福建省宁德市蕉城区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题（解析版）

这是一份福建省宁德市蕉城区2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题（解析版），共58页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列图中∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，和没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意；
，和符合对顶角定义，故是对顶角，符合题意；
，和，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意；
，和没有公共顶点，不符合对顶角定义，故不是对顶角，不符合题意．
故选：B．
2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A. 1，1，2B. 1，2，4C. 2，3，4D. 2，3，5
【答案】C
【解析】A、1+1=2，不满足三边关系，故错误；
B、1+2＜4，不满足三边关系，故错误；
C、2+3＞4，满足三边关系，故正确；
D、2+3=5，不满足三边关系，故错误．
故选C．
3. 古语有云：“水滴石穿”，若水珠不断滴在一块石头上，经过40年，石头上会形成一个深为0.0000048cm的小洞．数0.0000048用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
故选B
4. 下列计算，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，则A不符合题意；
，则B不符合题意；
，则C不符合题意；
，则D符合题意；
故选：D．
5. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（ ）
A. 两点确定一条直线B. 两点之间，线段最短
C. 过一点可以作无数条直线D. 垂线段最短
【答案】D
【解析】根据题意可知这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短．
故选D．
6. 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ）
A. 抛一枚硬币，正面朝上的概率
B. 掷一枚正六面体的骰子，出现点数是3的倍数的概率
C. 将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌的花色为“梅花”的概率
D. 从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率
【答案】B
【解析】A、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
B、掷一枚正六面体的骰子，出现3的倍数的概率为，故此选项符合题意；
C、将一副新的扑克牌（54张）洗匀后，随机抽一张，抽出牌的花色为“梅花”的概率，故此选项不符合题意；
D、从装有3个红球和1个蓝球（4个球除颜色外均相同）的不透明口袋中，任取一个球恰好是蓝球的概率为，故此选项不符合题意．
故选：B．
7. 下列式子中，不能用平方差公式运算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A选项可用平方差公式，不符合题意；
B选项可变形为，因此不能用平方差公式，故符合题意；
C选项可以用平方差公式，不符合题意；
D选项可以用平方差公式，不符合题意；
故选：B．
8. 已知，，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，，，
，
，
，
故选：A．
9. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，则，
∴，
故选：A．
10. 在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图2中阴影部分的周长与图1中阴影部分的周长的差为l，若要知道l的值，只要测量图中哪条线段的长（ ）
A. aB. bC. ADD. AB
【答案】D
【解析】图1中阴影部分周长＝2AD+2AB﹣2b，
图2中阴影部分的周长＝2AD﹣2b+4AB，
l＝2AD+4AB﹣2b﹣(2AD+2AB﹣2b)＝2AD+4AB﹣2b﹣2AD﹣2AB+2b＝2AB．
故若要知道l的值，只要测量图中线段AB的长．
故选：D．
二、填空题
11. 如果一个角的是，那么这个角的补角的度数是________．
【答案】
【解析】这个角是，
这个角的补角的度数为，
故答案为：．
12. 一个不透明的袋中装有个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别．充分搅匀后，从袋中随机取出一个球是白球的概率为，则________．
【答案】
【解析】从袋中随机取出一个球是白球的概率为，
，
解得：，
故答案为：．
13. 如图，，若，，，则的周长等于________．
【答案】13
【解析】∵，，
∴，，，
∴的周长为．
故答案为：13．
14. 若定义表示，表示，则运算的结果为________．
【答案】
【解析】根据新定义，可得．
故答案为：．
15. 如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为___．
【答案】110
【解析】，，
，
由折叠的性质得，
，，
，
，
．
故答案为：110．
16. 如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为2时，线段长度的最小值为________．
【答案】
【解析】如图：连接，过点C作于点H，
∵点D、E分别是的中点，
∴，
，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
即
∴，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
18. 先化简，再求值：，其中，．
解：
当，时，原式．
19. 科技改变世界，为提高快递包裹的分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．如图①所示，图②是将部分流水线抽象而成的数学模型示意图．
如图②，，平分，平分．求证：．请你补全下面证明过程．
证明：∵（已知），
∴________（两直线平行，内错角相等），
∵平分（已知），
∴________（角平分线的定义），
同理，，
∴（________），
∴（________）．
∴（________）．
证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵平分（已知），
∴（角平分线定义），
同理，，
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补.
20. 如图所示，在中，是角平分线，是高．
（1）若，求：①的度数；②的度数．
（2）已知，则 （用表示）．
解：（1）∵，∴，
∵是角平分线，是高，∴，．
①∴；
②．
（2）∵，∴，
∵是角平分线，是高，
∴，．
∴；
∴，
故答案为：．
21. 今年“五一”假期期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖；指向其余数字不中奖．
（1）转动转盘中一等奖、二等奖、三等奖的概率是分别是多少？
（2）顾客中奖的概率是多少？
（3）“五一”这天有1800人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？

解：（1）P（一等奖）=， P（二等奖）=，P（三等奖）=
（2） 8 ，2，6，1，3，5 份数之和为 6，
∴转动圆盘中奖的概率为：；
（3）∵获得一等奖的概率是，
∴“五一”这天有 1800 人参与这项活动，
估计获得一等奖的人数为：（人 ）．
22. 阅读下面材料，并完成相应的任务．
“速算”是指在特定情况下用特定的方法进行计算，它有很强的技巧性．观察下列各式：
；
；
…
我们发现，两位数与相乘，当时，有如下速算规律：先将十位数字与相乘，得到的结果作为积的前两位数字；再将个位数字和相乘，得到的结果作为积的后两位数字．如果结果是一位数，则在其前面补0．
（1）请根据上述规律计算：________；________．
（2）根据上述阅读材料，用含字母的等式表示这种速算规律：________．
（3）请证明上述阅读材料中的结论．
（1）解：由上述规律可知，，
，
故答案为：5621，7224；
（2）解：，
故答案为：；
（3）证明：∵，
．
23. 在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
如图1，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角．
【简单应用】（1）如图2，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，现放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底（即射线），与水平线的夹角的度数为________．
【类比拓展】（2）如图3，有两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得他们的余角也相等，即：，．在这样的条件下，
求证：．
【尝试探究】（3）两块平面镜，，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线．如图4，光线与相交于点，则的度数是多少？
（用含的式子表示）
（）解：设入射光线、反射光线与平面镜所夹的锐角度数为，
由题意可得，，
∴，
故答案为：；
（）证明：如图，∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图4，在中，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴
故答案为：．