初中数学人教版（2024）九年级上册二次函数习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册二次函数习题，共22页。

A．7B．8C．9D．10
2．（2024秋•南昌县期末）如右图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）米．
A．8B．9C．10D．11
3.（2024秋•临海市期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ ）
A．1.5 mB．2mC．2.25 mD．2.5 m
4．（2024秋•峄城区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．②③④
5．（2025•江西开学）如图，从m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高点M离墙1m时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离OB．
6．（2025•浦江县模拟）把一个抛物线形的拱形桥洞放在如图所示的直角坐标系中，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？并说明理由．
7．（2025•丰台区一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
8．（2025•长安区模拟）如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面m，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
（2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
9．（2025•朝阳区一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
10．（2025•武汉模拟）某公司有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y＝ax2+bx来表示．已知大棚在地面上的宽度OA为4米，距离O点1米处的棚高BC为米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？
（3）为了扩大经营规模，公司决定将原来的蔬菜大棚进行改造，新建的大棚与原来大棚的形状保持不变，但使地面的宽度增加到6米．求身高为1.68米的工作人员在不弯腰的情况下，在大棚内横向活动的范围是多少米？
11．（2024秋•全椒县期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求落水点C、D之间的距离；
（2）若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，EF⊥OD，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．
12．（2024秋•海州区期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4米，则这个“支撑架”总长是多少米？
13．（2025•立山区一模）2025年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C1：y＝﹣x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
专题22.3 二次函数的实际应用-抛物线问题
（专项训练）
1．（2024秋•信都区期末）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为14的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y＝+5的一部分，则杯口的口径AC为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解答】解：OD为14，14＝x2+5，解得x＝±，
∴A（﹣，14），C（，14），
∴AC＝﹣（﹣）＝9，
故选：C．
2．（2024秋•南昌县期末）如右图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（ ）米．
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【解答】解：将y＝﹣代入得﹣＝﹣x2，
解得x＝5或x＝﹣5，
∴水面宽度＝5﹣（﹣5）＝10．
故选：C．
3.（2024秋•临海市期末）一位运动员在离篮筐水平距离4m处起跳投篮，球运行路线可看作抛物线，当球离开运动员的水平距离为1m时，它与篮筐同高，球运行中的最大高度为3.5m，最后准确落入篮筐，已知篮筐到地面的距离为3.05m，该运动员投篮出手点距离地面的高度为（ ）
A．1.5 mB．2mC．2.25 mD．2.5 m
【答案】C
【解答】解：以地面所在的直线为X轴，过抛物线的顶点C垂直于x轴的直线为y轴建立如图所示坐标系：
∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．
∵篮球中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05＝a×1.52+3.5，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2+3.5．
当x＝﹣2.5时，y＝﹣×（﹣2.5）2+3.5＝﹣1.25+3.5＝2.25（m），
该运动员投篮出手点距离地面的高度为2.25m．
故选：C．
4．（2024秋•峄城区期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示，下列结论：
①小球在空中经过的路程是40m；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；
③小球抛出3秒时速度为0；
④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s．
其中正确的是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．②③④
【答案】C
【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点，速度为0，故③正确；
④设函数解析式为：h＝a（t﹣3）2+40，
把O（0，0）代入得0＝a（0﹣3）2+40，解得a＝﹣，
∴函数解析式为h＝﹣（t﹣3）2+40，
把h＝30代入解析式得，30＝﹣（t﹣3）2+40，
解得：t＝4.5或t＝1.5，
∴小球的高度h＝30m时，t＝1.5s或4.5s，故④错误；
故选：C．
5．（2025•江西开学）如图，从m高的某建筑物窗口A用水管向外给公园草坪喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），已知喷出的水（抛物线）的最高点M离墙1m时最大高度为8m，求水流落地点B离墙的距离OB．
【答案】5米
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+8，
代入A（0，）得＝a+8，
a＝﹣0.5．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣0.5（x﹣1）2+8．
当y＝0时，0＝﹣0.5（x﹣1）2+8，
解得：x1＝﹣3（舍去），x2＝5．
∴OB＝5米．
答：水流落地点B离墙距离OB为5米．
6．（2025•浦江县模拟）把一个抛物线形的拱形桥洞放在如图所示的直角坐标系中，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？并说明理由．
【答案】（1）y＝﹣（x﹣6）2+4 （2）能通过
【解答】解：（1）由图象可知，
抛物线的顶点坐标为（6，4），
设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣6）2+4，
过点（12，0），
则0＝a（12﹣6）2+4，
解得a＝﹣．
即这条抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+4．
（2）货船能顺利通过此桥洞．理由：
当x＝（12﹣4）＝4时，
y＝﹣（4﹣6）2+4＝＞3，所以能通过此桥洞
7．（2025•丰台区一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
（1）在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝ ；
（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．
【答案】（1）略 （2）1.5 （3）3.8（米）
【解答】解：（1）以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：
（2）根据题意可知，该抛物线的对称轴为x＝2，此时最高，
即m＝1.5，
