陕西省镇安中学2025届高三下学期全真模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合,,则
2. 设为虚数单位，则（ ）
3. 双曲线 的渐近线方程为（ ）
4. 已知，则在上的投影向量为（ ）
5. 一个底面边长为的正四棱柱形状的容器内装有一些水（底面放置于桌面上），现将一个底面半径为的铁制实心圆锥放入该容器内，圆锥完全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了.若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的侧面积为（ ）
6. 若，则（ ）
7. 已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
8. 已知是定义在上的函数的导函数，且满足，，则下列结论正确的是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 若函数 ，则（ ）
10. 下列说法正确的是（ ）
11. 已知直线 不同时为 )，，抛物线的焦点为，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若 的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则 _____
13. 已知随机事件 ． 若 ，则 _____
14. 如图，一滑轮组中有两个定滑轮A，B，在从连接点O出发的三根绳的端点处挂着三个重物，它们所受的重力分别为4N，4N，7N，此时整个系统处于平衡状态，则________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 记的内角所对的边分别为，已知．
(1)若，求外接圆的半径；
(2)若为边的中点，求线段的长．
16. 如图，是圆柱上底面圆周上的三个不同的点，为直径，，均为该圆柱的母线．

(1)证明：平面平面．
(2)若，，，求与平面所成角的正弦值．
17. 已知函数的图象在点处的切线的一个方向向量为．
(1)求的值；
(2)若不等式恒成立，求的取值范围．
18. 已知椭圆的一个顶点为，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与直线交于点、，当时，求直线的方程．
19. 在双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向，2024年我国新能源汽车销量继续走高．为了解新能源汽车车主对新能源汽车的满意程度，某市某品牌的新能源汽车经销商从购买了该品牌新能源汽车的车主中随机选取了100人进行问卷调查，并根据其满意度评分（单位：分，总分100分）制作了如下的频数分布表：
(1)计算满意度评分的样本平均数和样本中位数；（每组数据以该组区间的中点值为代表）
(2)根据频数分布表可以认为该市该品牌新能源汽车车主对新能源汽车的满意度评分近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本的标准差，并求得．若该市恰有1万名该品牌的新能源汽车车主，试估计这些车主中满意度评分位于区间的人数；
(3)为提升新能源汽车的销量，该品牌4S店针对购买该品牌新能源汽车的顾客设置了抽奖环节，抽奖规则如下：每人可参加2次抽奖，每次抽奖都从装有3个红球、3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出3个球，若摸出3个红球，则返还2000元现金；若摸出2个红球，则返还1000元现金，其余情况不返还任何现金（两次抽奖返现金额叠加）．已知小王参加了抽奖，记他获得的返现金额为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若随机变量，则.
陕西省镇安中学2025届高三下学期全真模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、平面解析几何、平面向量、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、数列、函数与导数、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．5
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．的定义域为
C．是奇函数
D．的最小值为 0
A．从50个个体中随机抽取一个容量为30的样本，则每个个体被抽到的概率为
B．两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1
C．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，模型的拟合效果越好
D．已知随机变量，且，则
A．直线与恒有两个交点
B．直线被截得的最短弦长为
C．与抛物线交于两点，则
D．当时，直线与抛物线交于两点，则
满意度评分
频数
10
15
20
30
15
10
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
5
适中
11
较难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算
2
0.85
求复数的模；复数的除法运算
3
0.94
已知方程求双曲线的渐近线
4
0.65
数量积的运算律；求投影向量
5
0.65
圆锥表面积的有关计算；柱体体积的有关计算；锥体体积的有关计算
6
0.65
三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；用和、差角的正弦公式化简、求值
7
0.65
累加法求数列通项；裂项相消法求和
8
0.4
用导数判断或证明已知函数的单调性；比较函数值的大小关系
二、多选题
9
0.65
求函数值；具体函数的定义域；复杂（根式型、分式型等）函数的值域；函数奇偶性的定义与判断
10
0.85
相关系数的意义及辨析；指定区间的概率；相关指数的计算及分析
11
0.65
判断直线与圆的位置关系；求直线与抛物线的交点坐标；圆的弦长与中点弦；与抛物线焦点弦有关的几何性质
三、填空题
12
0.85
二项展开式各项的系数和；二项式的系数和
13
0.85
计算条件概率
14
0.85
向量夹角的计算；数量积的运算律；力的合成
四、解答题
15
0.65
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；正弦定理求外接圆半径；正弦定理边角互化的应用
16
0.65
证明面面垂直；线面角的向量求法
17
0.65
已知切线（斜率）求参数；利用导数研究不等式恒成立问题；由导数求函数的最值（不含参）
18
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；求椭圆中的弦长
19
0.65
由频率分布直方图估计平均数；正态分布的实际应用；写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
复数
2
3
平面解析几何
3,11,18
4
平面向量
4,14
5
空间向量与立体几何
5,16
6
三角函数与解三角形
6,15
7
数列
7
8
函数与导数
8,9,17
9
计数原理与概率统计
10,12,13,19