湖南省2024_2025学年高二数学下学期5月月考试题含解析

这是一份湖南省2024_2025学年高二数学下学期5月月考试题含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的基本概念和余弦函数的值域，求出集合具体的元素，根据集合的运算法则求出集合交
集.
【详解】由题意知 ， ,所以 ，
故选：C.
2. 在复平面内，复数 对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由复数 周期性结合复数的乘法和复平面内点的特征判断可得.
【详解】 ，
所以 ，即对应的点在第二象限.
故选：B.
3. 若 为实数，且 ，则下列不等关系一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】举反例 可判断 AB 选项；举反例 可判断 C 选项；结合指数函数 的单调性
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可判断 B 选项.
【详解】若 ，则满足 ，但不满足 ，故 A 错误；
因指数函数 在 上单调递增，则若 有 ，故 B 正确；
若 ，则 ，故 C 错误；
若 ，则满足 ，但不满足 ，故 D 错误.
故选：B
4. 向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】向量 在向量 上的投影向量为
.
故选：D.
5. 设函数 ，则 （）
A. 图象关于 对称，且在 上是增函数
B. 图象关于 对称，且在 上是减函数
C. 图象关于 对称，且在 上是增函数
D. 图象关于 对称，且在 上是减函数
【答案】B
【解析】
【分析】验证 或 是否与 相等即可判断函数的对称轴，再结合复合函数即可判断单
调性.
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【详解】因为 ，所以 ，
注意到 ，所以 图象关于直线 对称；
当 时， ，
因为 在 上单调递减， 在 上单调递增，
由复合函数的单调性可知 在 上单调递减，
故选：B
6. 若函数 在 内有且只有 2 个极值点，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简函数 解析式，先求出 整体的范围，结合 有且只有 2 个极值点，得到不等
式求得答案.
【详解】 ，
因为求 的最大值，所以只考虑 时的情况，
当 时，则 ，
因 有且只有 2 个极值点，所以 ，
解得 ，所以 的最大值为 .
故选：A.
7. 已知点 是圆 上的动点，且 ，点 D 为 的
中点，则 的最大值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】
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【分析】设原点为 ，由向量数量积的坐标表示及定义得 ，进而有 ，再应用向量数
量积的运算律有 ，即可求最值.
【详解】设原点为 ，依题意有 ，且 ，
所以 ，可得 ，
由 ，则 ，又点 D 为 的中点，则 ，
由
，
当且仅当 、 方向相反时取等号，所以 的最大值为 .
故选：A
8. 已知 是无穷等比数列，其前 n 项和为 ．若对任意正整数 ，都有 ，
则实数 A 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列的性质可得公比，即可由求和公式得 的表达，对 分奇偶，即可求解.
【详解】由 ，故 ，所以公比为 ，
故 ，
由 可得 ，
当 为奇数时，则 ，故 ，
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由于 为单调递增，故 ，
当 为偶数时，则 ，故 ，
由于 为单调递增，当 时，此时 取最小值 ，故 ，
综上可得
故选：B
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 已知 ，若 ，则
B. 数据 的第 75 百分位数为 47
C. 若样本数据 的标准差为 1，则数据 的标准差为 2
D. 数据 的均值为 4，标准差为 1，则这组数据中没有大于 5 的数
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于 A：利用正态分布的对称性判断；对于 B：利用百分位的定义判断即可；对于 C：根据标准差
的定义判断；对于 D：设 ，举出反例即可.
【详解】对于 A，已知 ， 若 ，
，故 A 正确；
对于 B， ，位置为整数 4，直接取排序后第 4 个数据 47，故这组数据
的第 75 百分位数为 47，故 B 正确；
对于 C，若样本数据 的标准差为 1，则数据 的标准差受乘数 2 影响，
加 1 不影响标准差，故新数据的标准差为 2，故 C 正确；
对于 D，不妨设 ，则 ，
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解得 ，此时 ，故找到一组数 ，数据中有大于 5
的数，故 D 错误.
故选：ABC.
10. 如图，在长方体 中， 是线段 上的一动点，则以下命题
正确的是（ ）
A. 平面
B. 的最小值为
C. 直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
D. B 为球心， 为半径的球面与侧面 的交线长为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据立体几何中面面平行的性质定理，证明线面平行；把立体直观图转化为平面图形，求线段和
的最小值；建立空间直角坐标系，用向量方法求线面角的正弦值；根据球被平面所截形成的截面，求出弧
线长.
