江苏省苏州市陆慕高级中学2024_2025学年高三上学期9月第二次考试 数学试卷

这是一份江苏省苏州市陆慕高级中学2024_2025学年高三上学期9月第二次考试 数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若，则（ ）
A．B．C．D．7
4．函数的部分图象大致为（ ）
A．B． C．D．
5． 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.向左平移1个单位B.向左平移0.5个单位
C.向右平移1个单位D.向右平移0.5个单位
6． 已知，，则（ ）
A. B. C. 2D. －2
7．已知函数，直线与的图象在轴右侧交点的横坐标依次为，，…，，…，（其中），若，则（ ）
A．B．2C．D．
8．定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．
9．已知，，，下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为
C. 最小值为D. 的最小值为
10．已知奇函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法中正确的有( )
A．函数的图象关于直线对称
B．当时，函数的最小值是
C．函数在区间上单调递增
D．若函数有且仅有个零点，则所有零点之和为
11．关于函数有下述四个结论，则（ ）
A．是偶函数B．的最小值为
C．在上有4个零点D．在区间单调递增
三、填空题：
12 .请写出一个函数___________，使之同时具有如下性质：
①，，②，.
13． 已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为_________
14. 已知，，若存在最大值，则正数m的取值范围是______.
四、解答题：
15． 已知向量，向量，记．
（1）求表达式；
（2）解关于的不等式．
16. 已知函数.
(1)若，判断并证明在上的单调性；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
17. 已知函数在上单调递减.
(1)求的最大值；
(2)若的图象关于点中心对称，且在上的值域为，求m的取值范围.
18.
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）证明：；
（2）若，，求.
19．
已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
高三数学 答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．
一、单项选择题：
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．若，则（ ）
A．B．C．D．7
4．函数的部分图象大致为（ ）
A．B． C．D．
5． 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A.向左平移1个单位B.向左平移0.5个单位
C.向右平移1个单位D.向右平移0.5个单位
【答案】B
6． 已知，，则（ ）
A. B. C. 2D. －2
【答案】B
【解析】
【分析】根据同角关系可得，由正切的二倍角公式以及诱导公式即可求解.
【详解】因为所以由得，因此，
由二倍角公式可得
，
故选：B
7．已知函数，直线与的图象在轴右侧交点的横坐标依次为，，…，，…，（其中），若，则（ ）
A．B．2C．D．
8．定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
答案： D
二、多项选择题
9．
已知，，，下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为
C. 最小值为D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据基本不等式、二次函数的性质和对数运算性质判断各选项即可.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确；
，
根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误；
因为，即，
当且仅当，即时取等号，
所以，即最大值，故C错误；
，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确．
故选：AD．
10．已知奇函数的最小正周期为，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法中正确的有( )
A．函数的图象关于直线对称
B．当时，函数的最小值是
C．函数在区间上单调递增
D．若函数有且仅有个零点，则所有零点之和为
【答案】A、B、D
【解析】
【分析】用辅助角公式化简的解析式，根据其为奇函数和最小正周期分别求出和的值，再根据图象平移求出的解析式.验证是否为的最大值或最小值可判断A；根据，结合解析式和三角函数的性质可求其最小值，从而判断B；根据，结合解析式和三角函数的单调性即可判断C；令，将零点问题转化为函数图象交点问题，数形结合即可判断D．
【详解】由已知，，
∵函数为奇函数，∴，可得，
又∵，∴，
又∵函数的最小正周期为，∴，解得，
∴．
将函数的图象向右平移个单位长度，
得．
∵，∴是的一条对称轴，故A正确；
时，，，∴，故B正确；
时，，故在不单调，故C错误；
令，则函数化为，
和有且仅有三个交点，如图：
则，，
则，，
即，
∴，故D正确．
故选：ABD．
11．关于函数有下述四个结论，则（ ）
A．是偶函数B．的最小值为
C．在上有4个零点D．在区间单调递增
三、填空题：
12 .请写出一个函数___________，使之同时具有如下性质：
①，，②，.
【答案】
【详解】性质①②分别表示关于直线对称和以4为周期，
答案不唯一，写出一个即可，
例如，
故答案为：
13． 已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为_________
【解析】由函数是偶函数，得函数的图象关于y轴对称，
而函数的图象可由函数的图象向左平移2个单位而得，
因此函数的图象关于直线对称，又函数在上单调递增，
于是，即，整理得，解得，
所以所求x的取值范围为.
14. 已知，，若存在最大值，则正数m的取值范围是______.
【分析】由辅助角公式可得，其中，，又由，从而得，又因为存在最大值，从而可得，最后根据，求解即可.
【详解】解：因为，其中，
又因为，所以，
又因为m为正数，所以，，
所以，
又因为存在最大值，
所以，又因为，
从而可得，
所以，
解得.
四、解答题：
15． 已知向量，向量，记．
（1）求表达式；
（2）解关于的不等式．
解：（1）∵，，
∴
，
（2）不等式即为，
令，则原不等式可化为，于是有
，即，
也就是，，
故所求不等式解集为．
16. 已知函数.
(1)若，判断并证明在上的单调性；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），则，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
证明：，且，
，
，故，，
当，时，，所以，
故，即，所以函数在上单调递减；
当，时，，所以，
故，即，所以函数在上单调递增.
（2），即，
即，存在，使得成立.
令，，.所以存在，成立.
所以，.
又，所以当时，，
所以，即.
17. 已知函数在上单调递减.
(1)求的最大值；
(2)若的图象关于点中心对称，且在上的值域为，求m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将看作整体，再根据正弦型函数的单调性可求得结果；
（2）根据正弦型函数的对称中心及第一问可得解析式，再利用正弦型函数的图象与性质可得结果.
【详解】（1）由条件知则，
由正弦函数的性质可知：
又有，
当时，符合题意；
当时，不等式，舍去，
所以的最大值为.
（2）因为的图象关于点中心对称，所以.
即，
由（1）得：，所以，则，
当时，，
因为在上的值域为，所以，
则，解得，
所以m的取值范围是.
18.
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）证明：；
（2）若，，求.
答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由已知结合正弦定理，
得，
化简得，
即，
所以，
又，所以，
故由正弦定理得.
（2）因为，所以，
所以，
所以，
结合，可得.
由（1）知，
由余弦定理得，
则，
化简得，
代入整理得，所以，
所以，
故.
19．
已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：函数定义域为，
（1）因为函数，所以，
因为，令，即，
①若，即时，，所以恒成立，在单调递增，
②若，即时，设两根为，，由，，知有两不等正根，，不妨设，则
，，列表如下：
∴的增区间为和，减区间为．
综上可知：
当时，的增区间为；当时，的增区间为和，减区间为．
（2）因为有两个极值点，所以，即有两不等正根，，
因为，令，即．若有两不等正根，，则有，解得．
另一方面当时，令，即，此时，
，所以方程有两个不等正根，，记
，，列表如下：
由上表可知，此时有两个极值点，符合题意，故实数，
由，得：
，
，
故可化为，
令，
（∵），在上单调递增，
，故，所以实数的取值范围．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
A
B
B
题号
9
10
11
答案
ABC
正
0
负
0
正
单调增
单调减
单调增
正
0
负
0
正
单调增
单调减
单调增