2024~2025学年贵州省贵阳市高三上册10月月考数学试卷[有解析]

这是一份2024~2025学年贵州省贵阳市高三上册10月月考数学试卷[有解析]，共23页。试卷主要包含了答卷前，考生务必将自己的姓名等内容，欢迎下载使用。
1、本场考试时间为120分钟，试题卷共5页，满分150分，答题卡共4页.
2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数为纯虚数，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集，则的非空真子集个数为（ ）
A. 13个B. 14个C. 15个D. 16个
3. 已知函数在点处的切线为直线，若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为多少（ ）
A. B. 1C. 2D.
4. 已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为4的正方形，往容器内注水后水面高度为，若再往容器中放入一个半径为的实心铁球，则此时水面的高度为（ ）
A. B. C. D.
5. 心率是指正常人安静状态下每分钟心跳的次数，也叫安静心率，一般为 60～100 次/分.某生统计了自己的八组心率，如下为：80，76，，80，83，81，85，平均数为80分且，是两个相邻的自然数，则这组数据的第75分位数是多少（ ）
A. 79B. 80C. 81D. 82
6. 若单位向量满足，向量满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7. 十进制计数法简单易懂，方便人们进行计算.也可以用其他进制表示数，如十进制下，；；将余数从下往上排列起来，所以125就是68这个数的七进制.表示形式就是125，个位数为5，那么用七进制表示十进制的，其个位数是（ ）
A. 6B. 5C. 2D. 1
8. 已知双曲线，在双曲线C上任意一点处作双曲线C的切线（），交C在第一、四象限的渐近线分别于A、B两点．当时，该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分）
9. 若实数，则下列不等式一定成立是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知非常数函数定义域为，且，则（ ）
A B. 或
C. 是上的增函数D. 是上的增函数
11. 芯片时常制造在半导体晶元表面上.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，这款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取M个，这M个芯片中恰有m个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（参考数据：，）
A. PB>PB|A
B. PA|B>PA|B
C.
D. 取得最大值时，M的估计值为54
第II卷（选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若直线：与圆：交于，两点，则______.
13. 已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，则______.
14. 已知正方体的棱长为3，取出各棱的两个三等分点，共24个点，对于正方体的每个顶点，设这24个点中与距离最小的三个点为，从正方体中切去所有四面体，得到的几何体的外接球表面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数（，，），函数和它的导函数f'x的图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）已知，求的值.
16. 已知函数.
（1）若函数在处有极值，求的值；
（2）若函数在内单调递减，求b的取值范围．
17. 已知四棱锥的底面是一个梯形，，，，，，.

