2024年浙江省宁波市余姚市高风中学中考数学四模试卷（附答案解析）

这是一份2024年浙江省宁波市余姚市高风中学中考数学四模试卷（附答案解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．舟山市体育中考，女生立定跳远的测试中，以为满分标准，若小贺跳出了，可记作，则小郑跳出了，应记作（ ）
A．B．C．D．
2．据统计，2019年某市初中七年级学生为25000余人，25000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．数学是一门美丽的学科，在平面直角坐标系内可以利用函数画出许多漂亮的曲线，下列曲线中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，将点向左平移个单位，得到的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．如图所示，格点三角形放置在的正方形网格中，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点A，B，C在上，C为弧的中点．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积满足关系：．通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加．设加压前汽缸内气体的体积为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．关于二次函数（其中）有以下论述，正确的是（ ）
当时，对称轴为直线．
函数图象与轴必有两个不同的交点．
函数图象必过某一定点．
A．B．C．D．
10．如图，已知，M、N分别是边上动点．将沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，A的对应点为，连结、．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同之外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是 ．
13．计算： ．
14．如图，直线直线，直线分别交，于点，．射线平分，交于点；于点，若，，则 ．
15．等腰中，，，以C为圆心，为半径作圆弧与的边交于点D．则 ．
16．“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点．

（1）若，则点的坐标为 ．
（2）若点的坐标为，则 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．作图题：如图，在方格纸中，请按要求画出以为边的格点四边形．
(1)在图1中画出一个，使得格点为的对称中心；
(2)在图2中画出一个，使得的周长为整数且邻边不垂直．
19．如图，在菱形中，点E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，则的面积是______．
20．小海准备购买一辆新能源汽车，在预算范围内，他打算从甲、乙两款汽车中购买一辆，为此，小海收集了10名消费者对这两款汽车的相关评价，并整理、分析如下：
表一：甲、乙两款汽车的四项得分数据统计表
表二：甲，乙两款汽车的满意度得分统计表（满分10分）
根据以上信息，解答下列问题：
(1)若小海认为汽车四项的重要程度有所不同，而给予“外观造型”“舒适程度”“操控性能”“售后服务”四项得分的占比为2：3：3：2，请你帮小海计算甲、乙两款汽车的平均分．
(2)结合（1）的结论和甲、乙两款汽车满意度得分的众数和中位数，你建议小海购买哪款汽车？请详细说明你的理由．
21．某小区一种折叠拦道闸如图1所示，由道闸栏，，折叠栏，构成，折叠栏绕点转动从而带动折叠栏平移，将其抽象为如图2所示的几何图形，其中，垂足分别为，，．已知米，米，米，米，请完成以下计算（参考数据：，）

(1)若，求点距离地面的高度．（结果精确到0.1米）
(2)若，请问一辆宽为3米，高为米的货车能否安全通过此拦道闸，请计算说明．
22．如图，在三角形纸片中，，．把三角形纸片分别沿对折（点分别在边上，点在边上），使点落在边上同一点处．
(1)若，则五边形的周长为______；
若，则五边形的周长为______．
(2)根据题（）的研究结果，提出一个合理猜想，并证明猜想成立．
23．设y关于x的二次函数为，其中．
(1)用含m或a的代数式表示该二次函数图象的对称轴和最大值．
(2)若该二次函数图象与x轴交于，且过点，求二次函数表达式．
(3)若该二次函数图象过点，而，求m的值．
24．如图1，中，，M是中点，过点B、M、C作，P是上一点，连结交于K，连结．

