2024_2025学年安徽省合肥市高三上学期12月月考数学试卷

这是一份2024_2025学年安徽省合肥市高三上学期12月月考数学试卷，共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 4
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4. 荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步．假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同、学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（ ）
（参考数据：，）
A. 60天B. 65天C. 70天D. 75天
5. 已知，向量，若，则最小值为（ ）
A. B. C. D. 10
6. 已知数列满足，则数列的前8项和为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，，若为圆心为的单位圆的一条动直径，则的最大值是（ ）
A. 2B. 4C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 函数图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 函数的图象关于点对称
C 将向左平移个单位长度，得到函数
D. 若方程在上有个不相等的实数根，则的取值范围是
10. 在中，内角所对的边分别为，若成等差数列，，是中点，则下面正确的是（ ）
A. 面积的最大值为B. 周长的最大值为
C. 中线长度的最大值为D. 若为锐角，则
11. 如图，已知正方体的棱长为2，，分别为，的中点，点为上一动点，则（ ）
A. 存在点使得
B. 的最小值为
C. 以为直径的球面与正方体每条棱的交点总数为12
D. 已知球为正方体的内切球，若在正方体内部与球外部之间的空隙处放入一个小球，则放入的小球体积最大值为
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在中，，是直线上一点，若，则实数m的值为_______.
13. 若，且，则_______.
14. 已知函数，则的对称中心为_______；若，则数列的通项公式为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在四棱锥中， 平面分别是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
16. 已知数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前n项和为，若关于n的不等式恒成立，求实数λ的取值范围.
17. 行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用.将形如的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：，设函数.
（1）求对称轴方程及单调递增区间；
（2）在锐角中，已知，求和.
18. 若函数对其定义域内任意满足：当时，恒有，其中常数，则称函数具有性质.
（1）函数具有性质，求；
（2）设函数，
（i）判断函数是否具有性质，若有，求出；若没有，说明理由；
（ii）证明.
19. 第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中，分别表示y=fx在点处的一阶､二阶导数）
（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？
（2）若函数，不等式对于x∈R恒成立，求的取值范围；
（3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若，，是数列的前项和，证明.