四川省绵阳外国语学校2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 已知复数，则复数z的模为（ ）
2. 已知集合，，若“”是“”成立的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（ ）
3. 已知直线与圆相切，则的值（ ）
4. 圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（注：）（ ）
5. 的展开式中的系数为（ ）
6. 已知向量，，其中，，则的取值范围为（ ）
7. 已知是无穷等比数列，其前项和为.若对任意正整数，都有，则的取值范围是（ ）
8. 已知抛物线，的焦点分别为、，若、分别为、上的点，且线段平行于轴，则下列结论错误的是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数的部分图象如图所示，其中，则（ ）
10. 函数的图象可能是（ ）
11. 小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）注：为自然对数的底数，，．
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 在某次数学测试中，学生成绩服从正态分布．若在内的概率为0.8，则任意选取两名学生的成绩，恰有一名学生成绩不低于120分的概率为__________．
13. 在中，内角，，的对边依次为，，，，，，的面积为 __
14. 如图，在四棱台中，上、下底面都是正方形，平面ABCD，，E是的中点，F是的中点，平面BEF把四棱台分成两部分，这两部分的体积分别为，（其中），则______．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 如图，在三棱锥中，平面，．
(1)在线段上找一点，使平面平面，求的长；
(2)若为的中点，求与平面所成角的正弦值．
16. 已知数列的首项为，前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，记数列的前项和为，求证：．
17. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围．
18. 在一个抽奖游戏中，有A、B两个不透明的箱子．箱子A中装有3个红球和2个白球，箱子B中装有2个红球和3个白球．游戏规则如下：
第一轮，先从箱子A中随机摸出2个球，若摸出的2个球颜色相同，则将这2个球放入箱子B中，然后从箱子B中随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得10分；若摸到白球，则玩家获得5分；若摸出的2个球颜色不同，则将这2个球放回箱子A中，然后从箱子A中再随机摸出1个球，查看颜色后放回箱子里，若摸到红球，则玩家获得8分，若摸到白球，则玩家获得3分．
(1)求玩家在游戏中获得10分的概率．
(2)设玩家在游戏中获得的分数为，求的分布列和数学期望．
(3)根据第一轮结束后箱子A和B中球的实际情况，再从箱子A和B中随机选择一个箱子（选择箱子A和箱子B的概率均为），然后从选中的箱子中随机摸出2个球．求这2个球都是红球的概率．
19. 已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性；
(3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围.
四川省绵阳外国语学校2025届高三下学期第三次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、等式与不等式、平面解析几何、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、平面向量、数列、函数与导数、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．与a有关，与b有关
B．与a有关，与b无关
C．与a无关，与b有关
D．与a无关，与b无关
A．
B．
C．
D．
A．30
B．
C．20
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．当时，是直角三角形
B．当时，是等腰三角形
C．存在四边形是菱形
D．存在四边形是矩形
A．的最小正周期为
B．
C．在上单调递减
D．在上有6个零点
A．
B．
C．
D．
A．有最小值，且最小值为整数
B．存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸”
C．恰有两个极值点
D．恰有三个零点
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
6
适中
10
较难
1
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
求复数的模；复数的除法运算
2
0.85
根据充分不必要条件求参数；解不含参数的一元二次不等式
3
0.94
求点到直线的距离；由直线与圆的位置关系求参数
4
0.85
高度测量问题
5
0.65
三项展开式的系数问题
6
0.85
数量积的坐标表示；基本不等式求和的最小值；坐标计算向量的模
7
0.65
数列不等式恒成立问题；等比数列前n项和的基本量计算
8
0.65
直线与抛物线交点相关问题
二、多选题
9
0.65
求正弦（型）函数的最小正周期；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求sinx型三角函数的单调性
10
0.65
函数图像的识别；用导数判断或证明已知函数的单调性
11
0.15
导数新定义；利用导数研究函数的零点
三、填空题
12
0.85
独立重复试验的概率问题；指定区间的概率
13
0.85
正弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用；二倍角的余弦公式
14
0.65
台体体积的有关计算
四、解答题
15
0.65
补全面面垂直的条件；线面角的向量求法；证明面面垂直
16
0.65
累加法求数列通项；裂项相消法求和；求等差数列前n项和；利用an与sn关系求通项或项
17
0.65
根据离心率求双曲线的标准方程；双曲线中的参数及范围；根据a、b、c求双曲线的标准方程；双曲线中向量点乘问题
18
0.65
计算条件概率；求离散型随机变量的均值；计算古典概型问题的概率
19
0.4
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数求函数（含参）的单调区间；已知函数最值求参数
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
等式与不等式
2,6
4
平面解析几何
3,8,17
5
三角函数与解三角形
4,9,13
6
计数原理与概率统计
5,12,18
7
平面向量
6
8
数列
7,16
9
函数与导数
10,11,19
10
空间向量与立体几何
14,15