
如图：过A作AE⊥OA1，过C作CD⊥x轴，
∵线段OA绕点O顺时针旋转45°得到OA1，
∴∠AOA1=45°,OA=OA1=10，
∴∠OAE=∠AOA1=45°，
∴OE=AE，
∵OA2=OE2+AE2，
∴10=2AE2，解得：AE=OE=5，
∴EA1=OA1−OE=10−5
∴AA12=EA12+AE2=10−52+52,
设A1的坐标为c,d，
∴AA12=c−12+d−32=10−52+52①，
∵OA1=10，
∴c2+d2=10②，
联立c−12+d−32=10−52+52c2+d2=10，解得：c=22d=2（舍弃负值），
∴A122,2，
∴直线OA1解析式为y=12x，
∵直线OA1与反比例函数图像交于点C，
∴直线OC解析式为y=12x，
∴y=12xy=3x，解得：x=6y=62或x=−6y=−62（不合题意舍弃），
∴C6,62，
∴OC=6+32=302，
如图：当△OCD1为等腰三角形，则OD1=OC=302，即D1−302,0；
当△OCD2为等腰三角形，则OD2=OC=302，即D2302,0；
当△OCD3为等腰三角形，过C作CD⊥x轴，则OD=6，
∵OC=CD3，
∴OD3=2OD=26，即D326,0；
∴D1−302,0,D2302,0,D326,0．
【变式10-3】（23-24八年级·浙江温州·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx（k>0,k为常数，x>0）的图象经过矩形OABC的顶点B4,2，顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D为线段AC上的一个动点，点E在直线AO上一点，点F在反比例图象上．
(1)求反比例函数表达式．
(2)如图1，若点D为对角线AC的中点时，且四边形BDEF是平行四边形，求DE长．
(3)在坐标平面内，是否存在P点，使得四边形BDPF为正方形，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【详解】（1）解：∵B4,2在y=kx的图象上，
∴k=4×2=8，
∴y=8x
（2）解：∵矩形OABC的顶点B4,2，点D为对角线AC的中点时，
∴D为OB的中点，则D2,1，
∵点E在直线AO上一点，点F在反比例图象上，四边形BDEF是平行四边形，
∴DE=BF，
设Em,0，Fn,8n
∵D2,1，B4,2，BE为对角线
∴m+4=2+n2=8n+1
解得：m=6n=8
∴E6,0
∴DE=2−62+12=17
（3）解：∵矩形OABC的顶点B4,2，
∴A4,0，C0,2
直线AC的解析式为y=kx+bk≠0，
将A4,0，C0,2代入得
4k+b=0b=2
解得：k=−12b=2
∴直线AC的解析式为y=−12x+2，
如图所示，当F在B点右侧时，过点D作DG⊥BC，于点G，过点F作FM⊥BC于点M，
∴∠DGB=∠BMF=90°
∵四边形BDPF为正方形，
∴BD=BF，∠DBF=90°，
∴∠GBD=90°−∠FBM=∠BFM，
∴△BDG≌△FBM
∴DG=BM
∵点D为线段AC上的一个动点，
设Dx,−12x+2 0