【详解】
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如图连接 ，在长方体 中，易知 ， ，
面 ， ， 面 ，同理可证 面 ，
， 面 面 ，又 平面 ，
平面 ，A 正确.
如图所示，把面 和面 展开，线段 就是 的最小值，
设 ， ，
易知 ，
在 中 ，则 ，
在 中， ，
根据余弦两角和的公式有 ，
在 中， ，
，B 正确.
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如图所示，以 为坐标原点，以 为 轴，以 为 轴，以 为 轴建立空间直角坐标系，则
，设 ，
，
， 解得 ，
，
易知面 的一个法向量 ，
所以直线 与平面 所成角 正弦值
，
二次函数 ，在 时有最大值，此时 取得最小，最小值为 ，所以 C 错
误.
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如图所示，球 与面 的交线是，以 为圆心， 为半径的 圆，弧长为 ，所以 D 正
确.
故选：ABD.
11. 已知函数 的定义域均为 是偶函数，
，则（ ）
A. B. 是奇函数
C. D. 是 的对称轴
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数的基本性质，理解抽象函数的基本性质，通过特殊值和换元法判断选项是否正确.
【详解】对 A， ，令 ， ，
解得 ，所以 A 正确.
对 B， 是偶函数， ，
，
故 ，
所以 是偶函数，B 错误.
对 C， ①，
可得 ， ①式带入得 ，
所以 ，即 ，
所以 C 正确.
对 D，由 C 选选项可知 ，由 B 选项可知 ，
所以 ，可知 是 的对称轴.
所以 D 选项正确
故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
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12. 某实验室需将五份不同样本（编号为 ）存放于特定的五个实验柜中，这些实验柜都分布在 A
区，柜子编号分别为 ．若要求存放方案中恰有两份样本的存放柜编号与自身编号一致（编
号为 i 的样本存放于编号为 的柜子中时表示编号一致），那么符合条件的存放方案共有________种．
【答案】20
【解析】
【分析】先选出两份放入对应编号的柜子里，其余三份进行错排放置即可.
【详解】先从五份样本中选出两份放入对应编号的柜子里有 种方法，
其余三份都和自身编号不一致的方法共有 2 种，所以共有 20 种方案.
故答案为：20
13. 已知函数 是偶函数，则 ___________．
【答案】 ##0.5
【解析】
【分析】依据偶函数的定义建立方程即可求解.
【详解】由题意知： 是偶函数，
则 ，
即：
即：
即： ，解得： .
故答案为： .
14. 已知点 为椭圆 上两点，且点 A 在第一象限，点 B 在第二象限， ，射线
的斜率分别为 ，则 的最小值为________．
【答案】
【解析】
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【分析】采用设线法，设直线 ．直线 ，联立椭圆方程得到 ，同理得
，再求出点 到直线 OA 的距离，写出面积表达式，求得 ，再代入斜率差表达式，
最后利用基本不等式即可求出最值.
【详解】设 ，
设直线 ．直线 ，
由 ，所以 ，同理得 ，（显然判别式大于零）
点 B 到直线 OA 的距离 ，
所以 ．
平方得 ，所以 ，
因为点 A 在第一象限，所以 ，所以 ．
当且仅当 时取等号．
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 锐角 的内角 的对边分别为 ，已知 且 ．
（1）求角 C 的大小；
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（2）求 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理进行角换边得 ，再利用余弦定理即可得到答案；
（2）利用正弦定理得 ，则 ，再根据角 的范围即可得到答案.
【小问 1 详解】
已知 ，
由正弦定理，得 ，
所以 ．因为 ，所以 ．
【小问 2 详解】
，由正弦定理 ，则 ，
可得
，
又因为锐角 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
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所以 ．
16. 蒙古包可以近似的看成是由一个圆柱跟一个圆锥拼接而成．如图， 为某一个蒙古包的轴截
面， ，现沿直线 将 向上折起得到 ，得到四棱锥
，且 P 点在平面 上的射影在 上，E 为 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设 交于点 ，连接 ，只需证明 即可；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，由法向量的夹角的余弦的绝对
值公式即可求解.
【小问 1 详解】
设 交于点 ，连接 ，
因为四边形 是矩形，所以点 是 的中点，点 是 的中点，
所以 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
【小问 2 详解】
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取 中点 ，连接 ，由题意可知 ，平面 平面 ，
故 ，
又因为平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
因为 平面 ，所以可取平面 的一个法向量为 ，
由于 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
所以 ，令 ，解得 ，
故 为平面 的法向量，
所以 .