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角余弦值.
18. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
（1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
19. 已知集合，记，，是自然数集
称函数，若对于任意，；
称函数是单调的，若对于任意，；
•称函数是次模，若对于任意,
已知函数是次模的．
（1）判断是否一定是单调的，并说明理由；
（2）证明：对于任意，，；
（3）若是单调的，是正整数，，记，已知集合满足．初始集合，然后小明重复次如下操作：在集合中选取使得最小的元素加入集合，最终得到集合．证明：
2024-2025学年贵州省贵阳市高三上学期10月月考数学检测试题
注意事项：
1、本场考试时间为120分钟，试题卷共5页，满分150分，答题卡共4页.
2、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.
3、回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题 共58分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数为纯虚数，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】设，根据题意得到，进而求出和.
【详解】复数为纯虚数，可设，
，，
，，，
当时，，
当时，，
故选：A.
2. 已知集，则的非空真子集个数为（ ）
A. 13个B. 14个C. 15个D. 16个
【正确答案】B
【分析】根据集合的含义，数形结合即可求解.
【详解】因为y=lg2x−1=lg2x−1,x>1lg21−x,xPAPB，结合，得到PAB1−PB>PBPAB，简单变形即可得到B正确；C选项，利用正态分布的对称性和原则得到答案；D选项，，，令，作商法得到其单调性，求出f53>f52，f53>f54，得到答案.
【详解】A选项，由条件概率的定义可知，PB|A>PB，A错误；
对于B，因为PB|A>PB，所以PAPB|A>PAPB，
其中，故PAB>PAPB，
又，
于是PAB>PB⋅PAB+PAB，
即，
即PAB1−PB>PBPAB，而，
所以，即，故，B正确；
C选项，指标服从正态分布，故，
则，
因为，，
所以，C正确；
D选项，，，
设，
令fx+1fx=Cx+1450.8445×0.16x−44Cx450.8445×0.16x−45=0.16⋅x+1x−44>1，
解得，故f53>f52，
令，
解得，即f53>f54，
所以取得最大值时，M的估计值为53，D错误.
故选：BC
结论点睛：条件概率的性质：设，
（1）；
（2）如果是两个互斥事件，则；
（3）设和为对立事件，则；
第II卷（选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若直线：与圆：交于，两点，则______.
【正确答案】
【分析】首先确定圆心和半径，应用点到直线距离公式求圆心到直线的距离，再由几何法求弦长即可．
【详解】由圆，故圆心，半径为，直线，
故圆心到直线的距离为，
．
故．
13. 已知定义在上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，则______.
【正确答案】
【分析】根据函数的图象关于点中心对称得，求得，再利用对称性得，即可求得.
【详解】因为函数的图象关于点中心对称，
则对任意有，且，
因为当时，，
所以，则，
所以.
故答案为.
14. 已知正方体的棱长为3，取出各棱的两个三等分点，共24个点，对于正方体的每个顶点，设这24个点中与距离最小的三个点为，从正方体中切去所有四面体，得到的几何体的外接球表面积是______．
【正确答案】
【分析】由空间直观得所求几何体的外接球球心，先利用等体积法求出四面体的高，再求外接球半径进而得球的表面积.
【详解】由题意可知，如图，将正方体切去8个角上的四面体即得所求几何体，
该几何体的外接球球心即正方体外接球的球心，设外接球半径为，球心为.
设四面体的高，其中是在平面的投影.
已知正方体的棱长为3，
则，，
由，得，
解得，，，
则，
故几何体的外接球表面积.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数（，，），函数和它的导函数f'x的图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）已知，求的值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由函数与的图象可得，，再通过图象过点，得到
（2）根据倍角公式对进行化简即可求解.
小问1详解】
，
由图象可以得到：，
因为图象过点，，
所以，所以，
所以.
【小问2详解】
由，得，
，
.
16. 已知函数.
（1）若函数在处有极值，求的值；
（2）若函数在内单调递减，求b的取值范围．
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】（1）对函数进行求导，结合在处的极值为列方程组，解方程组即可求得的值.
（2）将原问题转化为在上恒成立，结合参变分离思想即可求得b的取值范围.
【小问1详解】
函数，求导得，
依题意，，即，解得或，
当时，恒成立，
在R上单调递减，无极值；
当时，，当时，，
当时，，
函数在处取极大值，满足题意，
所以.
【小问2详解】
依题意，在上单调递减，
则在上恒成立，因此在上恒成立，
而当时，，则，
所以b的取值范围是.
17. 已知四棱锥的底面是一个梯形，，，，，，.

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由题意可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明；
（2）以为原点，所在直线分别为轴，轴，作出轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
设的中点分别为，连接.
因为，所以.
因为，所以.
在梯形中，，
所以，，
，因此，
所以，又，平面，
，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，作出轴，建立空间直角坐标系，则.

则，，
设平面的法向量，
，即，
令，得到，，即.
设平面法向量，则
，则，
令，得到，，即.
.
因为二面角是锐二面角，
所以二面角的余弦值是.
18. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立.
（1）若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
（2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由.
【正确答案】（1）①0.16；②3.128
（2）答案见解析..
【分析】（1）结合对立事件概率和独立事件概率公式求解即可；
（2）结合对立事件概率和独立事件概率公式比较计算.
【小问1详解】
①记“甲获得第四名”为事件，则；
②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量，
则的所有可能取值为2，3，4，
连败两局：，
可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
，
；
故的分布列如下：
故数学期望；
【小问2详解】
“双败淘汰制”下，甲获胜的概率，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为，
由，且
所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
时，两种赛制甲夺冠的概率一样.
19. 已知集合，记，，是自然数集
称函数，若对于任意，；
称函数是单调的，若对于任意，；
•称函数是次模的，若对于任意,
已知函数是次模的．
（1）判断是否一定是单调的，并说明理由；
（2）证明：对于任意，，；
（3）若是单调的，是正整数，，记，已知集合满足．初始集合，然后小明重复次如下操作：在集合中选取使得最小的元素加入集合，最终得到集合．证明：
【正确答案】（1）不一定是单调的，理由见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【分析】（1）根据题意依据次模函数定义举一反例即可.
（2）对任意，，可得出，且，从而根据函数是次模的结合次模函数定义条件即可得证.
（3）分和两种情况分析，时，显然成立；
若，取，根据题意得小明的每次操作均满足 ，进而左右两边累加即可得到，从而得证.
小问1详解】
构造次模函数，
则．
因此不一定是单调的．
【小问2详解】
证明：对任意，因为，
所以，
且，
又因为函数是次模的，所以，
所以.
【小问3详解】
①若，成立，得证.
②若，取，
则小明的每次操作均满足 ，
左右两边累加得，
即，故得证.
方法点睛：解答新定义类题型的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）面对全新定义的规则要结合所学的知识、经验将问题转化成熟悉的问题或情境；
（3）在新的规则运算过程中，可结合数学中原有的运算和运算规则进行计算或逻辑推理，从而达到解答的目的.
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