(1)若，求．
(2)如图2，连结，若过圆心O，且O恰为重心，求的值．
(3)如图1，若，，回答以下问题中的两个：
①当时，求的值．
②当时，求四边形面积（用含x的代数式表示）
③若P是的四等分点，且，则当面积最大时，直接写出四边形的面积．
外观造型
舒适程度
操控性能
售后服务
甲款
7
6
7
8
乙款
7
8
6
7
甲款
5
5
6
6
7
8
8
8
8
9
乙款
5
6
6
7
7
7
7
8
8
9
《2024年浙江省宁波市余姚市高风中学中考数学四模试卷》参考答案
1．A
【分析】本题考查了正负数的意义、有理数减法的应用，正确列出运算式子是解题关键．根据题意，列出运算式子，再计算有理数的减法即可得答案．
【详解】解：根据题意，小郑跳出了，应记作．
故选：A
2．C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于25000有5位，所以可以确定n＝5−1＝4．
【详解】25000＝2.5×104．故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是解题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握将某一个图形旋转后，仍与原图形重合，这就是中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形．直接根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：由题意可得，
A、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的除法，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．
【详解】
解：∵不是同类项，无法计算，
故A不合题意．
∵，
∴B不合题意．
∵，
∴C合题意．
∵，
∴D不合题意．
故选：C．
5．B
【分析】此题考查了坐标与图形，平移的性质以及轴对称的性质，根据轴对称的性质，求出的值，点的坐标，最后由平移的性质求解即可，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
【详解】解：∵点与点关于轴对称，
∴，，
∴点，
则点向左平移个单位，得到的点的坐标为，
故选：．
6．D
【分析】本题考查了勾股定理和正弦定义，能够构造直角三角形是解题的关键，过点A作，交于点D，则，先由勾股定理求出的长，再利用正弦定义求解即可．
【详解】过点A作，交于点D，则，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，根据圆周角定理求出，结合等腰三角形的性质进而求出，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：
∵C为的中点．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据加压后气体对气缸壁所产生的压强比加压前增加列方程即可．
【详解】解：根据题意得，即，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一判断即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线故正确；
令得，，
则，
∵，
∴，
∴函数图象与轴必有两个不同的交点，故正确；
∵，
由得，，，
由得，，
所以当时，，
即函数图象过定点，故正确，
综上可知：正确，
故选：．
10．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质．连接，在上截取，作，交的延长线于点F，交于T，证明，推出，，设，则，在中，由勾股定理求得，，再利用正切函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，
连接，在上截取，作，交的延长线于点F，交于T，
设，，
∵沿直线折叠，点B的对应点恰好落在边上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，是等边三角形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
11．
【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．
直接利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查树状图法求概率．根据题意，画出树状图，得到所有等可能结果及满足题意的结果数，由简单概率公式代值求解即可得到答案．
【详解】解：树状图如下所示，