故答案为：1.5．
（3）根据图象可设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣2）2+1.5，
将（0，0.5）代入h＝a（d﹣2）2+1.5，得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h＝﹣d2+d+0.5+m，
由题意可知，当横坐标为2+＝时，纵坐标的值大于2+0.5＝2.5，
∴﹣×（）2++0.5+m≥2.5，
解得m≥3.3，
∴水管高度至少向上调节3.3米，
∴0.5+3.3＝3.8（米），
∴公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到3.8米才能符合要求．
8．（2025•长安区模拟）如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面m，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．
（1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
（2）场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
（3）在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
【答案】（1）y＝﹣（x﹣4）2+4（2）此球不能投中，小丽的判断是正确的；
（3）1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功
【解答】解：（1）∵抛物线顶点坐标为（4，4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+4，
把（0，）代入，得a＝﹣，
所以篮球运行路线所在抛物线的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+4；
（2）①把x＝7.3代入抛物线解析式得：y＝﹣（7.3﹣4）2+4＝2.79，
∵2.79＜3，
∴此球不能投中，小丽的判断是正确的；
②当y＝3时，3＝﹣（x﹣4）2+4，
解得x＝7或1（舍去），
7.3﹣7＝0.3（米），
所以小明应该向前走0.3米才能命中篮圈中心；
（3）当y＝3.19时，3.19＝﹣（x﹣4）2+4，
解得x＝1.3或6.7，
∵6.7＞4，
∴x＝1.3，
答：他应在小明前面1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功．
9．（2025•朝阳区一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
请解决以下问题：
（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；
（3）求h关于d的函数表达式；
（4）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米．工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．
【答案】（1）略 （2）4米 （3）h＝﹣（d﹣1）2+4；（4）至少向上调整2米
【解答】解：（1）如图，
（2）水柱最高点距离湖面的高度是4米；
（3）由图象可得，顶点（1，4），
设二次函数的关系式为h＝a（d﹣1）2+4，
把（2，3）代入可得a＝﹣1，
所以h＝﹣（d﹣1）2+4；
（4）设水枪高度向上调整m米，
设平移后二次函数关系式为h′＝﹣（d﹣1）2+4+m，
当d＝1+2＝3时，h′＝﹣4+4+m＝m，
∴m≥2，
答：水枪高度至少向上调整2米．
10．（2025•武汉模拟）某公司有一个抛物线形蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y＝ax2+bx来表示．已知大棚在地面上的宽度OA为4米，距离O点1米处的棚高BC为米．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？
（3）为了扩大经营规模，公司决定将原来的蔬菜大棚进行改造，新建的大棚与原来大棚的形状保持不变，但使地面的宽度增加到6米．求身高为1.68米的工作人员在不弯腰的情况下，在大棚内横向活动的范围是多少米？
【答案】（1）y＝﹣x2+3x （2）3米 （3）在大棚内横向活动的范围是5.2米．
【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过（1，），（4，0），
故，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2+3x；
（2）y＝﹣x2+3x，
＝﹣（x﹣2）2+3，
故蔬菜大棚离地面的最大高度是3米；
（3）设新大棚的解析式为y＝﹣x2+nx，由题意得抛物线过点（6，0），
则﹣×36+6n＝0，
∴n＝，
∴y＝﹣x2+x，
将y＝1.68代入得﹣x2+x＝1.68，
x2﹣6x＝﹣2.24，
∴x1＝5.6，x2＝0.4，
由5.6﹣0.4＝5.2（米）．
∴在大棚内横向活动的范围是5.2米．
∴货船能顺利通过此桥洞．
11．（2024秋•全椒县期末）某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y＝﹣（x﹣5）2+6．
（1）求落水点C、D之间的距离；
（2）若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF，EF⊥OD，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑EF的高．
【答案】（1）22m （2）m
【解答】解：（1）当y＝0时，﹣（x﹣5）2+6＝0，
解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）由雕塑的顶部刚好碰到水柱且EF⊥OD，可知点F在抛物线上，且横坐标为10．
当x＝10时，y＝﹣（10﹣5）2+6＝，
∴点F（10，），
∴EF＝．
∴雕塑EF的高m．
12．（2024秋•海州区期末）如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，现以O点为原点，OM所在的直线为x轴建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）若要搭建一个由AD﹣DC﹣CB组成的矩形“支撑架”，已知支架的高度为4米，则这个“支撑架”总长是多少米？
【答案】（1） y＝﹣（x﹣6）2+6（2）（8+8）米．
【解答】解：（1）∵某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度6米，底部宽度OM为12米，
∴P（6，6）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+6．
∵抛物线y＝a（x﹣6）2+6经过点（0，0），
∴0＝a（0﹣6）2+6，解得a＝﹣，
∴抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+6；
（2）当y＝4时，4＝﹣（x﹣6）2+6；
解得x＝6±2，
∴AD＝4，AB＝（6+2）﹣（6﹣2）＝4，
所以“支撑架”总长是2×（4+4）＝（8+8）米．
13．（2025•立山区一模）2025年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线C1：y＝﹣x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y＝﹣+bx+c运动．
（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
【答案】（1） y＝﹣x2+x+4（2）为12米
【解答】解：（1）由题意可知抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点（0，4）和（4，8），将其代入得：
，
解得：，
∴抛物线C2的函数解析式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）设运动员运动的水平距离为m米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：
﹣m2+m+4﹣（﹣m2+m+1）＝1，
整理得：（m﹣12）（m+4）＝0，
解得：m1＝12，m2＝﹣4（舍去），
故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
d（米）
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
h（米）
3.75
4.00
3.75
3.00
1.75
0
d（米）
0
1
2
3
4
h（米）
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
d（米）
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
h（米）
3.75
4.00
3.75
3.00
1.75
0