湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试题

这是一份湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试题，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 是的（ ）
3. 方程的解所在的区间为（ ）
4. 设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
5. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
6. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
7. 已知函数，则（ ）
8. 已知函数，若方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 7.5 分，共 22.5 分)
9. 若实数满足，则（ ）
10. 如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为.现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
11. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. __________.
13. 若函数的值域是，则实数a的取值范围是_________．
14. 设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8.5 分，共 42.5 分)
15. 已知角且.求下列各式的值.
（1）求的值；
（2）先化简，再求值.
16. 已知函数.
(1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式.
17. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式．
18. 本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在其水平截面图为矩形，它的宽为2.4米，车厢的左侧直线与中间车道的分界线相交于、，记．
(1)若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好，且、也都在中间车道的直线上，直线也恰好过路口边界，求此大卡车的车长．
(2)若大卡车在里侧车道转弯时对任意，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值．
(3)若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度（辆/km），统计如下：
现给出两种函数模型：①
②，请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早七点以后的平均道路通行密度（单位：辆/km）与时间（单位：分）的关系（其中为7:00后所经过的时间，例如7:30即分），并根据表中数据求出相应函数的解析式．
19. 对于两个定义域相同的函数和，若存在实数，使，则称函数是由“基函数和”生成的.
(1)若是由“基函数和”生成的，求的值；
(2)试利用“基函数和”生成一个函数，满足为偶函数，且.
①求函数的解析式；
②已知，对于上的任意值，记，求的最大值.（注：.）
湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高一下学期入学考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数与解三角形、等式与不等式
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
A．
B．图象的一条对称轴方程是
C．图象的对称中心是
D．函数的单调减区间为
A．
B．
C．
D．
A．（﹣1，+∞）
B．（﹣1，1]
C．（﹣∞，1）
D．[﹣1，1）
A．有最大值为
B．有最小值为
C．有最大值为
D．有最小值为
A．点距离水平地面的高度与时间（分钟）的函数为
B．点距离水平地面的高度与时间的函数的对称中心坐标为
C．经过10分钟点距离地面35米
D．摩天轮从开始转动一圈，点距离水平地面的高度不超过85米的时间为20分钟
A．为偶函数
B．的最小值为
C．在上共有4个零点
D．在区间上单调递减
时间
7:00
7:15
7:30
7:45
8:00
里侧车道通行密度
110
120
110
100
110
外侧车道通行密度
110
117.5
125
117.5
110
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
5
适中
9
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；具体函数的定义域
2
0.94
特殊角的三角函数值；既不充分也不必要条件
3
0.94
判断零点所在的区间
4
0.85
根据函数的单调性求参数值；判断指数型复合函数的单调性；已知二次函数单调区间求参数值或范围
5
0.85
相位变换及解析式特征
6
0.65
由图象确定正（余）弦型函数解析式；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求sinx型三角函数的单调性
7
0.65
比较函数值的大小关系；对数型复合函数的单调性；由基本不等式比较大小；比较对数式的大小
8
0.65
已知分段函数的值求参数或自变量；函数图象的应用
二、多选题
9
0.65
基本不等式求积的最大值；基本不等式求和的最小值
10
0.65
由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）；三角函数在生活中的应用
11
0.65
求余弦（型）函数的奇偶性；二倍角的余弦公式；求csx型三角函数的单调性；三角函数图象的综合应用
三、填空题
12
0.85
对数的运算；运用换底公式化简计算
13
0.85
根据对数函数的值域求参数值或范围；根据分段函数的值域（最值）求参数
14
0.4
三角函数图象的综合应用；根据函数零点的个数求参数范围
四、解答题
15
0.65
正、余弦齐次式的计算；已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
16
0.65
解含有参数的一元二次不等式；一元二次不等式在实数集上恒成立问题
17
0.65
定义法判断或证明函数的单调性；由奇偶性求参数；根据函数的单调性解不等式；由函数奇偶性解不等式
18
0.4
利用给定函数模型解决实际问题；三角函数在生活中的应用；利用函数单调性求最值或值域；辅助角公式
19
0.15
由奇偶性求函数解析式；函数新定义；利用函数单调性求最值或值域；对数函数单调性的应用
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,2
2
函数与导数
1,3,4,7,8,12,13,14,17,18,19
3
三角函数与解三角形
2,5,6,10,11,14,15,18
4
等式与不等式
7,9,16