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. 已知函数 ．
（1）判断 在区间 的单调性；
（2）求 的最小值；
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（3）证明：当 时， ．
【答案】（1） 在 和 单调递增，在 和 单调递减
（2）1 （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求导，判断导函数在 上的正负，进而可得单调性；
（2）利用导数研究函数的单调性，进而可求最小值；
（3）构造函数 ，利用三角函数的有界性以及（2）的结论即可判断 的单调
性，进而可知 的最值，进而可证不等式.
【小问 1 详解】
由题可得 ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，当
时， ，
所以 在 和 单调递增，在 和 单调递减.
【小问 2 详解】
，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .
【小问 3 详解】
当 时，令 ，
则 ，
因为 ，所以
由（2）知 ，故 ，
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所以 ，故 在 上单调递减，
所以 ，所以 ．
18. 已知双曲线 E 的渐近线方程为 ，且过点 ．
（1）求双曲线 E 的标准方程；
（2）点 Q 为双曲线 E 上一点，证明点 Q 到两渐近线的距离之积为定值，并求出该定值；
（3）双曲线 E 的两个顶点分别为 ，点 M 在直线 上，直线 与双曲线 E 分别交于 （异
于 ）两点，且直线 与 x 轴垂直，求点 M 的坐标及直线 的方程．
【答案】（1）
（2）
（3） ，直线 :
【解析】
【分析】（1）根据渐近线可设双曲线方程为 ，代入经过的点即可求解；
（2）利用距离公式即可证明；
（3）设 三点坐标，由三点共线即可计算.
【小问 1 详解】
由渐近线方程为 ，可设双曲线方程为 ，
将点 代入方程可得 ，即 .
故双曲线方程为 .
【小问 2 详解】
证明：设 Q ，
因为点 Q 在双曲线 E 上，所以 ，即 ，
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双曲线 E 的渐近线方程为 ，
点 Q 到两渐近线的距离之积为 ，
故点 Q 到两渐近线的距离之积为定值，定值为 .
【小问 3 详解】
由（1）得 ，则双曲线 E 的两个顶点分别为 ，
不妨设 ，
由 三点共线可得 ，即
由 三点共线可得 ，即
则 ，代入双曲线方程得 ，即 ，
把 ， 代入方程 得 ，
所以 ，直线 的方程为 .
19. 某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司第 i 年的年广告费 （单位：百万
元）满足递推关系 ，且 ，年销售量 （单位：百万辆）与年
广告费相关．令 ，经过数据处理得到如下统计量的值：
44 4.8 10 40.3 1 612 19.5 8.06
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现有模型 作为年销售量 y 关于年广告费 x 的回归分析模型，其中 均为常数．
（1）求 ；
（2）求出 y 关于 x 的回归方程，并预测年广告费为 6（百万元）时，产品的年销售量是多少？
（3）该公司生产的电动车毛利润为每辆 200 元（不含广告费、研发经费）．该公司在加大广告投入的同时
也加大研发经费的投入，年研发经费为年广告费的 199 倍．电动车的年净利润受年广告费和年研发经费影
响外还受随机变量 影响，设随机变量 服从正态分布 ，且满足 ，求该公司
年净利润的最大值大于 1000（百万元）的概率．（年净利润=毛利润×年销售量-年广告费-年研发经费-随机变
量）
附：①回归直线
②参考数据： ， ．
【答案】（1）
（2） ，当年广告费为 6（百万元）时，产品的销售量大概是 13（百万辆）
（3）
【解析】
【分析】（1）由递推公式得到 ，进而判断 为等差数列，即可求解；
（2）利用最小二乘法求解；
（3）由净利润为 ， 求解.
【小问 1 详解】
由 得：
，
即 ，
所以 ，
即 ，
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所以 为等差数列，又 ，
所以公差为 1，
所以 ，
【小问 2 详解】
令 ，则 ，
由公式 ，
又由 ， ，
得 ，
所以 ，即回归方程为 .
当 时， ，
因此当年广告费为 6（百万元）时，产品的销售量大概是 13（百万辆）.
【小问 3 详解】
净利润为 ， ，
令 ，
所以 .
可得 在 上为增函数，在 上为减函数.
所以 ，
由题意得： ，即 ，
，
即该公司年净利润大于 1000（百万元）的概率为 .
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