由上可得，一共有12种等可能性，其中两次摸出的球所标数字之和为6的可能性有2种，
∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率为，
故答案为：．
13．1
【分析】本题考查了分式的运算，根据分式的加减法运算方法先计算，然后约分即可；
【详解】解：原式
，
故答案为：1．
14．4
【分析】此题考查了平行线的性质、勾股定理．根据角平分线定义及平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：平分，
，
∵，
，
，
，
，，
，
于点，
，
故答案为：4．
15．或
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，由等边对等角和三角形内角和定理得到，再分点D在上和点D在上两种情况，画出对应的示意图，讨论求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
如图，当与交于D时，
∵，
∴，
如图，当与交于D时，
∵，
∴；
∴的度数为或．
故答案为：或．
16．
【分析】（1）证明四边形是正方形，由是的中点，可得，，则，由，，可得，由，可得，同理，则，设，则，计算求出满足要求的解，进而可得结果；
（2）由（1）可知，，则，可求，即，，．
【详解】（1）解：由题意可知，，，，
∴，，
∴四边形是正方形，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，
∵点是反比例函数（）图象上，
∴，
解得，，（舍去），
∴，
故答案为：；
（2）解：由（1）可知，，
∵坐标为，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵点是反比例函数（）图象上，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键．
17．（1）；（2）
【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂运算法则，平方差公式．
（1）根据特殊角的三角函数值，负指数幂，零指数幂运算法则，进行计算即可；
（2）根据单项式乘多项式和平方差公式进行计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
18．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）连接BP并延长，取BP=PD，连接AP并延长，取AP=PC，依次连接AD，DC，CB即可求解．
（2）根据题意，，即可求解．
【详解】（1）解：连接BP并延长，取BP=PD，连接AP并延长，取AP=PC，
依次连接AD，DC，CB，如图所示：
∵CD=BA，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故边形ABCD即为所求．
（2）如图所示：
，，
∵BC=AD，CD=BA，
∴四边形ABCD为平行四边形，且周长=，且邻边不垂直，
故四边形ABCD即为所求．
【点睛】本题考查了作图—中心对称图形及平行四边形的判定及性质，熟练掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握菱形性质是解决问题的关键．
（1）由菱形的性质及中点定义得到角的关系及边的关系，再由三角形全等的判定与性质即可证明；
（2）由菱形性质及（1）中结论得到，在中，求解，再结合面积公式即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∴，．
∵点E是CD的中点，
∴，
∴（AAS），
∴，
∴．
（2）解：∵在菱形中，，
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的面积是．
20．(1)甲、乙两款汽车的平均分分别为6.9分，7分
(2)选择甲款车，理由见解析
【分析】本题考查了加权平均数，中位数、众数的等知识，解题的关键是：
（1）利用加权平均数的计算方法求解即可；
（2）根据中位数和众数的定义求出甲、乙两款车的满意度得分的众数和中位数，然后结合（1）中所求平均数分析即可．
【详解】（1）解：甲款：，
乙款：，
∴甲、乙两款汽车的平均分分别为6.9分，7分．
（2）解：甲款的中位数为，众数为8，
乙款的中位数为，众数为7，
甲乙两款车的满意度得分的平均数接近，但甲款车的满意度得分中位数和众数都高于乙款车，
故选择甲款车．
21．(1)点距离地面的高度约为米
(2)宽为3米，高为米的货车能安全通过此拦道闸
【分析】本题考查三角函数解直角三角形，特殊角三角函数值．
（1）根据题意过点作于点，过点作于点，再列式求出的长，后即可得到本题答案；
（2）根据题意分别计算出，列式并计算即可得到本题答案．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，
，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
（米），
∴（米），
答：点距离地面的高度约为2.5米；
（2）解：根据题意四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
在中，
（米），（米），
∴（米），，
（米），
（米），
，
∴宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸，
答：宽为3米，高为2.5米的货车能安全通过此拦道闸．
22．(1)；；
(2)五边形的周长为定值，证明见解析．
【分析】（）过点作于，求出，得到，由，得到，利用勾股定理和三角函数分别求出，即可求解；
同理解答即可求解；
（）猜想：五边形的周长为定值．设，同理证明即可求证；
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，掌握等腰三角形和折叠的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由折叠可得，，，，，，
∵，，
∴，
过点作于，则，，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴五边形的周长；
故答案为：；
当时，同理可得，，，，，，
∴五边形的周长，
故答案为：；
（2）猜想：五边形的周长为定值．
证明：设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴五边形的周长．
23．(1)二次函数图象的对称轴是直线，函数的最大值为
(2)或
(3)．
【分析】（1）依据题意，令，又，从而可得或，故抛物线的对称轴是直线，又抛物线开口向下，进而可得当时，y取最大值，计算即可得解；
（2）依据题意，根据（1）可得抛物线与x轴交于，，又图象与x轴交于，故或，则或，从而抛物线为或，据此求解即可；
（3）依据题意，由二次函数图象过点，从而，故，结合，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意，令，
又，
∴或，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线开口向下，
∴当时，y取最大值，最大值为，
答：二次函数图象的对称轴是直线，函数的最大值为；
（2）解：由题意，根据（1）可得抛物线与x轴交于，，
又图象与x轴交于，
∴或，
∴或，
∴抛物线为或，
又抛物线过点，
∴或，
∴或，
∴抛物线的解析式为或；
（3）解：∵二次函数图象过点，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
24．(1)
(2)
(3)①；②；③
【分析】（1）连接，利用直角三角形的斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质和圆周角定理解答即可；
（2）连接，并延长，交于点F，利用垂径定理的推论，等边三角形的判定与性质，三角形的重心的性质，平行线的性质和同时进行的三角函数运算解答即可；
（3）①连接，利用圆周角定理和相似三角形的判定与性质解答即可；
②过点M作于点G，过点P作于点H，利用直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质求得，利用相似三角形的判定与性质求得，，再利用相似三角形的判定与性质求得，最后利用四边形面积解答即可；
③当△面积最大时，，连接，过点作于点，再利用四边形的面积解答即可．
【详解】（1）解：连接，如图，
∵，，
∴．
∵，M是中点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，并延长，交于点F，如图，
则为的直径，
∵O恰为重心，
∴平分，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵过圆心O，
∴为圆的直径，
∵O恰为重心，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴；
（3）解：①连接，如图，
由（1）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②过点M作于点G，过点P作于点H，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴．
由①知：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴四边形面积
．
∴四边形面积为．
③由题意得：，
当△面积最大时，，连接，过点作于点，如图，
为的直径，
，
．
是的四等分点，
，
，
，
．
四边形的面积
．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，圆的内接四边形的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，恰当的作出辅助线，构造直角三角形的和相似三角形是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
C
B
D
A
A
A
C