2024-2025学年陕西省咸阳市泾阳县泾干中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省咸阳市泾阳县泾干中学高二（下）期中数学试卷（含解析），共58页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=f′(1)⋅x2−lnx，则f′(1)=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
2.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，其中被5整除的数有( )
A. 16B. 20C. 30D. 36
3.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境.“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人.假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v=1.4t+0.3t2，t∈[0,12]，则当t=10s时，“高原版”复兴号动车的加速度为( )
A. 4.4m/s2B. 7.4m/s2C. 17m/s2D. 20m/s2
4.抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件M为“2个骰子的点数不相同”，事件N为“点数之和大于8”，则在事件M发生的条件下，事件N发生的概率是( )
A. 56B. 59C. 13D. 415
5.设(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)7+(1+x)8+(1+x)9=a0+a1x+⋯+a8x8+a9x9，则a2=( )
A. 120B. 84C. 56D. 36
6.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是( )
A. 300B. 360C. 390D. 420
7.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域(A,B,C,D,E)涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有( )
A. 2520种
B. 3360种
C. 3570种
D. 4410种
8.已知函数f(x)=ex−ax2的定义域为(12,2)，且对∀x1,x2∈(12,2),x1≠x2,f(x1)−f(x2)x1−x20)的零点为x0，则当a的值为______时，x0取最大值，最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知f(x)=1+x，g(x)=(1+5x)m(m∈N∗).
(1)当m=5时，求f(x)⋅g(x)的展开式中含x2的项；
(2)若(1+5x)n(n≤10,n∈N∗)的展开式中，倒数第2，3，4项的系数成等差数列，求(1+5x)n的展开式中系数最大的项．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−x2−ax+2．
(1)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，求a的取值范围．
(2)若函数f(x)在x=1时取得极值，
①求函数f(x)的单调区间；
②求函数f(x)在区间[−2,2]上的最小值．
17.(本小题12分)
2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付准备从国内n(n∈N∗)个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415．
(1)求n的值；
(2)若一次抽取3个城市，则：
①假设取出小城市的个数为X，求X的分布列；
②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2lnx−x2+m．
(1)当m=0时，求函数f(x)的图象在x=2处的切线方程；
(2)若f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若f(x)在[1e,e]上有两个不同零点，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=12x2+alnx(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数g(x)=f(x)−4x+5恰有两个极值点x1、x2．
①求a的取值范围；
②证明：g(x1)+g(x2)>lna．
答案解析
1.【答案】A
【解析】解：由于函数 f(x)=f′(1)⋅x2−lnx，则其导函数为：f′(x)=2f′(1)⋅x−1x，
代入x=1，可得：f′(1)=2f′(1)−1，解得：f′(1)=1．
故选：A．
求出导函数f′(x)，然后求出f′(1)即可．
本题考查了基本初等函数的求导公式，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，若这个三位数能被5整除，则其个位数字必须是0或5，
则分2种情况讨论：
①、当其个位数字为0时，可以在1、2、3、4、5中任选2个，安排在十位、百位，有A52=20种情况，
②、当其个位数字为5时，百位数字不能为0，可以在1、2、3、4中任选1个，有4种情况，
再在剩下的4个数字中选1个，安排在十位，有4种情况，
此时共有4×4=16种情况，
综合可得，被5整除的三位数有20+16=36个；
故选：D．
根据题意，由被5整除的三位数特点，分2种情况讨论：①、个位数字为0，②、个位数字为5，分别求出每种情况下的三位数数目，进而由分类计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，解题时如需要分类讨论，要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．
3.【答案】B
【解析】解：v′=0.6t+1.4，
故当t=10时，v′=6+1.4=7.4，
即t=10s时，“高原版”复兴号动车的加速度为7.4m/s2．
故选：B．
通过求导，利用导数求瞬时变化率求解．
本题考查了基本初等函数的求导公式，导数的物理意义，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：记事件M为“2个骰子的点数不相同”，事件N为“点数之和大于8”，
事件M包含的基本事件有30个，则P(M)=6×562=56，
事件MN包含的基本事件有8个，则P(MN)=862=29，
所以P(N|M)=P(MN)P(M)=415．
故选：D．
根据条件概率公式P(N|M)=P(MN)P(M)来求解，需要先分别求出P(M)、P(MN)，再代入公式计算P(N|M)．
本题考查条件概率相关知识，属于中档题．
5.【答案】A
【解析】解：已知(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)7+(1+x)8+(1+x)9=a0+a1x+⋯+a8x8+a9x9，
则a2=C22+C32+⋯+C92=C33+C32+⋯+C92=C103=120．
故选：A．
根据给定的展开式特征，列出a2的表达式，再利用组合数性质计算作答．
本题考查了二项式定理的应用，属基础题．
6.【答案】C
【解析】解：当5个人中有3个人被录用，
则不同的录用情况种数是A53=60；
当5个人中有4个人被录用，
则不同的录用情况种数是C5412C42CA22A33=180；
当5个人中全部被录用，
则不同的录用情况种数是23C52CA22A33+14C51CA22A33=150，
则不同的录用情况种数共有60+180+150=390．
故选：C．
由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法计数原理及平均分组问题求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及平均分组问题，属中档题．
7.【答案】D
【解析】解：用7种颜色给5个小区域(A,B,C,D,E)涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，
分4步进行分析：
①对于区域C，有7种颜色可选；
②对于区域A，与C区域相邻，有6种颜色可选；
③对于区域B，与A、C区域相邻，有5种颜色可选；
④对于区域E、D，
若E与A颜色不相同，E区域有4种颜色可选，D区域有4种颜色可选，
若E与A颜色相同，D区域有5种颜色可选，
则区域E、D有5+4×4=21种选择．
综上所述，不同的涂色方案有7×6×5×21=4410种．
故选：D．
利用分类加法计数原理，分步乘法计数原理解决．
本题主要考查排列组合知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：设x1>x2，因为∀x1,x2∈(12,2),x1≠x2,f(x1)−f(x2)x1−x2